安徽省桐城中学高二(上)数学期末试题

2012-2013学年桐城中学高二（上）期末数学试卷

一、填空题（共10小题，每小题5分，满分50分）

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（）

B C D

4．已知P为抛物线y2=4x上一个动点，直线l1：x=﹣1，l2：x+y+3=0，则P到直线l1、l2

2D

+1

5．如果执行程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）

A.720

B.360

C.240

D.120．

6.如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2，椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心，则下列结论不正确的是（）

7．如图在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）

B

8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）

B C D

9．设抛物线y2=4x的焦点为F，过点的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比=（）

B C D

10．已知A、B是椭圆长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0．若|k1|+|k2|的最小值为1，则

B C D

11．已知两点M（﹣2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足||•||+=0，P（x，y）的轨迹方程为_________．

12．如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线是l，则f（2）+f′（2）=_________．

13．如图，把椭圆的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上

半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则

|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=_________．

14．设A，B是双曲线的两个焦点，C在双曲线上．已知△ABC的三边长成等差数列，且

∠ACB=120°，则该双曲线的离心率为_________．

15．已知函数f（x）=mx2+lnx﹣2x在定义域内不是单调函数，则实数m的取值范围

_________．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．(12分)在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点．（Ⅰ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；

（Ⅱ）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P ﹣AC ﹣B 的大小为30°？若存在，求出BP 的长；若不存在，请说明理由．

17 ．（12分）设F 1、F 2分别是椭圆14

22

=+y x 的左、右焦点｡ (1)若P 是该椭圆上的一个动点,求21PF PF ⋅的最大值和最小值;

(2)设过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A ．B,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围｡

18．（12分）已知命题P ：函数

在区间（a ，2a+1）上是单调递增函数；命题Q ：不等式（a ﹣2）x 2+2（a ﹣2）x ﹣4＜0对任意实数x 恒成立．若P ∨Q 是真命题，求实数

a 的取值范围．

19．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，点G 是侧面三角形PBC 的重心；

（1）求AG 与平面PBD 所成的角的正弦值．

（2）在侧棱PD 上是否存在一点N ，使得PB ∥平面AGN ？，若存在试确定点N 的位置，若不存在，试说明理由．

20．（13分）已知f （x ）=x 2

+bx+c 为偶函数，曲线y=f （x ）过点（2，5），g （x ）=（x+a ）f （x ）．

（1）求曲线y=g （x ）有斜率为0的切线，求实数a 的取值范围；

（2）若当x=﹣1时函数y=g （x ）取得极值，确定y=g （x ）的单调区间．

21．（13分）已知f（x）=（x∈R）在区间[﹣1，1]上是增函数．

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=的两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不

等式m2+tm+1≥|x1﹣x2|对任意a∈A及t∈[﹣1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．（2004•福建）已知f（x）=

2x−a

x2+2

（x∈R）在区间[-1，1]上是增函数．

（Ⅰ）求实数a的值组成的集合A；

（Ⅱ）设关于x的方程f（x）=

1

x

的两个非零实根为x

1、x

2

．试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x

1

-x

2

|对任意a∈A及t∈[-1，1]

恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

考点：函数的单调性与导数的关系．

专题：压轴题．

分析：（Ⅰ）函数单调递增导数大于等于零列出不等式解之

（Ⅱ）根据一元二次方程根与系数的关系写出不等式先看成关于a的不等式恒成立再看成关于t的一次不等式恒成立，让两端点大等于零

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=

4+2ax−2x2

(x2+2)2

=

−2(x2−ax−2)

(x2+2)2

，

∵f（x）在[-1，1]上是增函数，

∴f'（x）≥0对x∈[-1，1]恒成立，

即x2-ax-2≤0对x∈[-1，1]恒成立．①

设φ（x）=x2-ax-2，

方法一：φ

①⇔

φ(1)＝

1−a−2≤0

φ(−1)＝

1+a−2≤0

⇔-1≤a≤1，

∵对x∈[-1，1]，f（x）是连续函数，且只有当a=1时，f'（-1）=0以及当a=-1时，f'（1）=0

∴A={a|-1≤a≤1}．方法二：

①⇔