剪力图和弯矩图教程

MB=0
3 M E 15kN 3m 5kN / m 3m 2 m
22.5kN·m
例题6 一外伸梁如图示。试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关 系作此梁的FQ、M图。
解：1.求约束力
FAy 5kN, FBy 13kN
2.画内力图 (1)剪力图。
ACB段： FQ图为一水平直线
－
3kN
（M）
1.8kNm －
1.2kNm
＋
＋
2。4kNm 1.25kNm
MC ＝0、 MA ＝－1.8kNm MB ＝0 、ME ＝1.25kNm、
MD＋ ＝－1.2kNm 、
5kN
MD－ ＝2.4kNm 的对应值便可作 出图(c)所示的弯矩图。由图可
见，梁上点D左侧相邻的横截面
上弯矩最大，
Mmax
(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有 极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、 负号的截面，弯矩也具有极值。
பைடு நூலகம்
例题５ 简支梁如图所示，试用荷载集度、剪力和弯矩间的微分 关系作此梁的剪力图和弯矩图。
解： 1. 求约束反力
FAy 15kN, FBy 15kN
2. 画FQ图
FQA右=FQC=FQB左=－5kN BD段：FQ图为右下斜直线。
FQB右＝ FQB左+13=8kN FQD=0
(2) 弯矩图
AC段：FQ<0，故M图为一右上斜直线
MA=0，MC左=－5kN×2m=－10kN.m
CB段：FQ<0,故M图为一右上斜直线，
在C处弯矩有突变。
BD段： 段内有向下均布荷载，M图为下凸
Me l
x
Me
(a<x≤l)
3.绘出剪力图和弯矩图
二、根据内力图规律做图
１.剪力图与荷载的关系
（１）在均布荷载作用段， FQ图是斜直线，倾斜方向与荷载指向相同 (2)无荷载作用区段，即q(x)=0，FQ图为平行x轴的直线。 (3)在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等 于该集中力的大小。 (4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连续无变化。

M D

2.4kN m
例8 试画出图示梁的内力图。
q＝5kN/m
2kN
A
CB
8m
1m
19.75kN
（Q） +
x=3.95m
（M） +
2kN
+
-
20.25kN
2kNm
-
39kNm
P
5a

RB

3a

m

1 2
q2a2

0
解得
B
RB P 2qa RA 5kN
RB 由 Y 0
P RA RB 2qa 0
解得
RA

1 4P 3

m a

2qa

10kN
（2）画内力图：
CA段: q=0，
剪力图为水平直线； 弯矩图为斜值线。
Q C

Q A

P

3kN
M C 0 MA P a 1.8kN
AD段:q=0,剪力图为水平直线；
弯矩图为斜值线。
M P a 1.8kN A
Q A

QD

P

RA

7kN
M D

P 2a

RA
a

2.4kN
m
DB段:q<0, 剪力图为斜直线； 弯矩图为抛物线。
P＝3kN
q=10kN/m
x
AD
C
a=0.6m
RA
a=0.6m
E
2a=1。2m
7kN
根据
QB－ ＝－5kN QC＋ ＝－3kN 、
B QA＋ ＝7kN 、QA－ ＝－3kN 、
QD ＝7kN的对应值便可作出图(b)
所示的剪力图 。可见， 在AD段
RB 剪力最大，
Q 7kN max
根据
＋
（Q） －
(4) 在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针方向的集中力偶 使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集 中力偶矩的大小。
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物线。当FQ 图为平行于x轴的直线时，M图为斜直线。

FAy x

1 9x2 2

1 2
qlx
1 2
qx 2
3.作剪应力图和弯矩图
最大剪力发生在梁端，其值为
F1 ql Qmax 2
最大弯矩发生在跨中，它的数值为Mmax

1 ql 2 8
例题3 简支梁受集中作用如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAy

Fb l , FBy

Fa l
3.作剪力图和弯矩图
例题4 简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
FAy

Me l
, FBy

Me l
2.列剪应力方程和弯矩方程
AB段：
FQ (x)

Me l
（0<x<l）
AC段：
Me
M (x) FAy x l x (0≤x≤a)
CB段：
M (x)

FAY x Me
Q B

RB

5kN
Qx RB qx
0 x 2a
令： Qx 0
x RB q 0.5m
M D

P 2a

RA
a

m
1.2kN m
M E RB 0.5 q 0.52 / 2
1.25kN m
MB 0
m=3.6kNm
MC右=－5kN×2m+12kN.m MB=－4kN/m×2m×1m=－8kN.m
抛物线， MB=－8KN.m，MD=0
例7 外伸梁如图所示，试画出该梁的内力图。
m=3.6kNm
P＝3kN
q=10kN/m
x
AD
C
a=0.6m
RA
a=0.6m
E
2a=1。2m
解： （1）求梁的支座反力
由 mA 0
2.弯矩图与荷载的关系
(1)在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。
(2)当q(x)朝下时，d 2dMx2(x) q(x) 0 M图为上凹下凸。
d
当q(x)朝上时，
2M (x) dx2

q(x)

0
M图为上凸下凹。
(3) 在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力向下，则M 图向下转折；反之，则向上转折。
2.列剪力方程和弯矩方程
AC段：
FQ (x)

FAy

Fb l
（0<x<a）
M (x)

FAy x

Fb l
(0≤x≤a)
CB段：
Fb
Fa
FQ (x) FAy F l F l
Fa M (x) FAy x F(x a) l (l x)
(a<x<l) (0≤x≤l)
2.作剪力图和弯矩图
由剪力图和弯矩图可知：
FQ max F M Fl
max
例题2 简支梁受均布荷载作用，如图示，作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力
由对称关系，可得：
FAy

FBy

1 2
ql
2.列剪力方程和弯矩方程
1 FQ (x) FAy qx 2 ql qx
M (x)
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直于梁轴线方 向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘制表示FQ (x)和M(x)的图线。 这种图线分别称为剪力图和弯矩图，简称FQ图和M图。
绘图时一般规定正号的剪力 画在x轴的上侧，负号的剪力画 在x轴的下侧；
正弯矩画在x轴下侧，负弯矩 画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受 拉的一侧。
一、根据内力方程作内力图
剪力方程——表示横截面上剪力FQ随横截面位置x而变化的函数关系； 弯矩方程——表示横截面上弯矩M随横截面位置x而变化的函数关系。
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用，试作此 梁的剪力图和弯矩图
解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ (x) F M (x) Fx
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
各控制点处的FQ值如下：
FQA右=FQC左=15kN
FQC右=FQD=15 kN －10kN=5kN
FQD=5kN
F QB左=－15kN
3. 画M图
MA = 0, MC =15kN×2m=30 kN.m MD = 15kN×4m－ 10kN×2m=40kN.m
MD右= 15kN×4m－ 5kN×4m×2m=20 kN.m