第二章材料中晶体结构
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20
(2)确定已知晶向的指数[uvtw]
移步法 公式换算法 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定
晶向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
21
先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
第二章 材料中的晶体结构
晶体可分为： ①金属晶体 ②离子晶体 ③共价晶体 ④分子晶体 晶体结构
晶体中原子（离子或分子）在三维空间的 具体排列方式。
1
主要内容:
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
2
第一节 晶体学基础
空间点阵和晶胞 晶系和布拉菲点阵 晶向指数和晶面指数 晶面间距 晶带及晶带定理
3
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
晶体 → 点阵 → 晶格 →晶胞
1、空间点阵 人为地将晶体结构抽象为空间点阵。指由 几何点在三维空间作周期性的规则排列所 形成的三维阵列。
2、阵点（结点） 构成空间点阵的每一个点。
4
3、晶格
人为地将阵点用一Biblioteka Baidu列相互平行的直线连接起来 形成的空间格架。
4、晶胞
10
２、晶面指数
确定步骤：（确定已知晶面的指数） ①建立坐标：以晶胞的某一阵点O为原点，以过原
点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a、b、c为三个坐 标轴的长度单位。
★坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待 定晶面上。
②求截距：晶面与某坐标轴平行，截距为∞。 ③取倒数。 ④化整并加圆括号→(hkl)
11
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
22
第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个 坐标轴作垂直投影，给 C轴的投影值乘以 3/2， 再将四个投影值化为一组最小整数，即为 [uvtw]
23
课堂练习:
14
B、写出BCD晶面指数
15
解： （1）以A点为原点建坐标系 （2）求截距：-1/2, -3/4, 1 （3）取倒数：-2，-4/3, 1 （4）化整数：-6，-4，3 （5）加括号(-6 -4 3)
16
C、写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数
17
3、六方晶系的晶向指数和晶面指数 (1)确定已知晶面的指数（hkil） ①建坐标．四轴坐标，坐标轴为 a1、a2 、
a3 和c ，坐标原点不能位于待定晶面内 ②求截距．以晶格常数为单位，求待定晶面
在坐标轴上的截距值 ③取倒数．将截距值取倒数 ④化整数．将截距值的倒数化为一组最小整
数 ⑤加括号．（hkil），可以证明，i=－(h+k)
18
例题:
19
课堂练习 写出图中六方晶胞六个侧面的 MillerBravais指数，及其晶面族的指数．
构成晶格的最基本单元，选取晶胞应满足的条 件： ①充分反映整个空间点阵的对称性； ②要具有尽可能多的直角； ③晶胞的体积要最小。
简单晶胞：只在八个角 点上有阵点； 复合晶胞：体心、面心 上也有阵点。
5
5、晶胞形状和大小的表达
①由三个棱边长度a、b、c（点阵常数）及其夹角α、β、γ六 个 参数完全表达。
特别说明： (hkl)不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶
面。 平行晶面的面指数相同，或数字相同而正负号相反。 晶体中具有相同条件（原子排列和面间距完全相同）而
只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl}表 示。
{100如} 立(1方00晶) 系 (中01：0) (001) (100) (010) (001)
uvw，并加括号[uvw]，负号在数值上方。
9
特别说明： 一个晶向代表相互平行、方向一致的所有晶向。 两晶向平行但方向相反→数字相同，符号相反。
如 [112]、[112] 晶体中原子排列相同，但空间位向不同的一组晶
向，称为晶向族，用<uvw>表示。 如立方<111>包括：[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111] 立方体４个体对角线。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示 的晶向可能不是同等的。如：正交晶系中[100]、 [010]、[001]不是等同晶向，因a≠b≠c，原子排列 的情况不同，不属于同一晶向族。
对正交晶系，(100)、 (010)、 (001)原子排列情况不 同，晶面间距不等，不属于同一晶面族。
立方晶系，相同指数的晶向和晶面必定相互垂直，如 [100]⊥(100)，但不适应于其它晶系。
12
课堂练习： A、写出MN晶向指数
13
解： （1）选M点为原点，建立坐标系 （2）N点的坐标：-1/2, 1/2, 1 （3）化整数：-1，1，2 （4）加括号：[-1 1 2]
晶面 空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面。
8
用密勒（Miller）指数来表示晶向和晶面指 数。
1、晶向指数 确定步骤：（确定已知晶向的指数） ①建立坐标系：以待定晶向上的某一阵点为
原点，晶轴为坐标轴。 ②确定坐标值：确定距原点最近的一个阵点
的三个坐标值。 ③化整并加方括号：坐标值化为最小整数
1 4)整数化:[-1 -1 2 3] 5)AB=[11-2-3]
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(3)BC晶向:
写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞 表面交线的指数
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解: (1)求ABCDA晶面指数
1)四个轴的截距为:1, ∞, -1, 1 2)倒数:1, 0, -1, 1 3)整数化:(1 0 -1 1)
(2)BA晶向:(晶向采用公式法) 先求三轴坐标: 1)坐标原点为B点 2)A的三轴投影:-1, -1, 1[UVW] 3)公式转成四轴:-1/3, -1/3, 2/3,
②点阵中任一阵点位置：
r rr r ruvw ua vb wc
r：原点到某阵点的矢量； u, v, w：沿三个点阵矢量方向平移的基矢数或坐标值。
6
二、晶系和布拉菲（A. Bravais）点阵 7个晶系（表2-1，P40）
14种空间点阵 （布拉菲点阵）
7
三、晶向指数和晶面指数
晶向 空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中 原子排列的方向。
(2)确定已知晶向的指数[uvtw]
移步法 公式换算法 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定
晶向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
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先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
第二章 材料中的晶体结构
晶体可分为： ①金属晶体 ②离子晶体 ③共价晶体 ④分子晶体 晶体结构
晶体中原子（离子或分子）在三维空间的 具体排列方式。
1
主要内容:
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
2
第一节 晶体学基础
空间点阵和晶胞 晶系和布拉菲点阵 晶向指数和晶面指数 晶面间距 晶带及晶带定理
3
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
晶体 → 点阵 → 晶格 →晶胞
1、空间点阵 人为地将晶体结构抽象为空间点阵。指由 几何点在三维空间作周期性的规则排列所 形成的三维阵列。
2、阵点（结点） 构成空间点阵的每一个点。
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3、晶格
人为地将阵点用一Biblioteka Baidu列相互平行的直线连接起来 形成的空间格架。
4、晶胞
10
２、晶面指数
确定步骤：（确定已知晶面的指数） ①建立坐标：以晶胞的某一阵点O为原点，以过原
点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a、b、c为三个坐 标轴的长度单位。
★坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待 定晶面上。
②求截距：晶面与某坐标轴平行，截距为∞。 ③取倒数。 ④化整并加圆括号→(hkl)
11
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
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第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个 坐标轴作垂直投影，给 C轴的投影值乘以 3/2， 再将四个投影值化为一组最小整数，即为 [uvtw]
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课堂练习:
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B、写出BCD晶面指数
15
解： （1）以A点为原点建坐标系 （2）求截距：-1/2, -3/4, 1 （3）取倒数：-2，-4/3, 1 （4）化整数：-6，-4，3 （5）加括号(-6 -4 3)
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C、写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数
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3、六方晶系的晶向指数和晶面指数 (1)确定已知晶面的指数（hkil） ①建坐标．四轴坐标，坐标轴为 a1、a2 、
a3 和c ，坐标原点不能位于待定晶面内 ②求截距．以晶格常数为单位，求待定晶面
在坐标轴上的截距值 ③取倒数．将截距值取倒数 ④化整数．将截距值的倒数化为一组最小整
数 ⑤加括号．（hkil），可以证明，i=－(h+k)
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例题:
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课堂练习 写出图中六方晶胞六个侧面的 MillerBravais指数，及其晶面族的指数．
构成晶格的最基本单元，选取晶胞应满足的条 件： ①充分反映整个空间点阵的对称性； ②要具有尽可能多的直角； ③晶胞的体积要最小。
简单晶胞：只在八个角 点上有阵点； 复合晶胞：体心、面心 上也有阵点。
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5、晶胞形状和大小的表达
①由三个棱边长度a、b、c（点阵常数）及其夹角α、β、γ六 个 参数完全表达。
特别说明： (hkl)不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶
面。 平行晶面的面指数相同，或数字相同而正负号相反。 晶体中具有相同条件（原子排列和面间距完全相同）而
只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl}表 示。
{100如} 立(1方00晶) 系 (中01：0) (001) (100) (010) (001)
uvw，并加括号[uvw]，负号在数值上方。
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特别说明： 一个晶向代表相互平行、方向一致的所有晶向。 两晶向平行但方向相反→数字相同，符号相反。
如 [112]、[112] 晶体中原子排列相同，但空间位向不同的一组晶
向，称为晶向族，用<uvw>表示。 如立方<111>包括：[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111] 立方体４个体对角线。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示 的晶向可能不是同等的。如：正交晶系中[100]、 [010]、[001]不是等同晶向，因a≠b≠c，原子排列 的情况不同，不属于同一晶向族。
对正交晶系，(100)、 (010)、 (001)原子排列情况不 同，晶面间距不等，不属于同一晶面族。
立方晶系，相同指数的晶向和晶面必定相互垂直，如 [100]⊥(100)，但不适应于其它晶系。
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课堂练习： A、写出MN晶向指数
13
解： （1）选M点为原点，建立坐标系 （2）N点的坐标：-1/2, 1/2, 1 （3）化整数：-1，1，2 （4）加括号：[-1 1 2]
晶面 空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面。
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用密勒（Miller）指数来表示晶向和晶面指 数。
1、晶向指数 确定步骤：（确定已知晶向的指数） ①建立坐标系：以待定晶向上的某一阵点为
原点，晶轴为坐标轴。 ②确定坐标值：确定距原点最近的一个阵点
的三个坐标值。 ③化整并加方括号：坐标值化为最小整数
1 4)整数化:[-1 -1 2 3] 5)AB=[11-2-3]
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(3)BC晶向:
写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞 表面交线的指数
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解: (1)求ABCDA晶面指数
1)四个轴的截距为:1, ∞, -1, 1 2)倒数:1, 0, -1, 1 3)整数化:(1 0 -1 1)
(2)BA晶向:(晶向采用公式法) 先求三轴坐标: 1)坐标原点为B点 2)A的三轴投影:-1, -1, 1[UVW] 3)公式转成四轴:-1/3, -1/3, 2/3,
②点阵中任一阵点位置：
r rr r ruvw ua vb wc
r：原点到某阵点的矢量； u, v, w：沿三个点阵矢量方向平移的基矢数或坐标值。
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二、晶系和布拉菲（A. Bravais）点阵 7个晶系（表2-1，P40）
14种空间点阵 （布拉菲点阵）
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三、晶向指数和晶面指数
晶向 空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中 原子排列的方向。