第二章材料中晶体结构
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晶体学基础
图 六方晶系的一些晶向指数与晶面指数
4.晶带
相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个晶带， 此直线称为晶带轴 设晶带轴的指数为[uvw]，则晶带中任何一个晶面的指数 （hkl）都必须满足：hu+kv+lw=0，满足此关系的晶面都属 于以[uvw]为晶带轴的晶带。→晶带定律 （a） 由两晶面(h1k1l1) (h2k2l2)求其晶带轴[uvw]：
简单晶胞计算公式
正交晶系
dhkl
1 h k l a b c
2 2 2
立方晶系
d hkl
d hkl
a h k l
2 2 2
六方晶系
1 4 h hk k l 2 3 a c
2 2 2 2
的一组晶向，用<uvw>表示。数字相同，但排列顺序不
同或正负号不同的晶向属于同一晶向族。
eg： 立方晶系中
[111 ], [1 11], [1 1 1], [11 1][11 1], [1 11][1 1 1], [111 ] 八个晶向是立方体中
四个体对角线的方向，其原子排列完全相同，属同一晶向族，故用<111>表示。
六方晶系的晶向指数和晶面指
数同样可以应用上述方法标定，
这时取a1，a2，c为晶轴，而 a1轴与a2轴的夹角为120度，c 轴与a1，a2轴相垂直。但这种 方法标定的晶面指数和晶向指 数，不能显示六方晶系的对称 性，同类型 晶面和晶向，其指 数却不相雷同，往往看不出他 们的等同关系。
根据六方晶系的对称特点，对六 方晶系采用a1，a2，a3及c四个
§2.2.2 晶系和布拉菲点阵
1.七个晶系
2. 十四种布拉菲点阵 按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，最先是布拉菲 （A. Bravais）用数学方法证明了只能有14种空间点阵。通 常人们所说的点阵就是指布拉菲点阵。
无机材料科学基础___第二章晶体结构
第 2 章结晶结构一、名词解释1．晶体：晶体是内部质点在三维空间内周期性重复排列，具有格子构造的固体2．空间点阵与晶胞：空间点阵是几何点在三维空间内周期性的重复排列晶胞：反应晶体周期性和对称性的最小单元3．配位数与配位多面体：化合物中中心原子周围的配位原子个数成配位关系的原子或离子连线所构成的几何多面体4．离子极化：在离子化合物中，正、负离子的电子云分布在对方离子的电场作用下，发生变形的现象5．同质多晶与类质同晶：同一物质在不同的热力学条件下具有不同的晶体结构化学成分相类似物质的在相同的热力学条件下具有相同的晶体结构6．正尖晶石与反尖晶石：正尖晶石是指2价阳离子全部填充于四面体空隙中，3价阳离子全部填充于八面体空隙中。
反尖晶石是指2价阳离子全部填充于八面体空隙中，3价阳离子一半填充于八面体空隙中，一半填充于四面体空隙。
二、填空与选择1．晶体的基本性质有五种：对称性，异相性，均一性，自限性和稳定性（最小内能性）。
2．空间点阵是由 C 在空间作有规律的重复排列。
（ A 原子 B离子 C几何点 D分子）3．在等大球体的最紧密堆积中有面心立方密堆积和六方密堆积二种排列方式，前者的堆积方式是以（111）面进行堆积，后者的堆积方式是以（001）面进行堆积。
4．如晶体按立方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 4 ，八面体空隙数为 4 ，四面体空隙数为 8 ；如按六方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 6 ，八面体空隙数为6 ，四面体空隙数为 12 ；如按体心立方近似密堆积，单位晶胞中原子的个数为 2 ，八面体空隙数为 12 ，四面体空隙数为 6 。
5．等径球体最紧密堆积的空隙有两种：四面体空隙和八面体空隙。
一个球的周围有 8个四面体空隙、 6 个八面体空隙；n个等径球体做最紧密堆积时可形成 2n 个四面体空隙、 n 个八面体空隙。
不等径球体进行堆积时，大球做最紧密堆积或近似密堆积，小球填充于空隙中。
6．在离子晶体中，配置于正离子周围的负离子数（即负离子配位数），决定于正、负离子半径比（r ＋/r －）。
第二章45节晶体结构与常见晶体类型-文档资料
ABC ABC... .
8
面面心心立立方方最最紧紧密密堆堆积积
A
B
C
9
面心立方最紧BCABC……, 即每三层重复一次
10
面面心心立立方方最最紧紧密密堆堆积积
12
6
3
54
11
晶体结构
面心立方 晶胞
在这种堆积方式中可以找出面心立方晶 胞，其中的相当点按面心立方格子分布， 所以称为面心立方最紧密堆积。 其最紧密排列层平行于{111}面网。
①被极化—— 一个离子在其他离子所产生的外电场作用下产生极化（变形）。 变形程度大小用极化率α表示。
F
F——离子所在位置的电场强度；u——诱导偶极矩。 u=e·L e——电荷；L——极化后正、负电荷的中心距。
②主极化——一个离子其本身的电场作用于周围离子使其他离子极化变形。主极 化能力的大小用极化力β表示。
4
六方最紧密堆积
A B A B A
ABABAB…… 每两层重复一次
5
六方晶胞——六方密堆积
A
B
A
密 排
B面
A
A
6
※ 六方最紧密堆积的排列层序是：AB AB AB... ... 将这些球的球心联结起来，便形成六方原始格子，即在这
种堆积中可找出六方晶胞，故称为六方最紧密堆积。其 最紧密排列层平行于{0001}面网。
w r2
w——离子的电价；r——离子半径。
33
在离子晶体中，一般正离子半径较小，当电价较高时， 极化力较明显，而极化率较小，不易变形。负离子半径较大 ，易于变形而被极化，而极化力较小。如Br-、I-等。
通常只考虑正离子对负离子的极化作用。但当正离子外层 为18电子构型时，如Cu+、Ag+、Zn2+等，极化率也比较大， 需考虑负离子对它们的极化作用。
第二章晶体结构
为6个晶胞所共有，上下底面中心的原子为2个晶胞所共有，
所以六方柱晶胞所包含的原子数为：
12
1 6
2
1 2
3 6
二、非金属元素单质的晶体结构
1.惰性气体元素的晶体 惰性气体在低温下形成的晶体为A1（面心立方）型 或A3（六方密堆）型结构。由于惰性气体原子外层为满 电子构型，它们之间并不形成化学键，低温时形成的晶 体是靠微弱的没有方向性的范德华力直接凝聚成最紧密 堆积的A1型或A3型分子晶体。
－填充在八个小立方体的体心。
Ca2+的配位数是8，形成立方配位多面体[CaF8]。F－的配位数
是4，形成[FCa4]四面体，F－占据Ca2+离子堆积形成的四面体
空隙的100%。 或F－作简单立方堆积，Ca2+占据立方体空隙的一半。 晶胞分子数为4。 由一套Ca2+离子的面心立方格子和2套F－离子的面心立方格子
金
红
石
0 .4 1 4 ~ 0 .7 3 2
TeO 2 C oF2 SnO 2 O sO 2 VO2 M nO 2
（ T iO 2 ） 型
-方 石 英 型
0 .2 2 5 ~ 0 .4 1 4
S iO 2
1.萤石（CaF2）型结构及反萤石型结构
立方晶系，点群m3m，空间群Fm3m，如图2-10所示。 Ca2+位于立方晶胞的顶点及面心位置，形成面心立方堆积，F
（a）面心立方 （A1型）
（b）体心立方 （A2型）
（c）密排六方 （A3型）
图2-1 常见金属晶体的晶胞结构
面心立方结构
常见面心立方的金属有Au、Ag、Cu、Al、-Fe 等，晶格结构中原子坐标分别为[0,0,0]，[0,1/2,1/2]，
第二章 晶体结构
晶胞
• 有实在的具体质点所 组成
平行六面体
• 由不具有任何物理、化学 特性的几何点构成。
是指能够充分反映整个晶体结构特征的最小结构单位， 其形状大小与对应的单位平行六面体完全一致，并可用 晶胞参数来表征，其数值等同于对应的单位平行六面体 参数。
晶胞棱边长度a、b、c，其单位为nm ,棱间夹角α、β、 γ。这六个参数叫做点阵常数或晶格常数。
面网密度：面网上单位面积内结点的数目； 面网间距：任意两个相邻面网的垂直距离。
相互平行的面网的面网密度
和面网间距相等； 面网密度大的面网其面网间 距越大。
空间格子―――连接分布在三维空间的结点构成空 间格子。由三个不共面的行列就决定一个空间格子。
空间格子由一系列 平行叠放的平行六 面体构成
2-1 结晶学基础
一、空间点阵
1.晶体的基本概念 人们对晶体的认识，是从石英开始的。 人们把外形上具有规则的几何多面体形态的 固体称为晶体。 1912年劳厄（德国的物理学家）第一次成功 获得晶体对X射线的衍射线的图案，才使研究 深入到晶体的内部结构，才从本质上认识了 晶体，证实了晶体内部质点空间是按一定方 式有规律地周期性排列的。
第二章 晶体结构
第二章 晶体结构
1
结晶学基础 晶体化学基本原理 非金属单质晶体结构
2
3 4 5
无机化合物晶体结构
硅酸盐晶体结构
重点：重点为结晶学指数，晶体中质点的堆 积，氯化钠型结构，闪锌矿型结构，萤石型 （反萤石型）结构，钙钛矿型结构，鲍林规 则，硅酸盐晶体结构分类方法。 难点：晶体中质点的堆积，典型的晶体结构 分析。
• 结点分布在平行六面
体的顶角； •平行六面体的三组棱长 就是相应三组行列的结 点间距。
第二章 晶体结构与结晶
α-Fe
γ-Fe
2、固态转变的特点 ⑴形核一般在某些特定部 位发生（如晶界、 位发生（如晶界、晶内 缺陷、特定晶面等）。 缺陷、特定晶面等）。
锡 疫
固态相变的晶界形核
⑵由于固态下扩散困难，因 由于固态下扩散困难， 而过冷倾向大。 而过冷倾向大。 ⑶固态转变伴随着体积变化， 固态转变伴随着体积变化，
（2）细化晶粒的方法 ）细化晶粒的方法
1）增大过冷度——提高液体金属的冷却速 增大过冷度 过冷度——提高液体金属的冷却速 度。 2）变质处理——在金属中加入能非自发形 变质处理——在金属中加入能非自发形 核的物质，增加晶核的数量或者阻碍晶核长 核的物质， 大。 3）振动或搅拌——造成枝晶破碎细化（增 振动或搅拌——造成枝晶破碎细化 造成枝晶破碎细化（ 加新生晶核）。 加新生晶核）。
(2)晶核长大 (2)晶核长大
晶核长大：即金属结晶时， 晶核长大：即金属结晶时，晶粒长大成为 晶体的过程。 晶体的过程。 两种长大方式 —— 平面生长 与 树枝状生长 树枝 状生 长 平面生长
树枝状结晶
金 属 的 树 枝 晶 金 属 的 树 枝 晶 冰 的 树 枝 晶
金 属 的 树 枝 晶
枝晶形成的原因： 枝晶形成的原因：
式中 ΔT——过冷度（℃）； ΔT——过冷度 过冷度（ ——金属的理论结晶温度 金属的理论结晶温度（ T0 ——金属的理论结晶温度（℃）； ——金属的实际结晶温度 金属的实际结晶温度（ Tn ——金属的实际结晶温度（℃）。
金属的过冷度不是恒定值，它与冷却速度有关。 金属的过冷度不是恒定值，它与冷却速度有关。
（4）铸锭的缺陷 ）
1、缩孔（集中缩孔） 、缩孔（集中缩孔） --最后凝固的地方 最后凝固的地方 2、缩松（分散缩孔） 、缩松（分散缩孔） --枝晶间和枝晶内 枝晶间和枝晶内 3、气孔（皮下气孔） 、气孔（皮下气孔）
第二章晶体结构
k1 u : v : w k2
l1
l2 l2
:
l1
h1
h2 h2
:
h1
k1 k2
(b)求晶向[u v1 w1]和[u2 v2 w2]所决定的晶面指数，建立方程组： hu1+kv1+lw1=0 hu2+kv2+lw =0
1
2
h:k :l
v1 w1 v2 w2
:
w1 u1
w2 u 2 u 2 v2
[1 00 ]
[0 1 0]
[010]
[1 00]
y
[100]
x
[00 1]
111 : [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]
z
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
[111]
第二章 材料中的晶体结构
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
1.基本概念 刚球模型→用刚球代表空间排列的原子 阵点→将构成晶体的实际质点（原子、离子、分子）抽象 成纯粹的几何点称为阵点。 空间点阵→是一个几何概念，是指由几何点在三维空间 做周期性的规则排列所形成的三维列阵。 晶格→将阵点用一系列相互平行的直线连接起来形成空间 格架。 晶胞→反映晶格特征的最小几何单元。
(c)已知晶面（h1 k1 l1)和晶面（h2 k2 l2)在一个晶带上，求位于此 晶带上介于两晶面之间的另一晶面指数。由于 h1u+k1v+l1w=0 h2u+k2v+l2w=0 则（h1+h2)u+(k1+k2)v+(l1+l2)w=0, 即（h1+h2)、（k1+k2)、（l1+l2)必为此晶向上另一可能晶面 的晶面指数。
材料科学基础第二章
y
[111]
x
[111]
例：画出晶向
[112 ]
2.立方晶系晶面指数
晶面指数的确定方法
（a)建立坐标系，结点为原点， 三棱为方向，点阵常数为单位 （原点在标定面以外，可以采 用平移法）； (b)晶面在三个坐标上的截距a1 a2 a3 ； (c)计算其倒数 b1 b2 b3 ； (d)化成最小、整数比h：k：l ； 放在圆方括号(hkl)，不加逗号， 负号记在上方 。
3.六方晶系晶面和晶向指数
三指数表示六方晶系晶面和晶向的缺点：晶体学上等价的 晶面和晶向不具有类似的指数。 例：
晶面指数
(11 0)
（100）
[010] [100]
从晶面指数上不能明确表示等同晶面，为了克服这一缺点， 采用a1、a2、a3及c四个晶轴， a1、a2、a3之间的夹角均 为120º ，晶面指数以（hkil）表示。 根据立体几何，在三维空间中独立的坐标轴不会超过三 个可证明 ： i= - (h+k) 或 h+k+i=0
六方晶系
d hkl
h k l a b c
2 2 2
d hkl
a h2 k 2 l 2
1 l c
2
4 h 2 hk k 2 3 a2
注：以上公式是针对简单晶胞而言的，如为复杂晶胞， 例如体心、面心，在计算时应考虑晶面层数增加的影 响，如体心立方、面心立方、上下底（001）之间还有 一层同类型晶面，实际
[1 00 ]
[0 1 0]
[010]
[1 00]
y
[100]
x
[00 1]
机械工程材料 第二章 金属的晶体结构与结晶
均匀长大
树枝状长大
2-2
晶粒度
实际金属结晶后形成多晶体，晶粒的大小对力学性能影响很大。 晶粒细小金属强度、塑性、韧性好，且晶粒愈细小，性能愈好。
标准晶粒度共分八级， 一级最粗，八级最细。 通过100倍显微镜下的 晶粒大小与标准图对 照来评级。
2-2
• 影响晶粒度的因素
• （1）结晶过程中的形核速度N（形核率） • （2）长大速度G（长大率）
面心立方晶 格
912 °C α - Fe
体心立方晶 格
1600
温 度
1500 1400
1300
1200
1100
1000
900
800
700 600 500
1534℃ 1394℃
体心立方晶格
δ - Fe
γ - Fe
γ - Fe
912℃
纯铁的冷却曲线
α – Fe
体心立方晶 格
时间
由于纯铁具有同素异构转变的特性，因此，生产中才有可能通过 不同的热处理工艺来改变钢铁的组织和性能。
2-3
• 铁碳合金—碳钢+铸铁，是工业应用最广的合金。 含碳量为0.0218% ~2.11%的称钢 含碳量为 2.11%~ 6.69%的称铸铁。 Fe、C为组元，称为黑色金属。 Fe-C合金除Fe和C外，还含有少量Mn 、Si 、P 、 S 、 N 、O等元素，这些元素称为杂质。
2-3
• 铁和碳可形成一系列稳定化合物： Fe3C、 Fe2C、 FeC。 • 含碳量大于Fe3C成分（6.69%）时，合金太脆，已无实用价值。 • 实际所讨论的铁碳合金相图是Fe- Fe3C相图。
2-2
物质从液态到固态的转变过程称为凝固。 材料的凝固分为两种类型：
第2章 材料中的晶体结构
b. 已知两不平行晶向[u1v1w1]和[u2v2w2 ]，由其决定的 晶面指数(hkl)为：
h v1 w 2 v 2 w 1 , k w 1u 2 w 2 u 1, l u 1 v 2 u 2 v1
补充
cos
2
(对于立方晶系)
两个晶面（h1k1l1）与（h2k2l2）之间的夹角φ
h h
1 2
k k
1 2
2
2
ll
1
2 2 2
(h1
k
2 1
l1 )
(h 2
k
l
2 2
)
两个晶向[u1v1w1]与[u2v2w2]之间的夹角θ
cos
2
u u
1
2
vv
1 2
2
w w
1 2
2
(u 1
v
2 1
w1)
(u 2
v
2 2
w
2 2
)
晶面（hkl）与晶向[uvw]之间的夹角ψ
晶向指数用[uvtw] 来表示。其中 t =－（u＋v）
120° 120°
晶面指数的标定
1.求晶面与四个轴的截距
2.取倒数
3.再化成简单整数
4.用圆括号括起来（h k i l）
六方系六个侧面的指数分别为：
(1 1 00),(01 1 0),(10 1 0),(1 100),(0 1 10),(1 010)
(210)
(012)
(362)
注意
选坐标原点时，应使其位于待定晶面以外，防止 出现零截距。 已知截距求晶面指数，则指数是唯一的；而已知 晶面指数，画晶面时，这个晶面就不是唯一的。
陆佩文材料科学基础 名词解释 -课后
第二章晶体结构2.1名词解释晶体由原子(或离子分子等)在空间作周期性排列所构成的固态物质晶胞是能够反应晶体结构特征的最小单位, 晶体可看成晶胞的无间隙堆垛而成。
晶体结构中的平行六面体单位点阵(空间点阵) 一系列在三维空间按周期性排列的几何点.对称：物体相同部分作有规律的重复。
对称型：晶体结构中所有点对称要素（对称面、对称中心、对称轴和旋转反伸轴）的集合,又叫点群.空间群：是指一个晶体结构中所有对称要素的集合布拉菲格子把基元以相同的方式放置在每个格点上，就得到实际的晶体结构。
基元只有一个原子的晶格称为布拉菲格子。
范德华健分子间由于色散、诱导、取向作用而产生的吸引力的总和配位数:晶体结构中任一原子周围最近邻且等距离的原子数.2.2试从晶体结构的周期性论述晶体点阵结构不可能有5次和大于6次的旋转对称?2.3金属Ni具有立方最紧密堆积的结构试问: I一个晶胞中有几个Ni原子？ II 若已知Ni原子的半径为0.125nm，其晶胞边长为多少？2.4金属铝属立方晶系，其边长为0.405nm，假定其质量密度为2.7g/m3试确定其晶胞的布拉维格子类型2.5某晶体具有四方结构，其晶胞参数为a=b,c=a/2,若一晶面在x y z轴上的截距分别为2a 3b 6c,试着给出该晶面的密勒指数。
2.6试着画出立方晶体结构中的下列晶面（001）（110）（111）并分别标出下列晶向[210] [111] [101].2.14氯化铯（CsCl）晶体属于简立方结构，假设Cs+和Cl-沿立方对角线接触，且Cs+的半径为0.170nm Cl-的半径为0.181nm，试计算氯化铯晶体结构中离子的堆积密度，并结合紧密堆积结构的堆积密度对其堆积特点进行讨论。
2.15氧化锂（Li2O）的晶体结构可看成由O2-按照面心立方密堆，Li+占据其四面体空隙中，若Li+半径为0.074nm，O2-半径为0.140nm试计算I Li2O的晶胞常数 II O2-密堆积所形成的空隙能容纳阳正离子的最大半径是多少。
机械工程材料：第二章 金属的晶体结构与结晶
处原子排列不一致，存在一个过渡层，即晶界；
亚晶界:实际金属晶体内部，晶粒内原子排列也不完全理想 的规则排列，也存在很小位向差的小晶块，即亚晶 粒，亚晶粒的交界即亚晶界。
在实际晶体中，这三种缺陷随加工条件变化而变化，可产 生、发展，也可消失，对材料性能有很大影响。
常见的利用增加材料的缺陷，提高强度的方法
第二章 金属的晶体结构与结晶
金属特性与金属键 金属的晶体结构 实际金属结构 金属的结晶 金属铸锭组织
一、金属特性与金属键
原子的构造
①金属原子的最外层轨道电子少。 ②金属原子易失去电子而成为正离子。 ③金属键
金属正离子与自由电子间的静电作用， 使金属原子结合起来形成金属整体。
金属特性
关系
①优良的导电性和导热性。 ①导电：在电势作用下，自由
②不透明和具有金属光泽。
电子定向移动；
③较高的强度和较好的塑性。②正的电阻温度系数：
④正的电阻温度系Βιβλιοθήκη 。T↗，离子振动↗，电子运动阻力↗ ③塑性：金属中离子与电子间能保
持一定的相对关系。
二、金属的晶体结构
1. 晶体的基本知识
晶体与非晶体 晶体：内部原子在空间呈一定的有规则排列，具有固定熔 点和各向异性。(金刚石、盐) 非晶体：内部原子是无规则堆积在一起的。没有固定的熔 点，具有各向同性。(玻璃、石蜡)
晶格(点阵) 表示晶体中的原子(正离子)排列方式的空间几何体。 假设：A.金属中的原子(正离子)都是刚性小球； B.金属中的原子都缩小为一个点，线将点连 接起来，线与线的交点为节点。
晶胞：表示晶格几何特征的最小几何单元。 (1)晶格常数: 棱边长度 (a,b,c)，单位A0(10-10m) ; 轴间夹角 (α、β、γ ） (2)晶面、晶向 : 晶面：在晶体中通过原子中心的平面,用晶面指数表示。
亚晶界:实际金属晶体内部，晶粒内原子排列也不完全理想 的规则排列，也存在很小位向差的小晶块，即亚晶 粒，亚晶粒的交界即亚晶界。
在实际晶体中，这三种缺陷随加工条件变化而变化，可产 生、发展，也可消失，对材料性能有很大影响。
常见的利用增加材料的缺陷，提高强度的方法
第二章 金属的晶体结构与结晶
金属特性与金属键 金属的晶体结构 实际金属结构 金属的结晶 金属铸锭组织
一、金属特性与金属键
原子的构造
①金属原子的最外层轨道电子少。 ②金属原子易失去电子而成为正离子。 ③金属键
金属正离子与自由电子间的静电作用， 使金属原子结合起来形成金属整体。
金属特性
关系
①优良的导电性和导热性。 ①导电：在电势作用下，自由
②不透明和具有金属光泽。
电子定向移动；
③较高的强度和较好的塑性。②正的电阻温度系数：
④正的电阻温度系Βιβλιοθήκη 。T↗，离子振动↗，电子运动阻力↗ ③塑性：金属中离子与电子间能保
持一定的相对关系。
二、金属的晶体结构
1. 晶体的基本知识
晶体与非晶体 晶体：内部原子在空间呈一定的有规则排列，具有固定熔 点和各向异性。(金刚石、盐) 非晶体：内部原子是无规则堆积在一起的。没有固定的熔 点，具有各向同性。(玻璃、石蜡)
晶格(点阵) 表示晶体中的原子(正离子)排列方式的空间几何体。 假设：A.金属中的原子(正离子)都是刚性小球； B.金属中的原子都缩小为一个点，线将点连 接起来，线与线的交点为节点。
晶胞：表示晶格几何特征的最小几何单元。 (1)晶格常数: 棱边长度 (a,b,c)，单位A0(10-10m) ; 轴间夹角 (α、β、γ ） (2)晶面、晶向 : 晶面：在晶体中通过原子中心的平面,用晶面指数表示。
第二章材料中的晶体结构
TiO2
体心四方
1个正离子 2个负离子
6
3
八面体 VO2, NbO2, MnO2, SnO2, PbO2, …
7. MgAl2O4(尖晶石)晶型
8.Al2O3(刚玉)晶型
第四节 共价晶体的结构
一、共价晶体的主要特点 1. 共价键结合，键合力通常强于离子键 2. 键的饱和性和方向性，配位数低于金属和离 子晶体 3. 高熔点、高硬度、高脆性、绝缘性
(2) 求投影．以晶格常数为单位，求待定 晶向上任一阵点的投影值。
(3) 化整数．将投影值化为一组最小整数。
(4) 加括号．［uvw］。
2.晶面指数及其确定方法
1) 晶面指数 — 晶体点阵中阵点面的 方向指数。 2) 确定已知晶面ห้องสมุดไป่ตู้指数。
(1) 建坐标．右手坐标，坐标轴为晶胞 的棱边，坐标原点不能位于待定晶面内。
cph
a=b≠c
a 2r
5. 致密度 — 晶胞中原子体积占总体积的分数
bcc
fcc
cph
3 0.68
8
2 0.74
6
2 0.74
6
6. 间隙 — 若将晶体中的原子视为球形，则相 互接触的最近邻原子间的空隙称为间隙。
间隙内能容纳的最大刚性球的半径称为
间隙半径 rB。 间隙大小常用间隙半径与原子半径 rA之
比 rB / rA 表示。
1) 面心立方结构晶体中的间隙 正八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及体心位置.
一个晶胞中共有4个.
rB / rA 0.414
正四面体间隙：位于晶胞体对角线的四分之一处. 一个晶胞中共有8个.
rB / rA 0.225
2) 体心立方结构晶体中的间隙 扁八面体间隙：位于晶胞各棱边中点及面心处. 一个晶胞中共有6个. rB / rA 0.155
大学材料科学基础第二章材料中的晶体结构
反过来： U = u - t; V = v - t; W = w
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，律应用举例
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
4．晶面间距（Interplanar crystal spacing）
两相邻近平行晶面间的垂直距离—晶面间 距，用dhkl表示,面间距计算公式见(1-6)。 通常，低指数的面间 距较大，而高指数的 晶面间距则较小 晶面间距愈大，该晶 面上的原子排列愈密 集；晶面间距愈小， 该晶面上的原子排列 愈稀疏。
晶体结构 = 空间点阵 + 结构单元
如：Cu, NaCl, CaF2有不同的晶体结构， 但都属于面心立方点阵。 思考题：空间点阵与布拉菲点阵。
三、 晶向指数与晶面指数
（Miller Indices of Crystallographic Directions and Planes） 在晶体中，由一系列原子所组成的平面称 为晶面，原子在空间排列的方向称为晶向。 晶体的许多性能都与晶体中的特定晶面和晶 向有密切关系。为区分不同的晶面和晶向， 采用晶面和晶向指数来标定。
5．晶带 (Crystal zone) 所有平行或相交于同一直线的晶面构 成一个晶带，此直线称为晶带轴。
晶带轴[u v w]与该晶带的晶面（h k l） 之间存在以下关系： hu + kv + lw = 0 凡满足此关系的晶面都属于以[u v w]为 晶带轴的晶带，律应用举例
1 晶胞中原子数 (Number of Atoms in Unit Cell)
一个晶胞内所包含的原子数目。 体心立方晶胞：2个。 面心立方晶胞：4个。 密排六方晶胞：6个。
2 原子半径 r 与点阵常数 a 的关系
严格的说，原子半径并不是一个常数，它 随外界条件（温度）、原子结合键、配位数而 变，在理论上还不能精确地计算原子半径。 定义为晶胞中原子密排方向上相邻两原子 之间平衡距离的一半，用点阵常数表示。
2 《材料科学基础》第二章 晶体结构(下)
思考题
Ca2+：000，½ ½ 0，½ 0 ½ ，0 ½ ½ F
-
：¼ ¼ ¼, ¾ ¾ ¼, ¾ ¼ ¾, ¼ ¾ ¾, ¾ ¾ ¾, ¼ ¼ ¾, ¼ ¾ ¼, ¾ ¼ ¼
思考题：
据晶体结构简要解释:
•为什么CaF2比NaCl容易形成弗仑克尔缺陷？
•为什么萤石结构中一般存在着负离子扩散机制？
了解
Al3+的分布原则符合鲍林规则：在同一层
和层与层之间， Al3+之间的距离应保持
最远。
空隙
α－Al2O3中的氧与铝的排列次序可写成： OAAlDOBAlEOAAlFOBAlDOAAlEOBAlFOAAlD……6层一个周期
Al3+的CN＝6， Z=
O2-的CN＝ 4
2
属于刚玉型结构的晶体：
• 硅酸盐结构的特点：
2/3八面体间隙(A、B) 1/2八面体间隙(A) l/8四面体间隙(B) 全部立方体中心 1/2立方体中心
尖晶石
反尖晶石 纤锌矿 砷化镍 刚 玉 钛铁矿 橄榄石 氯化铯 萤 石 硅石型
二、硅酸盐晶体结构
1. 岛状结构
2. 组群状结构
3. 链状结构 4. 层状结构 5. 架状结构
•硅酸盐晶体的组成表征:
4：6：4AB2O4
4：6：4B（AB）O4 4：4MO 6：6MO 6：4M2O3 6：6：4ABO3 6：4：4A2BO4 8：8MO 8：4MO2 4：2MO2
1/8四面体间隙(A) 1/2八面体间隙(B) 1/8四面体间隙(B) 1/2八面体间隙(A、B) 1/2四面体间隙 全部八面体间隙 2/3八面体间隙
8
性质：硬度最高、极好的导热性、具半导体性能 与其结构相同的有硅、锗、灰锡、合成立方氮化硼等
材料科学基础-2
[111 ]
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
[ 1 11]
[1 1 1]
[1 1 1]
[11 1 ]
[1 1 1]
[1 1 1]
[1 1 1]
例：在一个面心立方晶胞中画出[012]、[123] 晶向。
晶面：通过空间点阵中任一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面，称为晶面 晶面指数：表示晶体中点阵平面的指数，由晶面 与三个坐标轴的截距值所决定。 晶面指数的标定步骤： 建坐标：所定晶面不应通过原点； 求截距：求出待定晶面在三个坐标轴上的截距， 如果该晶面与某坐标轴平行，则其截距为∞； 取倒数：取三个截距值的倒数； 化整并加圆括号：将三个截距的倒数化为最小 整数h、k、l，并加圆括号，即（hkl），如果截距 为负值，则在负号标注在相应指数的上方。
正交
三、晶向指数与晶面指数(Miller指数)
晶向：空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中原子排列的 方向，称为晶向，即空间点阵中任意两阵点的连接矢量。 晶向指数：表示晶体中点阵方向的指数。 晶向指数的确定步骤：
z
[ 1 11]
[112] • 建立坐标系； • 确定坐标值：在待定晶向上确定 [1 1 1] [1 1 0] 距原点最近的一个阵点的三个坐标值； • 化整并加方括号：将三个坐标值化为最小 [001] [111] 整数u、v、w,并加方括号。如有负值，在 [010] o 该数值上方标负号。 [100] [110]
• 在立方晶系中，具有相同指数的晶面和晶向 必定相互垂直。不适合其它晶系。 如： [121] (121) 即：晶向 [121] 为晶面 (121)的法向量。 ★ 因此，晶面指数可作为向量进行运算。
例：在一个面心立方晶胞中画出(102)、 (223) 晶面。
六方晶系的晶向指数和晶面指数
材料科学基础课件第二章--晶体结构
16
小结
1. 晶体结构是指晶体中原子或分子的排列情况，由空间点阵 与结构基元构成，晶体结构的形式是无限多的。
2. 空间点阵是把晶体结构中原子或分子等结构基元抽象为周
围环境相同的阵点之后，描述晶体结构的周期性和对称性的
图像。
17
2.1.2 晶向指数和晶面指数
(1) 晶向指数 晶向（crystal directions）—通 过晶体中任意两个原子中心连 成直线来表示晶体结构的空间 的各个方向。
些晶向可归为一个晶向族，用〈ｕｖｗ〉表示。如
〈111〉 晶 向 族 包 括 [111] 、 [T11] 、 [1T1] 、 [11T] 、 [TT1]、[1TT]、[T1T]、[TTT]；〈100〉晶向族包括 [100]、[010]、[001]、[T00]、[0T0]、[00T] 。
(4)同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。
范德华键的特点及典型的分子晶体的性质：
范德华键（分子键）是通过“分子力”而产生的键合。分子力 包括三种力：葛生力（Keesen force）──极性分子中的固有 偶极矩产生的力，德拜力（Debye force）──感应偶极矩产生 的力，即极性分子和非极性分子之间的作用力，伦敦力 （London force）──非极性分子中的瞬时偶极矩产生的力。 当分子力不是唯一的作用力时，它们可以忽略不计。
2 晶体结构
晶体：物质是由原子、分子或离子按一定的空间 结构排列所组成的固体，其质点在空间的分布具 有周期性和对称性，因而晶体具有规则的外形。
1
晶体的宏观特征
石英
硫
2
钠长石 Na[AlSi3O8]
绿柱石 Be3Al2(SiO3)6
3
祖母绿Be3Al2[Si6O18]
小结
1. 晶体结构是指晶体中原子或分子的排列情况，由空间点阵 与结构基元构成，晶体结构的形式是无限多的。
2. 空间点阵是把晶体结构中原子或分子等结构基元抽象为周
围环境相同的阵点之后，描述晶体结构的周期性和对称性的
图像。
17
2.1.2 晶向指数和晶面指数
(1) 晶向指数 晶向（crystal directions）—通 过晶体中任意两个原子中心连 成直线来表示晶体结构的空间 的各个方向。
些晶向可归为一个晶向族，用〈ｕｖｗ〉表示。如
〈111〉 晶 向 族 包 括 [111] 、 [T11] 、 [1T1] 、 [11T] 、 [TT1]、[1TT]、[T1T]、[TTT]；〈100〉晶向族包括 [100]、[010]、[001]、[T00]、[0T0]、[00T] 。
(4)同一晶向族中晶向上原子排列因对称关系而等同。
范德华键的特点及典型的分子晶体的性质：
范德华键（分子键）是通过“分子力”而产生的键合。分子力 包括三种力：葛生力（Keesen force）──极性分子中的固有 偶极矩产生的力，德拜力（Debye force）──感应偶极矩产生 的力，即极性分子和非极性分子之间的作用力，伦敦力 （London force）──非极性分子中的瞬时偶极矩产生的力。 当分子力不是唯一的作用力时，它们可以忽略不计。
2 晶体结构
晶体：物质是由原子、分子或离子按一定的空间 结构排列所组成的固体，其质点在空间的分布具 有周期性和对称性，因而晶体具有规则的外形。
1
晶体的宏观特征
石英
硫
2
钠长石 Na[AlSi3O8]
绿柱石 Be3Al2(SiO3)6
3
祖母绿Be3Al2[Si6O18]
第二章金属与合金的晶体结构及铁碳相图
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.2 实际金属的晶体结构
2.2.2金属的结晶
1.结晶的基本概念 物质由液态转变为固态的过程称为凝固，如果通过凝固形成
晶体，则又称为结晶。晶体物质都有一个平衡结晶温度(熔 点)，液体只有低于这一温度时才会结晶，固体高于这一温度 时才能发生熔化。在平衡结晶温度，液体与晶体同时共存， 处于平衡状态。而非晶体物质无固定的凝固温度，凝固总是 在某一温度范围逐渐完成。 纯金属的实际结晶过程可用冷却曲线来描述。冷却曲线是描 述温度随时间而变化的曲线，是用热分析法测绘的。从图26的冷却曲线可以看出，液态金属随时间冷却到某一温度时， 在曲线上出现了一个平台，这个平台所对应的温度就是
1.单晶体和多晶体 晶体内部的晶格位向完全一致的晶体称为单晶体，金属的单
晶体只能靠特殊的方法制得。实际使用的金属材料都是由许 多晶格位向不同的微小晶体组成的，每个小晶体都相当于一 个单晶体，内部的晶格位向是一致的，而小晶体之间的位向 却不相同。这种外形呈多面体颗粒状的小晶体称为晶粒;晶粒 与晶粒之间的界面称为晶界；由许多晶粒组成的晶体称为多 晶体，如图2-5所示，实际金属就是多晶体。 2.晶体缺陷 第一节介绍的金属晶体内部原子规则有序地排列是理想晶体 的状态。实际上金属由于结晶或其他加工等条件的影响，内 部原子排列并不是理想的，存在着大量的晶体缺陷(点缺陷、 线缺陷和面缺陷)。这些缺陷的存在，对金属性能会产生显著 的影响。
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2.2 实际金属的晶体结构
(2)晶核的长大 如图2-7所示，当第一批晶核形成后液体中的原子便不断
地向晶核沉积长大，与此同时又有新的晶核生成并长大， 形核与长大这两个过程是同时在进行着的，直至每个晶核 长大到互相接触，而每个长大了的晶核也就成为了一个晶 粒。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.2 实际金属的晶体结构
2.2.2金属的结晶
1.结晶的基本概念 物质由液态转变为固态的过程称为凝固，如果通过凝固形成
晶体，则又称为结晶。晶体物质都有一个平衡结晶温度(熔 点)，液体只有低于这一温度时才会结晶，固体高于这一温度 时才能发生熔化。在平衡结晶温度，液体与晶体同时共存， 处于平衡状态。而非晶体物质无固定的凝固温度，凝固总是 在某一温度范围逐渐完成。 纯金属的实际结晶过程可用冷却曲线来描述。冷却曲线是描 述温度随时间而变化的曲线，是用热分析法测绘的。从图26的冷却曲线可以看出，液态金属随时间冷却到某一温度时， 在曲线上出现了一个平台，这个平台所对应的温度就是
1.单晶体和多晶体 晶体内部的晶格位向完全一致的晶体称为单晶体，金属的单
晶体只能靠特殊的方法制得。实际使用的金属材料都是由许 多晶格位向不同的微小晶体组成的，每个小晶体都相当于一 个单晶体，内部的晶格位向是一致的，而小晶体之间的位向 却不相同。这种外形呈多面体颗粒状的小晶体称为晶粒;晶粒 与晶粒之间的界面称为晶界；由许多晶粒组成的晶体称为多 晶体，如图2-5所示，实际金属就是多晶体。 2.晶体缺陷 第一节介绍的金属晶体内部原子规则有序地排列是理想晶体 的状态。实际上金属由于结晶或其他加工等条件的影响，内 部原子排列并不是理想的，存在着大量的晶体缺陷(点缺陷、 线缺陷和面缺陷)。这些缺陷的存在，对金属性能会产生显著 的影响。
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2.2 实际金属的晶体结构
(2)晶核的长大 如图2-7所示，当第一批晶核形成后液体中的原子便不断
地向晶核沉积长大，与此同时又有新的晶核生成并长大， 形核与长大这两个过程是同时在进行着的，直至每个晶核 长大到互相接触，而每个长大了的晶核也就成为了一个晶 粒。
机械工程材料 第二章 金属的晶体结构与结晶
2-3 根据组元数, 一般分为二元相图、三元相图。 三元相图
Fe-C二元相 图
2-3 同素异构转变 有些物质在固态下其晶格类型会随温度变化而发生变化，这 种现象称为同素异构转变。 锡，四方结构的白锡在13℃下转变为金刚石立方结构的灰 锡。 同素异构转变同样也遵循形核、长大的规律，但它是一个 固态下的相变过程，即固态相变。 除锡之外，铁、锰、钴、钛等也都存在着同素异构转变。
位错密度增加，能提高金属强度。
2-1
（3）面缺陷
呈面状分布的缺陷，主要是晶界和亚晶界。 晶体缺陷产生晶格畸变，使金属的强度、硬度提高，韧性下降。
2-1
二、合金的晶体结构 1.合金的基本概念
合金：两种或两种以上的金属与金属，或金属与非金属经一定方法合成的 具有金属特性的物质。 例如，钢和生铁是Fe与C的合金，黄铜是Cu和Zn的合金。 组元：组成合金最基本的物质。可以是元素，也可以是化合物。 黄铜的组元是铜和锌；青铜的组元是铜和锡。铁碳合金中的Fe3C，镁硅合 金中的Mg2Si。 合金系：组元不变，当组元比例发生变化，可配制出一系列不同成分、不 同性能的合金，这一系列的合金构成一个“合金系统”，简称合金系。
2-1
（2）金属化合物
合金组元间发生相互作用而形成一种具有金属特性的物质。
1.正常价化合物：如Mg2Si, Mg2Sn, Mg2Pb, Cu2Se等。
2.电子化合物：不遵守原子价规律，但有一定的电子浓度的化合物。
如Cu3Al, CuZn3, Cu5Zn8等。
3.间隙化合物：由过渡族金属元素与碳、氮、氢、硼等原子半径较
通常在钢中加入铝、钒，向铸铁液中加入硅铁合金。
（3）机械振动、超声振动、电磁搅拌： 使结晶过程中形成的枝晶折断裂碎，增加晶核数，达到细化晶粒的目的。
第二章 晶体结构
第二章晶体结构内容提要大多数无机材料为晶态材料，其质点的排列具有周期性和规则性。
不同的晶体，其质点间结合力的本质不同，质点在三维空间的排列方式不同，使得晶体的微观结构各异，反映在宏观性质上，不同晶体具有截然不同的性质。
1912年以后，由于X射线晶体衍射实验的成功，不仅使晶体微观结构的测定成为现实，而且在晶体结构与晶体性质之间相互关系的研究领域中，取得了巨大的进展。
许多科学家，如鲍林（Pauling）、哥希密特（Goldschmidt）、查哈里阿生（Zachariason）等在这一领域作出了巨大的贡献，本章所述内容很多是他们研究的结晶。
要描述晶体的微观结构，需要具备结晶学和晶体化学方面的基本知识。
本章从微观层次出发，介绍结晶学的基本知识和晶体化学基本原理，以奠定描述晶体中质点空间排列的理论基础；通过讨论有代表性的无机单质、化合物和硅酸盐晶体结构，以掌握与无机材料有关的各种典型晶体结构类型，建立理想无机晶体中质点空间排列的立体图像，进一步理解晶体的组成－结构－性质之间的相互关系及其制约规律，为认识和了解实际材料结构以及材料设计、开发和应用提供必要的科学基础。
2.1 晶体化学基本原理由于天然的硅酸盐矿物和人工制备的无机材料制品及其所用的原料大多数是离子晶体，所以在这一节主要讨论离子晶体的晶体化学原理。
一、晶体中键的性质（键性的判别）过去的教学中，以电子云的重要情况讨论键型。
Na－Cl认为是典型的离子键。
硅酸盐晶体中比较典型的结合键方式：Si－O Al－O M e－O （M代表许多碱、碱土金属）Me－O、Al—O键通常认为是比较典型的离子键，而Si－O键中Si－O键离子键、共价键成分相当。
为了方便，通常也认为是离子键。
那么键的成分是如何确定的？即通常如何判断键的类型呢？Pauling通过大量的研究发现，可以根据各元素的电负性差别判断键的类型（由于电负性反映元素粒子得失电子的能力）。
元素电子的电负性x＝元素电子的电离能力I＋元素原子的电子亲和能E。
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对正交晶系，(100)、 (010)、 (001)原子排列情况不 同，晶面间距不等，不属于同一晶面族。
立方晶系，相同指数的晶向和晶面必定相互垂直，如 [100]⊥(100)，但不适应于其它晶系。
12
课堂练习： A、写出MN晶向指数
13
解： （1）选M点为原点，建立坐标系 （2）N点的坐标：-1/2, 1/2, 1 （3）化整数：-1，1，2 （4）加括号：[-1 1 2]
特别说明： (hkl)不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶
面。 平行晶面的面指数相同，或数字相同而正负号相反。 晶体中具有相同条件（原子排列和面间距完全相同）而
只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl}表 示。
{100如} 立(1方00晶) 系 (中01：0) (001) (100) (010) (001)
第二章 材料中的晶体结构
晶体可分为： ①金属晶体 ②离子晶体 ③共价晶体 ④分子晶体 晶体结构
晶体中原子（离子或分子）在三维空间的 具体排列方式。
1
主要内容:
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
2
第一节 晶体学基础
空间点阵和晶胞 晶系和布拉菲点阵 晶向指数和晶面指数 晶面间距 晶带及晶带定理
构成晶格的最基本单元，选取晶胞应满足的条 件： ①充分反映整个空间点阵的对称性； ②要具有尽可能多的直角； ③晶胞的体积要最小。
简单晶胞：只在八个角 点上有阵点； 复合晶胞：体心、面心 上也有阵点。
5
5、晶胞形状和大小的表达
①由三个棱边长度a、b、c（点阵常数）及其夹角α、β、γ六 个 参数完全表达。
uvw，并加括号[uvw]，负号在数值上方。
9
特别说明： 一个晶向代表相互平行、方向一致的所有晶向。 两晶向平行但方向相反→数字相同，符号相反。
如 [112]、[112] 晶体中原子排列相同，但空间位向不同的一组晶
向，称为晶向族，用<uvw>表示。 如立方<111>包括：[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111] 立方体４个体对角线。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示 的晶向可能不是同等的。如：正交晶系中[100]、 [010]、[001]不是等同晶向，因a≠b≠c，原子排列 的情况不同，不属于同一晶向族。
14
B、写出BCD晶面指数
15
解： （1）以A点为原点建坐标系 （2）求截距：-1/2, -3/4, 1 （3）取倒数：-2，-4/3, 1 （4）化整数：-6，-4，3 （5）加括号(-6 -4 3)
16
C、写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数
17
3、六方晶系的晶向指数和晶面指数 (1)确定已知晶面的指数（hkil） ①建坐标．四轴坐标，坐标轴为 a1、a2 、
20
(2)确定已知晶向的指数[uvtw]
移步法 公式换算法 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定
晶向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
21
先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
3
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
晶体 → 点阵 → 晶格 →晶胞
1、空间点阵 人为地将晶体结构抽象为空间点阵。指由 几何点在三维空间作周期性的规则排列所 形成的三维阵列。
2、阵点（结点） 构成空间点阵的每一个点。
4
3、晶格
人为地将阵点用一系列相互平行的直线连接起来 形成的空间格架。
4、晶胞
a3 和c ，坐标原点不能位于待定晶面内 ②求截距．以晶格常数为单位，求待定晶面
在坐标轴上的截距值 ③取倒数．将截距值取倒数 ④化整数．将截距值的倒数化为一组最小整
数 ⑤加括号．（hkil），可以证明，i=－(h+k)18Fra bibliotek例题:
19
课堂练习 写出图中六方晶胞六个侧面的 MillerBravais指数，及其晶面族的指数．
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
22
第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个 坐标轴作垂直投影，给 C轴的投影值乘以 3/2， 再将四个投影值化为一组最小整数，即为 [uvtw]
23
课堂练习:
②点阵中任一阵点位置：
r rr r ruvw ua vb wc
r：原点到某阵点的矢量； u, v, w：沿三个点阵矢量方向平移的基矢数或坐标值。
6
二、晶系和布拉菲（A. Bravais）点阵 7个晶系（表2-1，P40）
14种空间点阵 （布拉菲点阵）
7
三、晶向指数和晶面指数
晶向 空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中 原子排列的方向。
写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞 表面交线的指数
24
解: (1)求ABCDA晶面指数
1)四个轴的截距为:1, ∞, -1, 1 2)倒数:1, 0, -1, 1 3)整数化:(1 0 -1 1)
(2)BA晶向:(晶向采用公式法) 先求三轴坐标: 1)坐标原点为B点 2)A的三轴投影:-1, -1, 1[UVW] 3)公式转成四轴:-1/3, -1/3, 2/3,
1 4)整数化:[-1 -1 2 3] 5)AB=[11-2-3]
25
(3)BC晶向:
晶面 空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面。
8
用密勒（Miller）指数来表示晶向和晶面指 数。
1、晶向指数 确定步骤：（确定已知晶向的指数） ①建立坐标系：以待定晶向上的某一阵点为
原点，晶轴为坐标轴。 ②确定坐标值：确定距原点最近的一个阵点
的三个坐标值。 ③化整并加方括号：坐标值化为最小整数
10
２、晶面指数
确定步骤：（确定已知晶面的指数） ①建立坐标：以晶胞的某一阵点O为原点，以过原
点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a、b、c为三个坐 标轴的长度单位。
★坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待 定晶面上。
②求截距：晶面与某坐标轴平行，截距为∞。 ③取倒数。 ④化整并加圆括号→(hkl)
11
立方晶系，相同指数的晶向和晶面必定相互垂直，如 [100]⊥(100)，但不适应于其它晶系。
12
课堂练习： A、写出MN晶向指数
13
解： （1）选M点为原点，建立坐标系 （2）N点的坐标：-1/2, 1/2, 1 （3）化整数：-1，1，2 （4）加括号：[-1 1 2]
特别说明： (hkl)不是指一个晶面，而是代表着一组相互平行的晶
面。 平行晶面的面指数相同，或数字相同而正负号相反。 晶体中具有相同条件（原子排列和面间距完全相同）而
只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用{hkl}表 示。
{100如} 立(1方00晶) 系 (中01：0) (001) (100) (010) (001)
第二章 材料中的晶体结构
晶体可分为： ①金属晶体 ②离子晶体 ③共价晶体 ④分子晶体 晶体结构
晶体中原子（离子或分子）在三维空间的 具体排列方式。
1
主要内容:
晶体学基础 纯金属的晶体结构 离子晶体的结构 共价晶体的结构
2
第一节 晶体学基础
空间点阵和晶胞 晶系和布拉菲点阵 晶向指数和晶面指数 晶面间距 晶带及晶带定理
构成晶格的最基本单元，选取晶胞应满足的条 件： ①充分反映整个空间点阵的对称性； ②要具有尽可能多的直角； ③晶胞的体积要最小。
简单晶胞：只在八个角 点上有阵点； 复合晶胞：体心、面心 上也有阵点。
5
5、晶胞形状和大小的表达
①由三个棱边长度a、b、c（点阵常数）及其夹角α、β、γ六 个 参数完全表达。
uvw，并加括号[uvw]，负号在数值上方。
9
特别说明： 一个晶向代表相互平行、方向一致的所有晶向。 两晶向平行但方向相反→数字相同，符号相反。
如 [112]、[112] 晶体中原子排列相同，但空间位向不同的一组晶
向，称为晶向族，用<uvw>表示。 如立方<111>包括：[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111]、[111] 立方体４个体对角线。 如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序所表示 的晶向可能不是同等的。如：正交晶系中[100]、 [010]、[001]不是等同晶向，因a≠b≠c，原子排列 的情况不同，不属于同一晶向族。
14
B、写出BCD晶面指数
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解： （1）以A点为原点建坐标系 （2）求截距：-1/2, -3/4, 1 （3）取倒数：-2，-4/3, 1 （4）化整数：-6，-4，3 （5）加括号(-6 -4 3)
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C、写出图示立方晶胞中晶向及晶面的指数
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3、六方晶系的晶向指数和晶面指数 (1)确定已知晶面的指数（hkil） ①建坐标．四轴坐标，坐标轴为 a1、a2 、
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(2)确定已知晶向的指数[uvtw]
移步法 公式换算法 正射投影修正系数法
第１种方法 — 移步法： 坐标原点依次沿 a1 、a2、a3、c 轴移动到待定
晶向上的某个阵点，所移动步数即为［uvtw］ 第2种方法 — 公式换算法：
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先用三轴坐标系标出待定晶向指数[UVW]， 然后用下列公式换算成四轴坐标系[uvtw]:
3
第一节 晶体学基础
一、空间点阵和晶胞
晶体 → 点阵 → 晶格 →晶胞
1、空间点阵 人为地将晶体结构抽象为空间点阵。指由 几何点在三维空间作周期性的规则排列所 形成的三维阵列。
2、阵点（结点） 构成空间点阵的每一个点。
4
3、晶格
人为地将阵点用一系列相互平行的直线连接起来 形成的空间格架。
4、晶胞
a3 和c ，坐标原点不能位于待定晶面内 ②求截距．以晶格常数为单位，求待定晶面
在坐标轴上的截距值 ③取倒数．将截距值取倒数 ④化整数．将截距值的倒数化为一组最小整
数 ⑤加括号．（hkil），可以证明，i=－(h+k)18Fra bibliotek例题:
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课堂练习 写出图中六方晶胞六个侧面的 MillerBravais指数，及其晶面族的指数．
u 1 (2U V ) 3
v 1 (2V U ) 3
t 1 (U V ) 3
w W
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第３种方法－正射投影修正系数法： 在四轴坐标中，从待定晶向上的某个阵点向四个 坐标轴作垂直投影，给 C轴的投影值乘以 3/2， 再将四个投影值化为一组最小整数，即为 [uvtw]
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课堂练习:
②点阵中任一阵点位置：
r rr r ruvw ua vb wc
r：原点到某阵点的矢量； u, v, w：沿三个点阵矢量方向平移的基矢数或坐标值。
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二、晶系和布拉菲（A. Bravais）点阵 7个晶系（表2-1，P40）
14种空间点阵 （布拉菲点阵）
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三、晶向指数和晶面指数
晶向 空间点阵中各阵点列的方向代表晶体中 原子排列的方向。
写出图示六方晶胞中ABCDA晶面指数及其与晶胞 表面交线的指数
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解: (1)求ABCDA晶面指数
1)四个轴的截距为:1, ∞, -1, 1 2)倒数:1, 0, -1, 1 3)整数化:(1 0 -1 1)
(2)BA晶向:(晶向采用公式法) 先求三轴坐标: 1)坐标原点为B点 2)A的三轴投影:-1, -1, 1[UVW] 3)公式转成四轴:-1/3, -1/3, 2/3,
1 4)整数化:[-1 -1 2 3] 5)AB=[11-2-3]
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(3)BC晶向:
晶面 空间点阵中任意一组阵点的平面代表晶 体中的原子平面。
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用密勒（Miller）指数来表示晶向和晶面指 数。
1、晶向指数 确定步骤：（确定已知晶向的指数） ①建立坐标系：以待定晶向上的某一阵点为
原点，晶轴为坐标轴。 ②确定坐标值：确定距原点最近的一个阵点
的三个坐标值。 ③化整并加方括号：坐标值化为最小整数
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２、晶面指数
确定步骤：（确定已知晶面的指数） ①建立坐标：以晶胞的某一阵点O为原点，以过原
点的晶轴为坐标轴，以点阵常数a、b、c为三个坐 标轴的长度单位。
★坐标原点的选取应便于确定截距，且不能选在待 定晶面上。
②求截距：晶面与某坐标轴平行，截距为∞。 ③取倒数。 ④化整并加圆括号→(hkl)
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