随机过程论文
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将上式代入式(7)，便可以得到：
E (sw) =2p(x=1)(1−p(x=1)) = 2[PAPB][1-PAPB]（9）
从式(9)可以看到，如果已知输入信号的统计特性，根据电路的逻辑功能，便可以知道该组合电路中输出节点的开关转换的统计特性了，将得到的节点的状态转换概率代入(2)就可以计算电路的功耗了。
E ( sw ) = 2 p ( x = 1)(1 − p ( x = 1))(7)
由上式可以看到，当已知节点的信号概率之后，就可以计算该节点的状态转换概率了。因此，对于功耗计算的问题转化为求电路中节点的信号概率的问题。
现在研究一个二输入与门的例子。图3所示为一个二输入与门及其真值表。
图3二输入与门及其真值表
其中Pavg表示平均功率，C代表负载电容，Vdd是电源电压，T为全局时钟周期，而E则是每个时钟周期内门的输出状态转换的概率。除了E之外，其他几个参数都是由电路本身的性质决定的，而E除了受电路自身性质影响之外还与电路输入信号的统计特性有密切关联[3]。因此对电路功率的估算就转化成了求取参数E。
3.马尔科夫链的应用
把元素具有上面(1)和(2)两条性质的矩阵，称为随机矩阵。由此可见，一步转移矩阵是一个随机矩阵。
图2组合电路
现在来讨论如何用马氏链来对组合逻辑电路的功率进行估算。对于如图2所示的组合电路，当输入向量v1, v2,..., vn加在原始输入端时在时刻1,2 ,..., n电路内部的任何一个输出节点的逻辑值可能为0也可能为1。这样，在0延迟模型条件下，节点x的值在一个时钟周期内最多只变换一次。
参考文献：
[1]卜爱国.基于Markov模型的动态电压调节策略[J].计算机应用研究, 2011, 28(10):3750-3752.
[2]Tsui C Y, Pedram M. Accurate and efficient power simulation strategy bycompacting the input vector set[J]. Integration the Vlsi Journal, 1998, 25(1):37-52.
P{X(tn)∈A|X(t1)=x1, X(t2)=t2,......X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn)∈A|X(tn-1=xn-1}（4）
其中i1，i2，i3......in，j均都属于E。其意义是，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是统计独立的，也就是说，已知“现在”，“将来”与“历史“无关。上式为一条件概率。当tn= m + 1, tn −1= m ,令in−1= i，则此式可以记为：
[3]Chandrakasan A P, Brodersen R W. Low Power Digital CMOS Design[J]. Springer Berlin, 1995, 10(5):2-12.
[4]吴凯,林争辉.马氏链在集成电路功耗估计中的应用[J].计算机工程, 2003, 29(13):162-164.
关键词：马尔科夫链、集成电路、转换概率
1.集成电路功耗组成
集成电路的功耗可以用以下公式表示
Ptotal= Pdyn+ Psc+ Pleak（1）
其中，Psc为短路电流导致的功耗，短路电流是NMOS和PMOS同时导通的时候产生的电流，由于在CMOS电路中，这部分电路很小并且NMOS和PMOS同时导通的时间很短，所以一般由此带来的功耗可以忽略不计[1]。Pleak是电路的漏电流，漏电流在MOS管截止的时候也依然存在，因此这部分功耗是难以改变的。这样，对电路功耗影响最大的就是Pdyn，称为动态功耗，这是电路逻辑状态切换时由于负载电容充放电导致的能量损耗。它由负载电容大小和电流通路共同决定。可以用一个静态反相器来研究马尔科夫链在功耗计算中的应用。
P{X(tn)∈A|X(t1)=x1,......,X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn)∈A|X(tn-1)=xn-1}（3）
则此随机过程成为马尔科夫过程，简称为马氏过程，此性质称为马氏性。
马氏过程的状态空间E可以是连续的，也可以是离散的；马氏过程的参数空间既可以是连续的也可以是离散的。状态空间和参数空间都是离散的马氏过程通常称为马氏链。马氏链的一个重要特性是无后效性，可以用下式来表达[4]。
2.功耗计算模型
由前面对反相器的动态功耗分析可知，在一个时钟周期内，一个CMOS逻辑电路输出状态变化时产生的动态功耗等于负载电容充放电时电路中所消耗的电能[2]。如果这个门是同步逻辑电路的一部分，并且由全局时钟控制，那么这个门所消耗的平均功率公式即可以表示为
Pavg= 0.5×C×Vdd×E/T（2）
假设输入x1和x 2是统计独立的，x为输出节点。根据真值表，我们可以画出输出节点x的状态转移图如图4所示。
图4二输入与门状态转换图
如果x1 = 1的概率为PA，x2 = 1的概率为PB ,由于x1和x 2统计独立，因此有：
P(x = 1) = P((x1= 1)∩(x2= 1)) =P(x1= 1)P(x2= wenku.baidu.com) = PAPB(8)
Pi,j (m)=P{x(m + 1) = j | x(m) = i)}（5）这就是马氏链的一步转移概率，它表示系统在时刻m处于状态i的条件下，下一步转移到状态j的条件概率。一步转移概率Pi, j(m )件概率。一步转移概率具有下列性质：
（1）Pi,j(m)≥0 i, j∈E
（2）ΣPi,j(m) = 1 i∈E
随机过程在专业中的应用
摘要：马尔科夫链作为随机过程学科中的一项重要内容，在实际的科研中有着广泛的应用。本文介绍了马尔科夫链在集成电路设计领域中的一些应用，在大规模集成电路中，功耗的估算是一个重要的研究内容，一款芯片的功耗大小决定了其应用方向甚至能否投入使用，因此在流片之前准确的估算芯片的功耗对设计者来说是很有必要的。而集成电路中的最基本单位门电路的功耗除了和自身的一些属性相关外，还和每个周期其状态转换概率相关，这个概率便可以用马尔科夫链来求取。
图1静态反相器中的动态功耗
如上图所示，当输出节点由0变为1的时候，开关1导通、开关2截止，此时电源将对负载电容充电，假设负载电容为C，那么电源的输出功率为CV2dd，其中一半能量存储在电容中，另一半消耗在了电路上。当下一次状态转化，输出由1变为0时，开关1闭合开关2开启，电容对地放电，因此之前存储的能量全部消耗了，因此在一个输出状态变化周期内，反相器的总功耗为CVdd。
假设xn为一个随机变量，用它来描述节点x在任意时刻n的状态。那么{ xn}n >0的数学模型便可以用一步马氏链来刻画，它的状态空间为{0,1}，其行为可以用下面的状态矩阵来描述为
Q=| |
Q是一个随机矩阵，矩阵中的每一项Pijx表示节点x从状态i到状态j的一步转移概率，它是一个条件概率，根据条件概率的定义，节点的x状态转移概率可以用下式表示
参数E因为与电路的统计特性有关，因此对其求取可以应用马尔科夫链的一些性质。马尔科夫链是一个随机过程，设{X(t), t∈T}为定义在概率空间（Ω，F，P）上并且所有可能取指的集合为E的随机过程，如果对于任意的n和t1<t2<......<tn，tk∈T，k=1,2,3,4....n，任给E的一个子集A，有
从上面的分析可以看到，在使用马氏链对功率进行分析时，主要分3步：第1步，首先确定输入信号的统计特性，以及电路的逻辑功能；第2步就是利用式（7）计算电路中输出节点的状态转换概率；第3步，根据在第1部分中提到的功率模型对功耗进行计算。与基于仿真的动态方法相比，这种方法的计算速度较快，不需要利用仿真模块，可单独作为一个模块使用。
(6)
在式(6)中，分子的值即p[(xn= j) | (xn−1= i)]表示节点x在n时刻等于j，并且在时刻n-1等于i的概率。在电路中，如果节点x在相邻两个时刻的状态不一样，在该节点就会产生动态功耗。因此，在式(6)中p[( xn= j ) | ( xn−1= i)]是我们所要得到的。在这里将概率p[( xn= j) | ( xn−1= i)]称作节点x的状态转换概率记为Pi→j。从上面的讨论中可以看到，当状态从0→1，或者从1→0变化时电路中便产生动态功耗，这样节点x的开关转换概率可以简化为
E (sw) =2p(x=1)(1−p(x=1)) = 2[PAPB][1-PAPB]（9）
从式(9)可以看到，如果已知输入信号的统计特性，根据电路的逻辑功能，便可以知道该组合电路中输出节点的开关转换的统计特性了，将得到的节点的状态转换概率代入(2)就可以计算电路的功耗了。
E ( sw ) = 2 p ( x = 1)(1 − p ( x = 1))(7)
由上式可以看到，当已知节点的信号概率之后，就可以计算该节点的状态转换概率了。因此，对于功耗计算的问题转化为求电路中节点的信号概率的问题。
现在研究一个二输入与门的例子。图3所示为一个二输入与门及其真值表。
图3二输入与门及其真值表
其中Pavg表示平均功率，C代表负载电容，Vdd是电源电压，T为全局时钟周期，而E则是每个时钟周期内门的输出状态转换的概率。除了E之外，其他几个参数都是由电路本身的性质决定的，而E除了受电路自身性质影响之外还与电路输入信号的统计特性有密切关联[3]。因此对电路功率的估算就转化成了求取参数E。
3.马尔科夫链的应用
把元素具有上面(1)和(2)两条性质的矩阵，称为随机矩阵。由此可见，一步转移矩阵是一个随机矩阵。
图2组合电路
现在来讨论如何用马氏链来对组合逻辑电路的功率进行估算。对于如图2所示的组合电路，当输入向量v1, v2,..., vn加在原始输入端时在时刻1,2 ,..., n电路内部的任何一个输出节点的逻辑值可能为0也可能为1。这样，在0延迟模型条件下，节点x的值在一个时钟周期内最多只变换一次。
参考文献：
[1]卜爱国.基于Markov模型的动态电压调节策略[J].计算机应用研究, 2011, 28(10):3750-3752.
[2]Tsui C Y, Pedram M. Accurate and efficient power simulation strategy bycompacting the input vector set[J]. Integration the Vlsi Journal, 1998, 25(1):37-52.
P{X(tn)∈A|X(t1)=x1, X(t2)=t2,......X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn)∈A|X(tn-1=xn-1}（4）
其中i1，i2，i3......in，j均都属于E。其意义是，在已知“现在”的条件下，“将来”与“过去”是统计独立的，也就是说，已知“现在”，“将来”与“历史“无关。上式为一条件概率。当tn= m + 1, tn −1= m ,令in−1= i，则此式可以记为：
[3]Chandrakasan A P, Brodersen R W. Low Power Digital CMOS Design[J]. Springer Berlin, 1995, 10(5):2-12.
[4]吴凯,林争辉.马氏链在集成电路功耗估计中的应用[J].计算机工程, 2003, 29(13):162-164.
关键词：马尔科夫链、集成电路、转换概率
1.集成电路功耗组成
集成电路的功耗可以用以下公式表示
Ptotal= Pdyn+ Psc+ Pleak（1）
其中，Psc为短路电流导致的功耗，短路电流是NMOS和PMOS同时导通的时候产生的电流，由于在CMOS电路中，这部分电路很小并且NMOS和PMOS同时导通的时间很短，所以一般由此带来的功耗可以忽略不计[1]。Pleak是电路的漏电流，漏电流在MOS管截止的时候也依然存在，因此这部分功耗是难以改变的。这样，对电路功耗影响最大的就是Pdyn，称为动态功耗，这是电路逻辑状态切换时由于负载电容充放电导致的能量损耗。它由负载电容大小和电流通路共同决定。可以用一个静态反相器来研究马尔科夫链在功耗计算中的应用。
P{X(tn)∈A|X(t1)=x1,......,X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn)∈A|X(tn-1)=xn-1}（3）
则此随机过程成为马尔科夫过程，简称为马氏过程，此性质称为马氏性。
马氏过程的状态空间E可以是连续的，也可以是离散的；马氏过程的参数空间既可以是连续的也可以是离散的。状态空间和参数空间都是离散的马氏过程通常称为马氏链。马氏链的一个重要特性是无后效性，可以用下式来表达[4]。
2.功耗计算模型
由前面对反相器的动态功耗分析可知，在一个时钟周期内，一个CMOS逻辑电路输出状态变化时产生的动态功耗等于负载电容充放电时电路中所消耗的电能[2]。如果这个门是同步逻辑电路的一部分，并且由全局时钟控制，那么这个门所消耗的平均功率公式即可以表示为
Pavg= 0.5×C×Vdd×E/T（2）
假设输入x1和x 2是统计独立的，x为输出节点。根据真值表，我们可以画出输出节点x的状态转移图如图4所示。
图4二输入与门状态转换图
如果x1 = 1的概率为PA，x2 = 1的概率为PB ,由于x1和x 2统计独立，因此有：
P(x = 1) = P((x1= 1)∩(x2= 1)) =P(x1= 1)P(x2= wenku.baidu.com) = PAPB(8)
Pi,j (m)=P{x(m + 1) = j | x(m) = i)}（5）这就是马氏链的一步转移概率，它表示系统在时刻m处于状态i的条件下，下一步转移到状态j的条件概率。一步转移概率Pi, j(m )件概率。一步转移概率具有下列性质：
（1）Pi,j(m)≥0 i, j∈E
（2）ΣPi,j(m) = 1 i∈E
随机过程在专业中的应用
摘要：马尔科夫链作为随机过程学科中的一项重要内容，在实际的科研中有着广泛的应用。本文介绍了马尔科夫链在集成电路设计领域中的一些应用，在大规模集成电路中，功耗的估算是一个重要的研究内容，一款芯片的功耗大小决定了其应用方向甚至能否投入使用，因此在流片之前准确的估算芯片的功耗对设计者来说是很有必要的。而集成电路中的最基本单位门电路的功耗除了和自身的一些属性相关外，还和每个周期其状态转换概率相关，这个概率便可以用马尔科夫链来求取。
图1静态反相器中的动态功耗
如上图所示，当输出节点由0变为1的时候，开关1导通、开关2截止，此时电源将对负载电容充电，假设负载电容为C，那么电源的输出功率为CV2dd，其中一半能量存储在电容中，另一半消耗在了电路上。当下一次状态转化，输出由1变为0时，开关1闭合开关2开启，电容对地放电，因此之前存储的能量全部消耗了，因此在一个输出状态变化周期内，反相器的总功耗为CVdd。
假设xn为一个随机变量，用它来描述节点x在任意时刻n的状态。那么{ xn}n >0的数学模型便可以用一步马氏链来刻画，它的状态空间为{0,1}，其行为可以用下面的状态矩阵来描述为
Q=| |
Q是一个随机矩阵，矩阵中的每一项Pijx表示节点x从状态i到状态j的一步转移概率，它是一个条件概率，根据条件概率的定义，节点的x状态转移概率可以用下式表示
参数E因为与电路的统计特性有关，因此对其求取可以应用马尔科夫链的一些性质。马尔科夫链是一个随机过程，设{X(t), t∈T}为定义在概率空间（Ω，F，P）上并且所有可能取指的集合为E的随机过程，如果对于任意的n和t1<t2<......<tn，tk∈T，k=1,2,3,4....n，任给E的一个子集A，有
从上面的分析可以看到，在使用马氏链对功率进行分析时，主要分3步：第1步，首先确定输入信号的统计特性，以及电路的逻辑功能；第2步就是利用式（7）计算电路中输出节点的状态转换概率；第3步，根据在第1部分中提到的功率模型对功耗进行计算。与基于仿真的动态方法相比，这种方法的计算速度较快，不需要利用仿真模块，可单独作为一个模块使用。
(6)
在式(6)中，分子的值即p[(xn= j) | (xn−1= i)]表示节点x在n时刻等于j，并且在时刻n-1等于i的概率。在电路中，如果节点x在相邻两个时刻的状态不一样，在该节点就会产生动态功耗。因此，在式(6)中p[( xn= j ) | ( xn−1= i)]是我们所要得到的。在这里将概率p[( xn= j) | ( xn−1= i)]称作节点x的状态转换概率记为Pi→j。从上面的讨论中可以看到，当状态从0→1，或者从1→0变化时电路中便产生动态功耗，这样节点x的开关转换概率可以简化为