生物种群动态模拟

西北农林科技大学实验报告

学院名称：理学院 专业年级：2011级信计1班 姓 名： 学 号：2011014816 课 程：数学模型与数学建模 报告日期：2013年12月14日

1 实验题目: 生物种群动态模拟

2 实验问题陈述: 在这个问题中我们采用较复杂的增长模型

g （p ）=(r/c)(p-c)(1-p/k),

其中参数c 表示种群水平的最小值，低于这个水平出现的负增长，假设参数a=10∧-7，最小值的种群水平是蓝鲸3000条，长须鲸15000条。

(a)两种鲸鱼种群能否共存？建一个动力系统模型描述种群的动态。 (b)画这个模型的向量场。确定每个平衡态的位置。 (c)确定状态空间每个平衡态是否稳定。

d)假设存在5 000条蓝鲸和70 000条长须鲸。 关于这两种鲸鱼的将来这个模型能预测些什么？

3 实验目的：(1)建立恰当的动力系统模型来描述待求解问题；

(2)画出模型向量场并确定平衡态位置； (3)确定状态空间中的平衡态是否稳定； (4)预测这两种鲸鱼的将来情况。

4 实验内容

对于单个种群的增长，有

B dB r B dt =，F dF r F dt

=. 当竞争种群存在时，有模型

()()B F F B dB

r C F B dt

dF r C B F dt

⎧=-⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩ （4.2.1） 这就是两个种群的竞争模型。

在鲸鱼种群竞争的问题中，已知：0.05B r =，0.08F r =；4

1510B K =⨯，44010F K =⨯；由假设5，B F C C α==，但α未知。由此可得模型为

()()0.050.08dB

F B dt

dF B F dt

αα⎧=-⎪⎪⎨

⎪=-⎪⎩ （4.2.2） 这是一个有两个状态变量的微分方程组。主要依赖于定性分析的方法了解这两个种群

的动态特征。

这是一个二维的自治系统，相空间应该是二维的平面(,)N B F =。针对实际问题的要求，应该在这个平面的第一象限{(,):0,0}S B F B F =≥≥中讨论系统的动态。

为叙述方便，将模型（4.2.1）记为：()1',B f B F B =，()2',F f B F F =，其中，

()1,0.05B F f B F r C F F α=-=-，()2,0.08F B f B F r C B B α=-=-。

5 实验结果分析与讨论

5.1 分析Ⅰ——种群的动态特征

（一）平衡点：()*

00,0x =，*

1,F B B F r r x C C ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

（二）等倾线：

（三）定性分析：

*0

x 不稳定。关于*1x 有： 'F F B F F

B F B B F B r r r

C r B r B C B F F C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+-++≈- ⎪

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

'B

F B

F B F B F B F F r r r C r F r F C B F B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

=+-++≈- ⎪

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

0,0,0B F p q r r ==-<∆>，在*

1

x 附近的轨线为同心圆。 （四）周期性：系统的解为在相平面12(,)x x 的第Ⅰ象限内的封闭轨线。

① 轨线方程

()()

B F F B B r c F dB dF F r c B -=

- F B B F r r c dB c dF B F ⎛⎫⎛⎫

-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

有解 (

)()F

B B F r c B r c F

B

e F e S

--=

② 系统的解是相平面(),B F 的第Ⅰ象限内的封闭曲线。

③ 周期：给定0t ，存在10t t >，使得()()()()0101,B t B t F t F t ==，且对于任何

01t t t <<都不成立上述关系，则称10T t t =-为种群波动的周期。

5.2 分析Ⅱ——人类控制活动的影响

① 周期平均：()x t 为周期为T 的函数，则称

()00

1

t T

t x t dt T

+⎰

为()x t 的周期平均。

由方程可知'/F B F F r c B =-，于是有

()()

()

000

1

0t T

F t T F B t F t r c B dt dF F

++-==⎰

⎰ ()00*1t T F F t B B r r B t dt B T c c +-===-⎰ ()

00*

1t T B t F

r F t dt F T c +==⎰ ② 人类控制行为的影响

按比率12,εε对,B F 进行捕杀，则有模型

()()1122''B F B F F B F B B r B c BF B r B c BF F r F c BF F r F c BF

εεεε=--=--=--=-- （5.2.1）

模型的周期平均（即平衡点）为

*22*1F F F

B B B

B B

F F

r r r B c c c r r F c c εεε-+-=

=>--=< （5.2.2）