生物种群动态模拟
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西北农林科技大学实验报告
学院名称:理学院 专业年级:2011级信计1班 姓 名: 学 号:2011014816 课 程:数学模型与数学建模 报告日期:2013年12月14日
1 实验题目: 生物种群动态模拟
2 实验问题陈述: 在这个问题中我们采用较复杂的增长模型
g (p )=(r/c)(p-c)(1-p/k),
其中参数c 表示种群水平的最小值,低于这个水平出现的负增长,假设参数a=10∧-7,最小值的种群水平是蓝鲸3000条,长须鲸15000条。
(a)两种鲸鱼种群能否共存?建一个动力系统模型描述种群的动态。 (b)画这个模型的向量场。确定每个平衡态的位置。 (c)确定状态空间每个平衡态是否稳定。
d)假设存在5 000条蓝鲸和70 000条长须鲸。 关于这两种鲸鱼的将来这个模型能预测些什么?
3 实验目的:(1)建立恰当的动力系统模型来描述待求解问题;
(2)画出模型向量场并确定平衡态位置; (3)确定状态空间中的平衡态是否稳定; (4)预测这两种鲸鱼的将来情况。
4 实验内容
对于单个种群的增长,有
B dB r B dt =,F dF r F dt
=. 当竞争种群存在时,有模型
()()B F F B dB
r C F B dt
dF r C B F dt
⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ (4.2.1) 这就是两个种群的竞争模型。
在鲸鱼种群竞争的问题中,已知:0.05B r =,0.08F r =;4
1510B K =⨯,44010F K =⨯;由假设5,B F C C α==,但α未知。由此可得模型为
()()0.050.08dB
F B dt
dF B F dt
αα⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩ (4.2.2) 这是一个有两个状态变量的微分方程组。主要依赖于定性分析的方法了解这两个种群
的动态特征。
这是一个二维的自治系统,相空间应该是二维的平面(,)N B F =。针对实际问题的要求,应该在这个平面的第一象限{(,):0,0}S B F B F =≥≥中讨论系统的动态。
为叙述方便,将模型(4.2.1)记为:()1',B f B F B =,()2',F f B F F =,其中,
()1,0.05B F f B F r C F F α=-=-,()2,0.08F B f B F r C B B α=-=-。
5 实验结果分析与讨论
5.1 分析Ⅰ——种群的动态特征
(一)平衡点:()*
00,0x =,*
1,F B B F r r x C C ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
(二)等倾线:
(三)定性分析:
*0
x 不稳定。关于*1x 有: 'F F B F F
B F B B F B r r r
C r B r B C B F F C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++≈- ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
'B
F B
F B F B F B F F r r r C r F r F C B F B C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++≈- ⎪
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
0,0,0B F p q r r ==-<∆>,在*
1
x 附近的轨线为同心圆。 (四)周期性:系统的解为在相平面12(,)x x 的第Ⅰ象限内的封闭轨线。
① 轨线方程
()()
B F F B B r c F dB dF F r c B -=
- F B B F r r c dB c dF B F ⎛⎫⎛⎫
-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
有解 (
)()F
B B F r c B r c F
B
e F e S
--=
② 系统的解是相平面(),B F 的第Ⅰ象限内的封闭曲线。
③ 周期:给定0t ,存在10t t >,使得()()()()0101,B t B t F t F t ==,且对于任何
01t t t <<都不成立上述关系,则称10T t t =-为种群波动的周期。
5.2 分析Ⅱ——人类控制活动的影响
① 周期平均:()x t 为周期为T 的函数,则称
()00
1
t T
t x t dt T
+⎰
为()x t 的周期平均。
由方程可知'/F B F F r c B =-,于是有
()()
()
000
1
0t T
F t T F B t F t r c B dt dF F
++-==⎰
⎰ ()00*1t T F F t B B r r B t dt B T c c +-===-⎰ ()
00*
1t T B t F
r F t dt F T c +==⎰ ② 人类控制行为的影响
按比率12,εε对,B F 进行捕杀,则有模型
()()1122''B F B F F B F B B r B c BF B r B c BF F r F c BF F r F c BF
εεεε=--=--=--=-- (5.2.1)
模型的周期平均(即平衡点)为
*22*1F F F
B B B
B B
F F
r r r B c c c r r F c c εεε-+-=
=>--=< (5.2.2)