数理经济学课后题第2章

第二章 习题答案
1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}
6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。

如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？ 解：2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得 所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。

2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。

证明：因为边际成本函数，
()()2
2C'156331120
q q q q =-+=-+>
所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。

解：边际成本函数为
(
)C'20q =++
4．设某一商品的需求函数为：1
8000
)(2
+=
=p p q q D
，其中：q 为需求量，p 为价格。

若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？ 解：
2280008000
997.568.5109.22
918.51
p q p q ======++当时，；当时， 所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.
5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，
1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：
（1）每一商品的边际效用函数；
（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。

解：（1）商品1的边际效用函数：()()
3112223MU x x =++
商品2的边际效用函数：
()()
2
2212323MU x x =++
（2）12
3x x ==当时，()()3
1232332160MU =++= 6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。

证明：劳动的边际产出是正的，且关于L 单调递减（固定K 时）。

证明：劳动的边际产出
()()
11L Q Q MP AK L L L
αα
αα-∂==-=-∂ 10,0,0Q L α->>> 0L MP ∴>
()21
2
10Q AK L L αααα--∂=--<∂又
L L MP ∴关于单调递减
7．对某一商品的如下需求集D 或需求函数)(p q D ，计算需求弹性)(p ε： （1）{}
100)1(|),(2=+=p q p q D ，并确定p 为何值时，需求缺乏弹性？ （2）p p q D 470)(-=，并确定p 为何值时，需求缺乏弹性？
（3）{}
200)2(|),(32=+=p q p q D ，并确定p 为何值时，需求具有弹性？ 解：（1）
()()
2
2
212221*********qp p dq p p
p p q dp p p ε---⎡⎤=
⋅=-+⋅=⎢⎥⎣
⎦
++
2
2
2||1,011qp p p p ε=<<<+则当即时，需求缺乏弹性
（2）
44704704qp
p dq p p q dp p p
ε-=⋅=⋅-=+-
470
||=107048
qp p p p ε<<<
-则当，即时，需求缺乏弹性
（3）
()3
332231323242qp
p dq p p p q dp
p ε-⎤=⋅=-+⋅=-
⎥+⎦
2
3
33
3||=1242qp p p p
ε>>+则当，即时，需求具有弹性
8．求证：若需求函数为bp a p q D -=)(，其中a 与b 为正的常数，则当b a p 2/0<<时，需求是缺乏弹性的。

证明：()D q p a bp =-，
qp
p dq bp q dp a bq
ε-=⋅=
-则 ||112qp bp p a bq a b
ε<<<<
-时需求缺乏得0弹，性当，即
问题得证。

9．令),(21x x f 是1度的齐次函数，证明0112111≡+x f x f 证明：
()()12121212
,,f x x f f x x f x x x x ∂∂∴
+=∂∂是一次齐次函数 上式两边对x 1求偏导得：
2212
211121
f f f f x x x x x x x ∂∂∂∂++=∂∂∂∂
1111220f x f x ∴+=
证毕。

10．某商品的供给函数为2/12R P Q ++=βα，其中：0<α，0>β，而R 是降雨量，求：供给的价格弹性Qp ε及降雨量弹性QR ε。

解：
2
112
2
2
2
22QP P dQ
P
P
P Q dP
P R
P R
βεβαβαβ=
⋅=⋅=
++++
1122
112
2
2
2
112
2
QR R dQ R
R
R Q dR
P R
P R
εαβαβ-=
⋅=⋅=
++++
11．外国对我国出口的需求X 取决于外国的收入f Y 及我国的价格水平P ，并有关系式成立：
22
/1-+=P Y X f
，求：外国对我国出口的需求相对于我国价格水平的偏弹性。

解：
23
1/22
1/2
2
22XP
f f P dX P P P X dP Y P Y P ε----=⋅=⋅-=-++
12．证明下列函数是齐次函数，并证明欧拉定理成立。

(1)2
2121),(x x x x f =
(2)2
22121),(x x x x x f +=
(3))2()(),(22212121x x x x x x f -+= (4))(),(22212121x x x x x x f -=
解：（1）以t 乘以每个变量有，
()()()
2
32312121212,,f tx tx tx tx t x x t f t t ===
所以函数为三次齐次函数。

()222
122112121212
233,f f x x x x x x x x f t t x x ∂∂+=+==∂∂
∴欧拉定理成立 （2）以t 乘以每个变量有，
()()()
2222221212212212,,f tx tx t x x t x t x x x t f t t =+=+=
所以函数为二次齐次函数。

()()2
12211221221212
2222,f f x x x x x x x x x x f t t x x ∂∂+=++=+=∂∂ ∴欧拉定理成立
（3）以t 乘以每个变量有，
()()()121
121212222222
12121,,22t x x x x f tx tx t f t t t x t x t x x -++==⋅=--
所以函数为二次齐次函数。

()()()()
2
2
22
1
21121
2212121
222222212
1212222422x x x x x x x x x x f f x x x x x x x x x x --+-++∂∂+=⋅+⋅∂∂--
()12
1222
12,2x x f t t x x +=-=--
∴欧拉定理成立
（4）以t 乘以每个变量有，
()()
()2
2
1011212222
2
122122
,,tx x f tx tx t f t t t x x t x x x x =
==--
所以函数为零次齐次函数。

()()
()
()
222112212
11212122
2
2212
12
2
12
2
220
x x x x x x x x x f f x x x x x x x x
x x x
x ---∂∂+=⋅-
⋅=∂∂--
∴欧拉定理成立
13．若人口函数为bt H H 20=，消费函数为at
e C C 0=，求人口增长率、消费增长率、人均
消费增长率。

解：
00112ln 2ln 22bt
H bt
dH r H b b H dt H =⋅=⋅⋅⋅=
0011at
C at
dC r C e a a
C dt C e =⋅=⋅⋅⋅= /ln 2
C H C H r r r a b =-=-
14．已知生产函数),(L K F Q =，求用K 和L 的增长率表示的Q 的增长率。

解：
1111Q dQ Q dK Q dL K Q dK L Q dL r Q dt Q K dt L dt Q K K dt Q L L dt
∂∂∂∂⎛⎫=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅
⎪∂∂∂∂⎝⎭ 所以Q 的增长率可以表示为r K 和r L 的加权之和，其权重分别为Q 对K 和L 的弹性 15．若消费C 以比率α增长，人口H 以比率β增长，求人均消费增长率。

解：/C H
C H r
r r αβ=-=-
16．某国商品出口为)(t G G =，其增长率为t α；该国服务出口为)(t S S =，增长率为t
β。

试确定总出口增长率。

解：
E G S
G S G S
r r r r G S G S
+==+++ G S G S t G S t
αβ=⋅+⋅++
()
G S t G S αβ+=
+
17．农产品的价格以每年4%的速度上涨，产量以2%的速度增加，求来自农业部门的收益R
的年增长率。

解：R PQ =，
=6%R PQ p q r r r r =+=则
18．在同一时间内，一企业的输入量以10%的速度增加，而输入成本以3%的速度增长。

总
输入成本的增长率是多少？
解：TC CQ =，
=13%TC CQ C Q r r r r =+=则
19．就业机会E 每年以4%的速度增加，而人口以2.5%的速度增长。

求每人就业PCE 的增
长率。

解：/PCE E P =，/= 1.5%PCE
E P E P r
r r r =-=则
20．国民收入Y 以1.5%的速度增长，而人口P 以2.5%的速度增加。

求每人国民收入的增长
率。

解：人均国民收入y=Y/P ，/= 1.0%y Y P Y P r r r r =-=-则。