完整版二项式定理十大典型问题及例题
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ห้องสมุดไป่ตู้专题一
题型一：二项式定理的逆用；
1232nn?1C?C?6?C?6?L?C?6?.例：nnnnn012233nn(1?6)?C?C?6?C?6?C?6?L?C?6与已知的有一些差距，解：nnnnn112n2n123n2n?1?6?L?6C)?C?C??C6??6??6(C??C6L??Cnnnnnnn6111nn0n122n1)(7??6)[(11)?CL?C6??C?(C?6??6????1]nnnn666123n?1nC?3C?9C?L?3C?.练：nnnn
题型三：利用通项公式求常数项；
1102)(x?的展开式中的常数项？例：求二项式x25145511?20r88rrrr210?r?C()T?8r?020?r?x)()?C()T?C(x2，令解：，所以，得10r?110109225622x216)(2x?练：求二项式的展开式中的常数项？x21133rr?6?rrr6?2rrrr620?C?T?(?1)3r?r6?2?0x1)2)?TCC((?1))()?(?(2x解：，令，得，所以6461?6r22x1n2____.?n5)x?(练：若的二项展开式中第项为常数项，则x16n?4?412n2?442n0?12?2nx)(x)C?TC?(.，令解：，得nn5x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
93x?)x(展开式中的有理项？例：求二项式
3
127?r127?rrrr9?rrx1)CT?C(x)x)?(?(?0?r?9r?3或r?9Z?632，,( )，令得解：9r?19627?r3443C?1)T?(x??84xr?34?时，所以当，，946r27?3339C??x1)T?(?x9r?3?，。当时，9106题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
0nkk?1C?CC?C·，··①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即nnnn012rnna?b?1C?C?C?L?C?L?C?2，则二项式系数的和为②二项式系数和：令,nnnnn12rnnC?C?L?C?L?C?2?1。变形式nnnn
1
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
2
123n?1nS?C?3C?9C?L?3C，则解：设nnnnn12233nn012233nnn?3)11?(1?3?C?L?C3?3?C3?L?C3?C?C3?C3?3SC3?Cnnnnnnnnnnnn?43)1?1(1??S??n33nx的系数；题型二：利用通项公式求133n2453x)x?(的项的系数？项的系数为例：在二项式，求含有的展开式中倒数第4x2n?2210或n?n??9(舍去)45C??45C0?nn?90??，解得，，即，由解：由条件知nn210?r2110?r2?r??rrr10r?x(T?C(x)x)?C?r?3,解得r?6?3344，，由题意10?1r104363337T?Cx?210xx210。则含有,的项是第系数为项1016?1929x?(x)练：求展开式中的系数？x2111r318?rr18?2rr?rrr2r9?r3?9r18?3r?xx??C)(?TC(x)?)((?)?Cx解：，令,则99r?19222x211339x?)?C(?的系数为故。922
0123nnna?1,b??1C?C?C?C?L?(?1)C?(1?1)?0，在二项式定理中，令，则nnnnn1nn?132r?10242r12??2?C?C?LC?????C?C?C????C?????从而得到：nnnnnnn2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0nn12nLLxx???x?aaxa??Cax?Cax?Cax?a?C(a?x)annn20n1n00n122n?2nn0nn?1n21LL?xa?ax?axa?a?Cax?x?Cax?(xa)??Cax?C0n1nn2nnnL???????1)???①则a?a?a?a?a?(a令x?1,n3012nL??????1)?????aa?a?②?a?(a令x??1,则an1032nn1)(a(a?1)??L)奇数项的系数和a?a?a(?①?②得,a?n0242nn1)a?a?1)(?(L)偶数项的系数和??a(?a①?②得,a?an5312nCn2是偶数时，则中间一项的二项式系数⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数取得最大值。nn?1?1nCCn22同时取得最大值。是奇数时，则中间两项的二项式系数如果二项式的幂指数,nnn(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别⑥系数的最大项：求A?A?r1r?A,A,???,A1r?r来。，从而解出项系数最大，应有，设第为?1n21?A?A?r?1r?2
学科教师辅导讲义
学员编号：年级：高二课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
教学内容
1．二项式定理：
0n1n?1rn?rrnnn?)N(n?b?L?Cb?Ca?Cab?L?C)(a?ba，nnnn2．基本概念：
n)b(a?的二项展开式。①二项式展开式：右边的多项式叫做r)???,n(r?0,1,2,C.展开式中各项的系数②二项式系数:na1)r?(b的齐次多项式项，是关于③项数：共与rn?rrr?rrnT?Cab1r?bCa叫做二项式展开式的通项。用④通项：展开式中的第项表示。n1r?n3．注意关键点：1)n?(项。①项数：展开式中总共有nn)(a?bab?)(ab与其顺序不能更改。②顺序：注意正确选择,是不同的。,nnna00b.③指数：的指数从的指数从，是升幂排列。各项的次数和等于逐项减到逐项减到，是降幂排列。012rnab.C???,,???,C,CC,,C的系数④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是与项的系数是nnnnn（包括二项式系数）。4．常用的结论：?nrnn0122r,?a?1,bx)NnCxCx?x?L?C?L?x(?C?(1?x)C?令nnnnn?2n012rrnnn,??xa?1,b)1)LCxx?x(1?)?CC?C?L?x??(?Cx?nN(令nnnnn5．性质：
题型一：二项式定理的逆用；
1232nn?1C?C?6?C?6?L?C?6?.例：nnnnn012233nn(1?6)?C?C?6?C?6?C?6?L?C?6与已知的有一些差距，解：nnnnn112n2n123n2n?1?6?L?6C)?C?C??C6??6??6(C??C6L??Cnnnnnnn6111nn0n122n1)(7??6)[(11)?CL?C6??C?(C?6??6????1]nnnn666123n?1nC?3C?9C?L?3C?.练：nnnn
题型三：利用通项公式求常数项；
1102)(x?的展开式中的常数项？例：求二项式x25145511?20r88rrrr210?r?C()T?8r?020?r?x)()?C()T?C(x2，令解：，所以，得10r?110109225622x216)(2x?练：求二项式的展开式中的常数项？x21133rr?6?rrr6?2rrrr620?C?T?(?1)3r?r6?2?0x1)2)?TCC((?1))()?(?(2x解：，令，得，所以6461?6r22x1n2____.?n5)x?(练：若的二项展开式中第项为常数项，则x16n?4?412n2?442n0?12?2nx)(x)C?TC?(.，令解：，得nn5x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；
93x?)x(展开式中的有理项？例：求二项式
3
127?r127?rrrr9?rrx1)CT?C(x)x)?(?(?0?r?9r?3或r?9Z?632，,( )，令得解：9r?19627?r3443C?1)T?(x??84xr?34?时，所以当，，946r27?3339C??x1)T?(?x9r?3?，。当时，9106题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；
0nkk?1C?CC?C·，··①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即nnnn012rnna?b?1C?C?C?L?C?L?C?2，则二项式系数的和为②二项式系数和：令,nnnnn12rnnC?C?L?C?L?C?2?1。变形式nnnn
1
③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：
2
123n?1nS?C?3C?9C?L?3C，则解：设nnnnn12233nn012233nnn?3)11?(1?3?C?L?C3?3?C3?L?C3?C?C3?C3?3SC3?Cnnnnnnnnnnnn?43)1?1(1??S??n33nx的系数；题型二：利用通项公式求133n2453x)x?(的项的系数？项的系数为例：在二项式，求含有的展开式中倒数第4x2n?2210或n?n??9(舍去)45C??45C0?nn?90??，解得，，即，由解：由条件知nn210?r2110?r2?r??rrr10r?x(T?C(x)x)?C?r?3,解得r?6?3344，，由题意10?1r104363337T?Cx?210xx210。则含有,的项是第系数为项1016?1929x?(x)练：求展开式中的系数？x2111r318?rr18?2rr?rrr2r9?r3?9r18?3r?xx??C)(?TC(x)?)((?)?Cx解：，令,则99r?19222x211339x?)?C(?的系数为故。922
0123nnna?1,b??1C?C?C?C?L?(?1)C?(1?1)?0，在二项式定理中，令，则nnnnn1nn?132r?10242r12??2?C?C?LC?????C?C?C????C?????从而得到：nnnnnnn2④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
0n01n?12n?22n0nn12nLLxx???x?aaxa??Cax?Cax?Cax?a?C(a?x)annn20n1n00n122n?2nn0nn?1n21LL?xa?ax?axa?a?Cax?x?Cax?(xa)??Cax?C0n1nn2nnnL???????1)???①则a?a?a?a?a?(a令x?1,n3012nL??????1)?????aa?a?②?a?(a令x??1,则an1032nn1)(a(a?1)??L)奇数项的系数和a?a?a(?①?②得,a?n0242nn1)a?a?1)(?(L)偶数项的系数和??a(?a①?②得,a?an5312nCn2是偶数时，则中间一项的二项式系数⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数取得最大值。nn?1?1nCCn22同时取得最大值。是奇数时，则中间两项的二项式系数如果二项式的幂指数,nnn(a?bx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别⑥系数的最大项：求A?A?r1r?A,A,???,A1r?r来。，从而解出项系数最大，应有，设第为?1n21?A?A?r?1r?2
学科教师辅导讲义
学员编号：年级：高二课时数：3
学员姓名：辅导科目：数学学科教师：
教学内容
1．二项式定理：
0n1n?1rn?rrnnn?)N(n?b?L?Cb?Ca?Cab?L?C)(a?ba，nnnn2．基本概念：
n)b(a?的二项展开式。①二项式展开式：右边的多项式叫做r)???,n(r?0,1,2,C.展开式中各项的系数②二项式系数:na1)r?(b的齐次多项式项，是关于③项数：共与rn?rrr?rrnT?Cab1r?bCa叫做二项式展开式的通项。用④通项：展开式中的第项表示。n1r?n3．注意关键点：1)n?(项。①项数：展开式中总共有nn)(a?bab?)(ab与其顺序不能更改。②顺序：注意正确选择,是不同的。,nnna00b.③指数：的指数从的指数从，是升幂排列。各项的次数和等于逐项减到逐项减到，是降幂排列。012rnab.C???,,???,C,CC,,C的系数④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是与项的系数是nnnnn（包括二项式系数）。4．常用的结论：?nrnn0122r,?a?1,bx)NnCxCx?x?L?C?L?x(?C?(1?x)C?令nnnnn?2n012rrnnn,??xa?1,b)1)LCxx?x(1?)?CC?C?L?x??(?Cx?nN(令nnnnn5．性质：