分离变量法

(2n
1) at
2L
4、一般解为：
u
x,
t
n0
An
cos
(2n
1) 2L
at
Bn
sin
(2n
1) 2L
at
sin
(2n
1) 2L
x
An
2 L
L
0
sin
(2n 1)
2L
d
Bn
4
(2n 1) a
L
0
sin
(2n 1)
2L
d
19
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
将 (x), (x) 在[0,L]上按奇式傅里叶展开得：
Cn
2 L
L
0
sin
n
L
d
Dn
2
n L
L
0
sin
n
L
d
问题回顾： 1、分离变量法的物理背景是什么？ 2、分离变量法的使用条件是什么？ 3、什么是分离变量法的固有值问题？ 4、小结分离变量法的步骤。
u
x,t
n1
Cn
cos
n at
L
Dn
sin
n at
L
来自百度文库
sin
n x
L
(14)
欲使(13) 满足方程和边界条件和初始条件。只需 把(14)代入初始条件，求出Cn,Dn即可！
u( x,0)
(x)
Cn
n 1
s in
nx
L
ut ( x,0)
(x)
Dn
n 1
na
L
s in
nx
L
12
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
欲使关于V(x,t)的定解问题可分离变量，W(x)要满足：
4 W 8 0
9
9
W (0) 0,W ( ) 2
求解得： W (x) x2
原问题变为：
Vtt
4 9
Vxx
(0
x
,t
0)
V x0 0,V x 0
V t0 sin 3x,Vt t0 0
n
n2 2
L2
(n 1, 2,3 )
X
n
(
x)
Bn
sin
n
L
x
(10)
注：对于参数λ的某些值，问题(8),(9)的非平 凡解存在，称这种λ值为固有值(本征值)；同时 称相应的非平凡解X(x)为固有函数(本征函数)； 求解固有值和固有函数的问题称为固有值问题 (本征值问题)。
分离变量的核心问题是固有值问题(本征值问题)！
固有函数为：
(2n 1) x
X n (x) Cn sin 2L
(n 0,1, 2 )
3、求解如下微分方程
T na2T 0 (n 0,1, 2 )
18
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
Tn (t)
An
cos
(2n
1) at
2L
Bn
sin
2、求解固有值问题
X (x) X (x) 0
X (0) X (L) 0
26
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1). 当 0时，特征值问题无非零
(2). 0
X (x) C sin x D cos x
由条件得：
cos L 0
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
第三章 分离变量法
分离变量法是求解各种类型偏微分方程定解问题的典型 方法之一。包括各类典型方程的初值、边值与混合问题。 要求熟练掌握。
初值问题 (柯西问题)：无边界条件的定解问题。
边值问题：无初值条件的定解问题。
10
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由(7)还可得：
T a2T 0 (11)
该方程对应于固有值λn的通解为：
Tn
(t)
Cn
cos
n at
L
Dn
sin
n at
L
(12)
把(10)、(12)代入(4)得：
un (x, t) Tn (t) X n (x)
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
2、求解固有值问题
X X 0
X (0) 0, X (L) 0
(1) 当 0 时
X x Ae x Be x
得：
X (x) 0
16
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2). 当 0 时
4
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2) 物理模型考察：乐器发出的声音可以分解为若干 不同频率的单音。每个单音振动又可以表示为：
u(x,t) c(t)sin x
因此，自然就会想到上面齐次方程的特解形式 可能为：
u(x,t) T(t)X (x)
下面讨论该方程的解
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1) 当 0 时
X x Ae x Be x
X (0) A1 B 1 0 X (L) Ae L Be L 0 从而
X (x) 0
8
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
注：如果定解问题是非齐次方程与非齐次边界条 件，能够得到(5)与(6)吗？
6
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
欲使(5)成立，等式两端必须为常数。于是，令：
T X (7)
a2T X
考虑如下方程：
X X 0 (8)
X (0) 0, X (L) 0 (9)
23
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由分离变量得定解问题的一般解为：
V
( x, t )
n1
(Cn
cos
n at
l
Dn
sin
n at
l
) sin
n
l
x
n1
(Cn
cos
2nt 3
Dn
sin
2nt 3
) sin
nx
由初始条件得：V (x,t) sin 3x cos 2t
L 2n 1 (n 0,1, 2, )
2
27
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
固有函数为：
n 1 x
X n (x) Cn sin
2 , n 0,1,2, L
n
1
2
2
a
2
2
Tn t Ane
L2
t , n 0,1,2,
x
l
由分离变量得定解问题的一般解为：
n at
n at n x
u(x,t) (Cn cos
n1
l
Dn sin
l
) sin l
20
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由初始条件得：
u(x, 0)
(x)
Cn
n 1
sin
n
l
x
0
ut ( x, 0)
齐次弦振动方程的混合问题求解
utt a2uxx ,0 x L,t 0 (1)
u x0 0, u xL 0 (2)
u t0 x ,ut t0 x (3)
分析：
(1) 定解问题特点：方程是二阶线性齐次方程，所以 各特解的和也是方程的解。如果能够找到足够多的特 解，可考虑用它们的线性组合去求定解问题的解！
(x)
n 1
Dn
n a
l
sin
n x
l
I
x
x0
Cn
Dn
0 2I
n a
sin
n x0
l
定解问题的解为：
u(x,t) 2I 1 sin n x0 sin n at sin n x
a n1 n
l
l
l
21
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
该等式的特征是把待求的多元函数分解为一元 函数乘积的形式。
5
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
设方程(1)具有可以分离变量的解 :
u(x, t) T (t) X (x)
(4)
把(4)代入(1)与(2)得：
T X (5) a2T X
X (0) 0, X (L) 0 (6)
(n
1)x
2 L
由初始条件得：
u(x,0)
n0
an
sin
(n
1)x
2 L
( x)
2
an L
L(x)sin (2n 1) x dx
0
2L
(n 0,1, 2,
)
29
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
例2 设有一条长为2L、温度为零的均匀杆，其两端 与侧面都绝热。现在用一个火焰集中在杆的中点烧 它一下，使传给杆的热量恰好等于 cρ(设c为杆的 比热，ρ为线密度）。求杆上的温度分布。
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本次课主要内容
一维波动与热传导定解问题分离变量求解 (一)、波动方程定解问题的分离变量求解 (二)、热传导方程定解问题的分离变量求解
3
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(一)、波动方程定解问题的分离变量求解
0.6 0.4 x 0.2
例1 求下面定解问题
utt a2uxx ,0 x L,t 0
u x0 0, ux xL 0
u t0 x, ut t0 x
解: 1、分离变量
u(x, t) T (t) X (x)
X X 0 T a2T 0
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
所以，定解问题的解为：
u(x,t) sin 3x cos 2t x2
24
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(二)、热传导方程混合问题分离变量解法
例1 设有长度为L的，均匀的，内部无热源的热 传导细杆，侧面绝热，其左端保持零度，右端 绝热，初始温度分布为已知。该定解问题应为
un (x,t)
X n (x)Tn (t)
(n1 )2 2a2
2
t
ane
L2
sin
(n
1)x
2 L
28
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
利用叠加原理，得一般解为：
u(x,t)
un (x,t)
n0
n0
(n1 )2 2a2
2
t
ane
L2
sin
13
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
利用分离变量法求定解的步骤
1、分离变量 2、求解固有值问题 3、求解其它常微分方程对应于固有值的解
4、写出叠加解，利用其余条件定出叠加系数。
14
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(2). 当 0 时
X Ax B
A B 0
(3).当 0 时
X (x) Acos x B sin x
A 0, B sin L 0
9
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
sin L 0
0.6 0.4 x 0.2
例 2. 两 端 固 定 的 弦 长 为 l ， 用 细 棒 敲 击 弦 上 x=x0 点处，亦即在点 x=x0 施加冲量，设其冲量为I 。求 解弦的振动。
解:定解问题为：
uutt
x0
a2uxx , 0, u
0 x xl 0
l,t
0
u
t0 0, ut
t 0
I
x
x0 , 0
例3. 求解如下定解问题
utt u x0
4 9
uxx
0, u
8 (0 x 9
x 2
,t
0)
u t0 sin 3x x2 , ut t0 0
分析：方程不是齐次形式，要作齐次化处理！
令： u(x,t) V (x,t) W (x)
代入原方程得：
Vtt
4 9
(Vxx
W )
8 9
22
1
0.5 n 0
混合问题：有初值条件和边界条件的定解问题。
1
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
本章主要内容
1、一维波动与热传导定解问题分离变量求解
2、高维定解问题分离变量求解
3、非齐次定解问题的求解 学时：8学时
2
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
ut a2uxx, (0 x L, t 0)
u t0 ( x)
u x0 0, ux xL 0
25
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
解：1、分离变量
u(x, t) X (x)T (t)
T (t) a2T (t) 0 X (x) X (x) 0
X Ax B
A B 0
(3).当 0 时
X (x) Acos x B sin x
由条件得：
A 0, B cos L 0
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
所以，固有值为：
n
(2n 1)2 2
4 L2
(n 0,1, 2, 3 )
(Cn
cos
n at
L
Dn
sin
n at ) sin
L
n x
L
(13)
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1
0.5
00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(13)是满足方程和边界条件的特解，但不满足初始 条件。由于方程与边界条件是线性的，因此，由叠 加原理2，下面表达式仍然满足方程和边界条件。