基本矩阵的的估计.
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基本矩阵的估计和图像矫正
双控1班
温峰
图像矫正的定义
在计算机视觉中，建立图像的对应关系是一个重点和 难点问题。由于图像是二维的，从一幅图像中寻找与另一 幅图像中某点的对应点需要二维搜索。可是二维搜索的计 算量很大，特别是某些特殊的图像，二维搜索基本不可行。 因此我们有必要把二维搜索简化成一维搜索，这就需要将 图像进行矫正，使两幅图像的极线平行于水平扫描线上。
实验
（a）'house”。线是极线。（b）旋转后图片在Z=0平面上的 正交投影。每个线通过原点（x = y = 0）对应一个极线。此外， 在两幅图像中同一梯度的线对应极线。（c）我们的方法矫正 的图像。
2阶矩阵的参数化方法
采用上述参数，几何成本函数，
改写与七参数如下：
然后，上述的成本函数可以通过参数 使其最小，同时保持 秩等于2约束：
图片矫正方法
令
得到等式
图片矫正方法
代表二维矢量组成的前两个元素
上式表明，如果将两幅旋转后的图像正交投影到z=0平面上， 任何一对对应点在投影平面上位于同一穿过原点的直线。换 句话，由R T 旋转后的I平面和一个含x=y=0的直线的平面有一 条交线，就是极线。由R ''T旋转后的I '平面和同一平面也交于 一线，这就是对应的极线。该平面就是极平面。
图片矫正方法
取一个平行于z轴的平面，我 们称这种平面为参考平面。 将旋转后图像平面上的一个 点沿着线（极平面与平面z = 常数之间的交线）投影到参 考平面。这个在参考平面上 的重投影的图像有平行的极 线。通过保持过程中的Z值， 所有重新投影点在参考平面 上的构成矫正图像。通过改 变Z的值，矫正过程是可逆的： 由一个矫正后的点可以找回 它对应的唯一的原始点。
T
mi ' [ui ' , vi ' ,1]T
mi Fmi 0
'T
f11, f12 , f13 F f , f , f 21 22 23 展开可以得到约束方程为： f 31, f 32 , f 33
u 'i ui f11 u 'i vi f12 u 'i f13 v'i ui f 21 v'i vi f 22 v'i f 23 ui f 31 vi f 32 f 33 0
换言之，图像矫正是对视点差别很大的双眼图像对进 行重采样的过程，目的是为了产生一堆“匹配对极线的投 影”，这些对极线平行并且在视图之间相匹配。
两视几何
极平面 M 基本矩阵， Leabharlann Baidu 3
极线
l
m e
m'TFm=0
m'
l'
O
e'
O'
极点 基线 极线
基础矩阵F的估计方法 8点算法
一对对应点 两点之间关系 ， m i [ui , vi ,1]
基础矩阵F的估计方法 8点算法
对于 n 对对应的图像点对 可得到 n 个这样的方程 构造向量: 构造矩阵:
mi m'i
i 1n
f [ f11, f12 , f13 , f 21, f 22 , f 23 , f 31, f 32 , f 33 ]T
u '1 u1 u '1 v1 u '1 v'1 u1 v'1 v1 v'1 u1 v1 1 A u 'n un u 'n vn u 'n v'n un v'n vn v'n un vn 1
2阶矩阵的参数化方法
这种形式表示的矩阵由两正交矩阵 SO（3）和秩等于2的 对角矩阵。如果不失一般性，我们可以指定对角矩阵为（1 ， s，0），其中 s
2
1
一个旋转矩阵，可以用一个单位四元数描述。四元数
其中 下： 旋转矩阵可以表示如
如果公式（7）中的正交矩阵U和V是旋转矩阵，我们可以 采用双四元（DQ）来参数化。
从而:
Af 0
当 n>=8 时，可以线性求解 f。
2阶矩阵的参数化方法
F的秩等于2，而刚才得到的F不满足这个性质。
对F进行SVD分解。
3 应该是0。 如果有在上述过程中无噪音，
这个重构矩阵被视为 F 。为了解决这个问题，大多数工程在 下一步采用非线性优化方法。基于约束对应点必须位于极线， 下面的最小化代价函数：
2阶矩阵的参数化方法
不是所有的正交矩阵都是旋转矩阵。正交矩阵的行列式 可以是 1 个或— 1，正交矩阵的行列式是— 1 的不是一个旋转 矩阵。
然而，我们总是能把公式中的两个正交矩阵转换为两旋 转矩阵，通过改变对角矩阵中的另一个参数的标志s。
2阶矩阵的参数化方法
成为两旋转矩阵和对角矩阵的乘积。旋转矩阵有三个参数的 单位四元数描述，而对角矩阵只需要单参数。因此，七自由 度的一个矩阵是：
双控1班
温峰
图像矫正的定义
在计算机视觉中，建立图像的对应关系是一个重点和 难点问题。由于图像是二维的，从一幅图像中寻找与另一 幅图像中某点的对应点需要二维搜索。可是二维搜索的计 算量很大，特别是某些特殊的图像，二维搜索基本不可行。 因此我们有必要把二维搜索简化成一维搜索，这就需要将 图像进行矫正，使两幅图像的极线平行于水平扫描线上。
实验
（a）'house”。线是极线。（b）旋转后图片在Z=0平面上的 正交投影。每个线通过原点（x = y = 0）对应一个极线。此外， 在两幅图像中同一梯度的线对应极线。（c）我们的方法矫正 的图像。
2阶矩阵的参数化方法
采用上述参数，几何成本函数，
改写与七参数如下：
然后，上述的成本函数可以通过参数 使其最小，同时保持 秩等于2约束：
图片矫正方法
令
得到等式
图片矫正方法
代表二维矢量组成的前两个元素
上式表明，如果将两幅旋转后的图像正交投影到z=0平面上， 任何一对对应点在投影平面上位于同一穿过原点的直线。换 句话，由R T 旋转后的I平面和一个含x=y=0的直线的平面有一 条交线，就是极线。由R ''T旋转后的I '平面和同一平面也交于 一线，这就是对应的极线。该平面就是极平面。
图片矫正方法
取一个平行于z轴的平面，我 们称这种平面为参考平面。 将旋转后图像平面上的一个 点沿着线（极平面与平面z = 常数之间的交线）投影到参 考平面。这个在参考平面上 的重投影的图像有平行的极 线。通过保持过程中的Z值， 所有重新投影点在参考平面 上的构成矫正图像。通过改 变Z的值，矫正过程是可逆的： 由一个矫正后的点可以找回 它对应的唯一的原始点。
T
mi ' [ui ' , vi ' ,1]T
mi Fmi 0
'T
f11, f12 , f13 F f , f , f 21 22 23 展开可以得到约束方程为： f 31, f 32 , f 33
u 'i ui f11 u 'i vi f12 u 'i f13 v'i ui f 21 v'i vi f 22 v'i f 23 ui f 31 vi f 32 f 33 0
换言之，图像矫正是对视点差别很大的双眼图像对进 行重采样的过程，目的是为了产生一堆“匹配对极线的投 影”，这些对极线平行并且在视图之间相匹配。
两视几何
极平面 M 基本矩阵， Leabharlann Baidu 3
极线
l
m e
m'TFm=0
m'
l'
O
e'
O'
极点 基线 极线
基础矩阵F的估计方法 8点算法
一对对应点 两点之间关系 ， m i [ui , vi ,1]
基础矩阵F的估计方法 8点算法
对于 n 对对应的图像点对 可得到 n 个这样的方程 构造向量: 构造矩阵:
mi m'i
i 1n
f [ f11, f12 , f13 , f 21, f 22 , f 23 , f 31, f 32 , f 33 ]T
u '1 u1 u '1 v1 u '1 v'1 u1 v'1 v1 v'1 u1 v1 1 A u 'n un u 'n vn u 'n v'n un v'n vn v'n un vn 1
2阶矩阵的参数化方法
这种形式表示的矩阵由两正交矩阵 SO（3）和秩等于2的 对角矩阵。如果不失一般性，我们可以指定对角矩阵为（1 ， s，0），其中 s
2
1
一个旋转矩阵，可以用一个单位四元数描述。四元数
其中 下： 旋转矩阵可以表示如
如果公式（7）中的正交矩阵U和V是旋转矩阵，我们可以 采用双四元（DQ）来参数化。
从而:
Af 0
当 n>=8 时，可以线性求解 f。
2阶矩阵的参数化方法
F的秩等于2，而刚才得到的F不满足这个性质。
对F进行SVD分解。
3 应该是0。 如果有在上述过程中无噪音，
这个重构矩阵被视为 F 。为了解决这个问题，大多数工程在 下一步采用非线性优化方法。基于约束对应点必须位于极线， 下面的最小化代价函数：
2阶矩阵的参数化方法
不是所有的正交矩阵都是旋转矩阵。正交矩阵的行列式 可以是 1 个或— 1，正交矩阵的行列式是— 1 的不是一个旋转 矩阵。
然而，我们总是能把公式中的两个正交矩阵转换为两旋 转矩阵，通过改变对角矩阵中的另一个参数的标志s。
2阶矩阵的参数化方法
成为两旋转矩阵和对角矩阵的乘积。旋转矩阵有三个参数的 单位四元数描述，而对角矩阵只需要单参数。因此，七自由 度的一个矩阵是：