新世纪(版)数学6年级上册教材主要问题与解答

新世纪（版）《数学》6年级上册教材主要问题与解答

一、 对“圆的认识”这一内容，教材安排了将近5个课时，目的何在？如何引导学生感悟圆的特征？

“圆的认识”是学生研究曲线图形的开始，是学生认识发展的又一次飞跃。一是体现在圆的对称性上，圆是对称性“最好”的对称图形。圆是轴对称图形，对称轴有无数条。圆是旋转对称图形，旋转任意角度都能与它本身重合。二是体现在研究圆的方法上，“化曲为直”的方法是非常重要的，也是学生不易理解的。因此教材希望通过大量的操作活动来帮助学生体验圆的特征和研究曲线图形的一些方法。

“圆的认识（一）”中，“观察与思考一”的目的是使学生通过观察日常生活中的圆形物体，建立正确的圆的表象；并通过思考圆和以前学过的图形的不同点，认识到圆是由一条曲线构成的封闭图形。“观察与思考二”呈现了“套圈”游戏情境，引导学生思考哪一种方式更公平，让学生借助生活经验初步感受圆上各点到圆心的距离相等的本质特征以及圆与正方形的不同。教材安排的“画一画”活动，进一步使学生在动手操作中体会圆的本质特征，并引出圆心、半径和直径的概念。“观察与思考三”再次将学生的视角引向生活，引导学生思考和研究“车轮为什么是圆的”，应用所学的知识解释生活中的一些现象，进一步在解释生活现象中体会圆的本质特征。

“圆的认识（二）”主要是使学生认识到圆的对称性。教材首先创设了一个“找圆心”的活动，引导学生开展折纸活动，找出这个圆的圆心，体会圆的轴对称性。然后，教材进一步引导学生开展折纸活动，探索圆的轴对称性以及同一个圆里半径与直径的关系等。在这个内容中，教材还安排了操作活动，使学生对圆的旋转对称性有所感受。

“欣赏与设计”的内容主要是鼓励学生运用所学的图形设计图案，这不仅能培养学生的想象力和创造力，使学生体会到图形世界的神奇和美丽，同时在分析图案和创造图案中，学生还将进一步巩固对所学图形特征的认识。本部分内容的数学万花筒栏目中设计了用正方形纸片画圆的方法，可以帮助学生初步感受由正方形逼近圆的思想。

二、在“圆的面积”中，教材为什么安排让学生先估计圆的面积？

教材第16页安排了一个“估一估”的活动，目的是使学生进一步体会面积度量的含义，感受“化曲为直”的思想，发展学生的估计策略，进一步理解圆面积的含义。

教材采取了用方格纸估算圆面积的方法，呈现了一个10 m ×10 m 的正方形（每个方格代表1 m 2），并把半径5 m 的圆置于其中。教材呈现了两种估计方法：第一种是利用正多边形的面积进行估计。圆的面积比圆外切正方形的面积小，比圆内接正方形面积大，圆外切正方形的面积是100 m 2，圆内接正方形的面积是50 m 2，所以圆的面积大于50 m 2，小于100 m 2。第二种是用数方格的方法进行估计，并渗透通过估计部分来估计整个圆面积的思想，先用数格子的方法数出4

1个圆的面积约是20 m 2，再估计整个圆的面积约是80 m 2。

教学时，教师要先引导学生自己进行估计，再交流估计的策略。对于第一种估计策略，视班级的实际情况还可以引导学生用“圆的半径”来分析、表示两个正方形的面积，更有利于学生对圆的面积与半径关系的理解：圆外切正方形的边长是2r ，圆外切正方形的面积是2r ×2r ＝4 r 2；圆内接正方形可以看作是四个直角三角形组成的，直角三角形两条直角边的长是r ，一个直角三角

形的面积是r ×r ÷2＝21r 2，圆内接正方形的面积（四个直角三角形的面积）是2

1r 2×4＝2 r 2。所以圆的面积在2 r 2和4 r 2之间。

三、如何认识平移、旋转和轴对称，它们的基本要素是什么？

平移、旋转和轴对称是三个基本的全等变换。如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变化，那么这个图形进行的变换就叫做全等变换，它本质上是平面上两点之间的距离不发生变化，换句话说在原来的图形中，任意两点的距离假设是l 的话，经过变换后的两点之间的距离仍是l ，所以全等变换是一个保距变换，即保距离的一种变换，距离保持了以后，自然图形的形状、大小，都可以证明仍然是保持的。

其实可以直观地想一想，两个能够互相重合的图形，要由这个图形运动得到那个图形，可以通过怎样的运动。我们以三角形为例，首先可以是平移，平移到一定位置上，或者说对于三角形有一个顶点能够重合了，这时候无非有两种情况：一种情况是两个三角形的三个顶点的顺序是一致的，这时需要经过旋转两个图形就重合了；还有一种情况是顶点的顺序相反，这时需要经过反射（翻折，轴对称）两个图形就重合了。上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和轴对称变换，它们是三种基本的全等变换。

具体的什么叫平移，什么叫旋转，什么叫反射，我们不给出数学上严格的定义，而是直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。

如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的连线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的连线互相平行并且相等”。显然，确定平移变换需要两个要素：方向、距离。对于平移，需要说明：1.基本图形：是什么图形发生了平移；2.方向：向什么方向发生了平移；3.距离：平移了多远。

如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等，并且各组对应点与旋转中心连线的夹角都等于旋转的角度”。显然，确定旋转变换需要两个要素：旋转中心、旋转角(有方向)。对于旋转，需要说明：1.基本图形：是什么图形发生了旋转；2.旋转中心：是绕哪个点旋转的；3.方向：向什么方向发生了旋转，是顺时针还是逆时针；4.角度：旋转了多大的角度。顺便提一句，旋转中心不一定必须是基本图形上的顶点，可以是平面上的任意一点。有的教师认为旋转中心就是图形的顶点是有误的。

如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直且被该直线平分，这样的全等变换称为反射变换。垂直平分对称点所连线段的直线叫做对称轴。也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。

四、教材“比的认识”单元“生活中的比”一课，为什么要安排三个情境？

比是数学中的一个重要概念，比的概念实质是对两个数量进行比较，表示两个数量间的倍数关系。虽然比与除法、分数有着密切的关系，但对学生来说还是比较陌生，理解比的意义往往比较困难。教材密切联系学生已有的生活经验和学习经验，设计了多个情境，为学生理解比的意义提供了丰富的直观背景和具体案例，引发学生的讨论和思考，并在此基础上抽象出比的概念，使学生感受到需要刻画两个数量之间的关系，体会引入比的必要性以及比在生活中的广泛存在。

教材首先创设了观察图片、图形分类的

探索活动（如图），让学生体会引入比的必

要性；同时，引导学生观察研究长方形长与

宽的关系。教材呈现了五张有趣的淘气的图

片（其中两张长与宽的比与图片A 是相同的，

另外两张是不同的），引导学生观察四张图

片，与图片A 进行比较哪几张比较像，并用

“像”“不像”“变形了”等自己语言的叙

述，使学生对长与宽的关系产生直观感受。

在学生直观观察的基础上，再组织学生开展

探索活动。教材将五张图片的形状画在方格

纸上，引导学生探索这些长方形长与宽之间

的关系，发现长方形长与宽之间的倍数关

系，通过数形结合使学生对比形成深刻的体

验。同时，借助图形分类使学生体会引入比的必要性，当把图形A ，B ，D 分成一类时，不仅是考虑它们的长或宽，而是考虑了长和宽之间的倍数关系，它们的长都是宽的1.5倍，宽是长的31，所以把它们归为一类。在学生研究得出长、宽关系的基础上，再引导每一个学生画一个具有这样关系的长方形，进一步加深体验。

教材还运用“路程、时间、速度”和“总量、单价、数量”这两个非常重要的模型，引导学生结合数量关系的理解，丰富对比的认识。在通过这样三个情境引出比的概念的基础上，教材在“说一说”“练一练”等内容中又增加了“头长与身高的比”“正方形周长与边长的比”“斜坡中的比”等丰富的情境，让学生写出比并解释比的意义，促进对比的概念的进一步理解。

五、教材在讲“比的应用”时，为什么没有给出按比例分配这个名称？

这部分内容实际上就是“按比例分配”的内容，但教材中没有给出这个名称，目的有两个。第一，由于按比例分配问题有一定的解题方法，教材担心引入这个名称后，在教学时又把这一问