数列前n项和的求法

数列前n项和的求法

专题二: 数列前n项和的求法

一、倒序相加法求数列的前n项和

如果一个数列{a}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒n

着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。例如:等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法”。

例1:设等差数列{a}，公差为d，求证:{a}的前n项和S=n(a+a)/2 nnn1n

2,2,2,2,2,例2:求的值 sin1，sin2，sin3，,,,，sin88，sin89

二、用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和S可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行n

求解。运用公式求解的注意事项:首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例3:求数列的前n项和S:n

,123nx,例4:已知log，求的前n项和. x，x，x，,,,，x3log32

S*nf(n),例5:设S,1+2+3+…+n，n?N,求的最大值. n(n，32)Sn，1

点拨:这道题只要经过简单整理，就可以很明显的看出:这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列的和再求和。

三、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列

}的前n项和，其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等比数列. {a? bnnnn

23n,1例6:求和: S,1，3x，5x，7x，,,,，(2n,1)xn

2462n例7: 求数列前n项的和. ,,,,,,,,,,,23n2222

四、分组法求和(并项法)

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

2222n-12*例8:求S = 1 - 2 + 3 - 4 + … + (-1)n(n?N)

111例9:求数列的前n项和:，… 1，1,，4,，7,,,,,，3n,22n,1aaa

五、合并法求和

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S. n

aa,9,求loga，loga，,,,，loga[例] 在各项均为正数的等比数列中，若的值. 563132310

数列的求和方法多种多样，它在高考中的重要性也显而易见。我们的学生在学习中必须要掌握好几种最基本的方法，在解题中才能比较容易解决数列问题。

六、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通

如: 项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通

项分解(裂项)

,sin1,,,tan(n，1),tanna,f(n，1),f(n)(1) (2) n,,cosncos(n，1)

2111n(2)111a,,1，(,)a,,,(3) (4) nnn,n，n,n，(21)(21)22121n(n，1)nn，1

111,,,,,,,,,,例10:求数列的前n项和.

1，22，3n，n，1

12n2a,，，,,,，b,例11: 在数列{a}中，，又，求数列{b}的前nnnna,an，1n，1n，1nn，1

n项的和.

七.用构造法求数列的前n项和

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

例12: 求之和. 1，11，111，,,,，111,,,1,,,n个1

练习:求5+55+555+….+555…5之和