数学物理方法期末考试卷A

数学物理方法期末考试卷A

一、填空题(每空 3 分，共 33 分) 1.复数1-=z 的指数式为 ；

复数=i cos 。

2.=-⎰-dx x x )5( 18

19 2δ 。 3.复数1i +的幅角为 ，模为 。

4.复数()=++-)32/(51i i __ , =+i 1ln 。

5.复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=可导的充分必要条件为

6.若复变函数)(z f 在区域B 上解析，其实部为22y x -，则其虚部为 （备选答案：A. xy ；B. xy 2；C. 22y x +；D. y x +）。

7. 设n m ,为整数,则=⋅⎰-dx nx mx )cos (sin π

π 。

8.将21

56z z ++在2z <上展成罗朗级数

二、求解题(每小题 7 分，共 21 分) 1.试在复平面上画出函数1Re()2z

=点集的区域。

2. 用留数定理计算复积分

⎰=--3||2)5)(1(z z z z dz 。

3. 用留数定理计算实积分⎰

∞

∞-+ 241dx x 。

三、偏微分方程求解题 (共46 分) 1. (11分)利用行波法求解初值问题

⎪⎩⎪⎨⎧==>+∞<<∞-===x u x u t x u u t t t xx tt cos ,0,,4020

2. (10分)设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件0)()0(='=l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ。

3. (10分)证明递推公式：

（1）()()()x l x x x l l l P P P 1='-'-

（2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+='

-'+ 基本递推公式

()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ ()()()()x x x x x l l l l '-'+'=-+P 2P P P 11

4. (15分)用分离变量法解定解问题

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====><<=====.0,0|,00,0,0002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u