2018届高三一轮复习课件第6讲指数与指数函数

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n
n
n
第二章
基本初等函数、导数的应用
1．已知 a>0，且 a≠1，若函数 f(x)＝2ax－4 在区间[－1，2]上 1 7或 的最大值为 10，则 a＝________. 7
[解析] (1)若 a>1，则函数 y＝ax 在区间[－1，2]上是递增的， 当 x＝2 时，f(x)取得最大值 f(2)＝2a2－4＝10， 即 a2＝7， 又 a>1，所以 a＝ 7.
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基本初等函数、导数的应用
2 － x ＋ax＋1在区间(－∞，3) 1.已知函数 y＝2
[6，＋∞) ． 内递增，则 a 的取值范围为__________
2 － x ＋ax＋1是由函数 y＝2t 和 t＝－x2＋ax＋1 [解析] 函数 y＝2
复合而成． 因为函数 t＝－x ＋ax＋1 在区间
a ，＋∞上单调递减，且函数 2
2
a －∞， 上单调递增， 在区间 2
y＝2t 在 R 上单调递增，
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2 a － x ＋ ax ＋ 1 所以函数 y＝2 在区间－∞，2上单调递增， 在区间


a ，＋∞上单调递减． 2
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2．幂的有关概念 (1)正分数指数幂：a ＝ am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)； (2)负分数指数幂：a ＝ m＝
an
－n
m n
n
m
1
1 n am
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；
(3)0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义． 3．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
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e a 设 f(x)＝ ＋ －x(a＞0)是定义在 R 上的函数． a e (1)f(x)可能是奇函数吗？ (2)若 f(x)是偶函数，试研究其单调性．
－x
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【解于定义域为 R，
x
－x e a e a f(－x)＝－f(x)，即 a ＋ x＝－ a ＋ －x ， e e
1 x －x 整理得a＋a(e ＋e )＝0，
1 即 a＋a＝0，即 a2＋1＝0，显然无解． 所以 f(x)不可能是奇函数．
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(2)因为 f(x)是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，
－x e 1 x －x e a a 即 a ＋ x＝ a ＋ －x，整理得a－a(e －e )＝0， e e
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(2)若 0<a<1，则函数 y＝ax 在区间[－1，2]上是递减的， 当 x＝－1 时，f(x)取得最大值 f(－1)＝2a－1－4＝10， 1 所以 a＝ . 7 1 综上所述，a 的值为 7或 . 7
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2．若指数函数 y＝(a2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数
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化简： (1)(0.027)
1 － 3
1－2 71 －－7 ＋292－(
－
2－1)0；
1－1 (2)4 2·
( 4ab 1)3 0.1－2(a b )
1 3 －3 2
.
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指数函数的图象性质及应用(高频考点) (1) 函 数 y ＝ a2
(2 015，2 016) ． ______________
015 － x
＋ 2 015(a>0 ， 且 a≠1) 恒 过 点
(2)(2017· 福州模拟)已知实数 a≠1，函数 1 2 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的值为______________ ．
1－a
(2)当 a＜1 时，4
1 ＝2 ，所以 a＝ ；当 a＞1 时，代入不成立． 2
1
(3)f(x)为偶函数，当 x＜0 时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以
x 2 －4，x≥0， f(x)＝ －x 2 －4，x＜0，
当 f(x－2)＞0
x－2≥0， x－2＜0， 时，有 x－2 或 －x＋2 －4＞0 －4＞0， 2 2
当 x＝0 时，y＝1 当 x＜0 时，y＞1； 当 x＜0 时，0＜y＜1；
当 x＞0 时，0＜y＜1 当 x＞0 时，y＞1
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7 1．设 x＋x－1＝3，则 x2＋x－2 的值为________ ．
[解析] 因为 x＋x 1＝3.
－
所以(x＋x 1)2＝9，即 x2＋x 2＋2＝9，
2
x2－5x＋4
≥30＝1，
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令 u＝ x －5x＋4＝
2
52 9 x－ － ， 2 4
x∈(－∞，1]∪[4，＋∞)，所以当 x∈(－∞，1]时，u 是减函数， 当 x∈[4，＋∞)时，u 是增函数．而 3>1， 所以由复合函数的单调性，可知 f(x)＝3 减函数，在[4，＋∞)上是增函数．
[解] (1)a · a ＝a (2) a a＝ 3
2
2
3
2
a a.
2
2 2 8 ＋ 2 ·a3＝a 3＝a3. 4 4 1 2 a3＝(a3)2＝a3.
3
3
2
1 a·a3＝
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5．计算：(0.000 1)
4
－ 1 4
－
1 4
＋27
2 3
49－1 －64 2.
[解] 原式＝(0.1 ) ＋(3 ) ＝0.1 ＋3
－1
2 3 3
72－1 －8 2
2
7－1 8 125 －8 ＝10＋9－ ＝ . 7 7
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1．必明辨的 1 个易错点 指数函数 y＝ax (a>0，a≠1)的性质和 a 的取值有关，一定要分 清 a>1 与 0<a<1. 2．常用的 2 个结论 a，n为奇数， n n a，a≥0， (1) a ＝ n为偶数； |a|＝ －a，a＜0， (2)( a) ＝a(注意 a 必须使 a有意义)． 3．必会的 1 种方法 学会用换元法解决与指数函数有关的问题．
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t 1 1 (2)当 t∈[1，2]时，2 2 －22t＋m2 －2t≥0，
t 2t

即 m(22t－1)≥－(24t－1)， 因为 22t－1>0，所以 m≥－(22t＋1)， 因为 t∈[1，2]，所以－(22t＋1)∈[－17，－5]， 故 m 的取值范围是[－5，＋∞)．
6
；
a·b5
70.5 10－2 37 －2 0 3 (2) 29 ＋0.1 ＋ 227 －3π ＋ . 48
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【解】
1 1 1
(1)原式＝
1 1 5 2＋3－6
a ·b ·a ·b a· b
1 6 5 6
－3
1
1 2
－ －
所以 x2＋x 2＝7.
－
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2．若 a>1 且 a3x＋1>a－2x，则 x
1 － ，＋∞ 5 的取值范围为______________ ．
[解析] 因为 a>1，所以 y＝ax 为增函数， 又 a3x＋1>a－2x，所以 3x＋1>－2x， 1 即 x>－ . 5
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4．指数函数的图象和性质 函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1) 0＜a＜1 图象 a＞1
图象特征
在 x 轴上方，过定点(0，1)
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函数 定义域 值域 性 质 函数值 变化规律 单调性
y＝ax(a＞0，且 a≠1) R (0，＋∞) 减函数 增函数
x 4 ，x≥0， f(x)＝ a－x 若 ，x＜0， 2
(3)若偶函数 f(x)满足 f(x)＝2x－4(x≥0)， 则不等式 f(x－2)＞0 的 {x|x＞4 或 x＜0} 解集为______________．
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【解析】
(1)因为 a0＝1， 所以该函数的图象过点(2 015， 2 016)．
x2－5x＋4
在(－∞，1]上是
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基本初等函数、导数的应用
指数函数的综合应用 1 已知定义在 R 上的函数 f(x)＝2 － |x|. 2
x
3 (1)若 f(x)＝ ，求 x 的值； 2 (2)若 2tf(2t)＋mf(t)≥0 对于 t∈[1，2]恒成立，求实数 m 的取值 范围．
解得 x＞4 或 x＜0. 所以不等式的解集为{x|x＞4 或 x＜0}．
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