大题每日一题规范练(第一周)

星期一(数列) 2021年____月____日

【题目1】 在①b 1＋b 3＝a 2，②a 4＝b 4，③S 5＝－25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k 存在，求k 的值；若k 不存在，说明理由. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，________，b 1＝a 5，b 2＝3，b 5＝－81，是否存在正整数k ，使得S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2?

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解 选条件①.

设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2

＝－27，即q ＝－3， 所以b n ＝－(－3)n －1.

从而a 5＝b 1＝－1，a 2＝b 1＋b 3＝－10，

由于{a n }是等差数列，所以a n ＝3n －16.

因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，

所以满足题意的k 存在当且仅当⎩

⎨⎧3（k ＋1）－16＜0，3（k ＋2）－16＞0， 即k ＝4.

选条件②.

设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 5b 2

＝－27，即q ＝－3， 所以b n ＝－(－3)n －1.

从而a 5＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝27，

所以{a n }的公差d ＝－28.

因为S k ＞S k ＋1且S k ＋1＜S k ＋2等价于a k ＋1＜0且a k ＋2＞0，此时d ＝a k ＋2－a k ＋1＞0，与d ＝－28矛盾，所以满足题意的k 不存在.

选条件③.

设{b n }的公比为q ，则q 3

＝b 5b 2＝－27，即q ＝－3， 所以b n ＝－(－3)n －1.