高二年级数学-三垂线定理

P
D1
C1
A1
C
B1 D
C
(1)
(2)
M B
A (3)
B
Baidu Nhomakorabea
(1) PA⊥正方形ABCD所在平
P A B D
面，O为对角线BD的中点，
求证：PO⊥BD，PC⊥BD 证明: ∵ABCD为正方形
O
O为BD的中点
∴ AO⊥BD 又AO是PO在ABCD上的射影
C

PO⊥BD
同理，AC⊥BD
AC是PC在ABCD上的射影
P
A
a
O
PO⊥ 1 a
PO ⊥a
OA⊥a 2
证明：
a⊥平面PAO
PA平面PAO
a⊥PA
3
例1 已知P 是平面ABC 外一点， PA⊥平面 ABC ，AC ⊥ BC， 求证： PC ⊥ BC 证明：∵ P 是平面ABC 外一点 PA⊥平面ABC ∴PC是平面ABC的斜线 ∴AC是PC在平面ABC上的射影 A ∵BC平面ABC 且AC ⊥ BC ∴由三垂线定理得 PC ⊥ BC P
三垂线定理是平面
的一条斜线与平面内的 直线垂直的判定定理， 这两条直线可以是： ①相交直线 ②异面直线 P
α
e d c A
O b
a
注意：如果将定理中
解 题 回 顾
“在平面内”的条件 去掉，结论仍然成立 吗？
例如：当 b⊥ 时， b⊥OA
但 b不垂直于OP
P
b
直线a 一定要在平 面内，如果 a 不在 平面内，定理就不 一定成立。
O
B
C
例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：
(1) 已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点 求证：PO⊥BD，PC⊥BD (2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中点， 求证：BC⊥AM
(3) 已知：在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1
P A O B C D A

PC⊥BD
P
(2) 已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，
M是BC的中点， 求证：BC⊥AM 证明: ∵ PB=PC M是BC的中点
C A
M B
BC⊥AM
PM ⊥BC
∵PA⊥平面PBC
∴PM是AM在平面PBC上的射影
D1 (3) 在正方体AC1中，
C1
B1
求证：A1C⊥BC1 ， A1C⊥B1D1
定
理
逆定理
线斜垂直
线射垂直
定 理 逆 定 理
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆理：
在平面内的一条直线，如果和 这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂 直。
线斜垂直
例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等， 那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。
4.在ABCD—A1B1C1D1中， 求证：AC1⊥平面BC1D
D
C
A
B
证明： ∵在正方体AC1中 A1B1⊥面BCC1B1且BC1 ⊥B1C
A1
D
A D1 B1 D A B B
C
∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影
C1
由三垂线定理知
A1C⊥BC1
A1
同理可证， A1C⊥B1D1
C
我们要学会从纷繁的已知条件中找出 或者创造出符合三垂线定理的条件 ，怎么找？ P
解 题 回 顾
O
a
α
A
练习：
判断下列命题的真假： ⑴若a是平面α的斜线，直线b垂直于 A1 a在平面α内的射影，则 a⊥b （ × ） ⑵若 a是平面α的斜线，平面β内 的直线b垂直于a在平面α内的射 影，则 a⊥b （ ×）
D1
C1
B1
D
⑶若a是平面α的斜线，直线b α A 且b垂直于a在另一平面β内的射 B 影则a⊥b （× ） 面ABCD →面α 面 ABCD → 面 αβ 面 B → 面 1BCC 1→ 面 ABCD 面 α ⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线 直线 A C → 斜线 a 直线 A C → 斜线 aa 1 1 直线 A C → 斜线 1 b垂直于a在平面α内的射影， 直线 B B → 垂线 bb 直线 AB 1 B 直线 B → 垂线 1 则 a⊥b （√ ）
三垂线定理
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。 已知 PO、PA分别 是平面的垂线、斜 线，OA是PA在平面 上的射影。a ， a⊥OA。
P
A
a
求证： a⊥PA
O
三垂线定理：
在平面 内的一条直线，如果和这个平 面的一条斜线的射影垂直，那 么，它就和这条斜线垂直。
平面内的一条直 线和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一 条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。 P 已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 A O 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a ⊥PO
a
α
求证：a ⊥AO
线射垂直
三垂线定理：
C
三垂线定理包含几种垂直关系？
①线面垂直 ②线射垂直 ③线斜垂直
P A O P P O
α
a
α
A
a
α
A
O
a
直 线 和
平面垂直
平面内的直线 和平面一条斜 线的射影垂直
平面内的直线 和平面的一条 斜线垂直
三垂线定理的逆定理
线射垂直
α
P A O
a
？
α
P A
线斜垂直
O
a
平面内的一条直线和 平面的一条斜线在平 面内的射影垂直
B
O C
D
课后练习与作业
1. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1E⊥EF， 则EF与GD所成的角的大小为（ D ） (A) 30° (B) 45° (C) 60°(D) 90° D1 C1 EB1是EC1在平面AB1 A1 内的射影 B1 G E
A
D
F
M B
已知：∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC， PO⊥ ，垂足分别是E、F、O，PE=PF P 求证：∠BAO=∠CAO 分析： 要证 ∠BAO=∠CAO E B 只须证OE=OF, OE⊥AB,OF⊥AC O
证明： ∵ PO ⊥ F ∴OE、OF是PE、PF在内的射影 ∴ OE=OF ∵ PE=PF 由OE是PE的射影且PE⊥AB OE⊥AB 同理可得OF⊥AC
C
EB1 ⊥EF DG∥AM∥EB1 EF ⊥DG
P
2.已知 PA、PB、PC两两垂直， 求证：P在平面ABC内的射影是 △ABC的垂心。
3.经过一个角的顶点引这个角 所在平面的斜线，如果斜线和 这个角两边的夹角相等，那么 斜线在平面上的射影是这个角 D1 的平分线所在的直线。 B
C1
H
C
A1
A
B1
?
?
?
A
C 结 论 成 立
思考题：在四面体ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD 求证：AD⊥BC 证明：作AO⊥平面BCD于点O， 连接BO，CO，DO，则BO， CO，DO分别为AB，AC， AD在平面BCD上的射影。
∵AB⊥CD，∴BO⊥CD， 同理CO⊥BD， 于是O是△BCD的垂心， ∴DO⊥BC，于是AD⊥BC. A
α
A1
A
O
a
α
P
A O
a
P
B1
C1 A M B C
C B
三垂线定理解题的关键：找三垂！
解 题 回 顾
怎么找？
一找直线和平面垂直 二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的 一条直线垂直 P
α
A
O
a
注意：由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件
使用三垂线定理还应注意些什么？
解 题 回 顾