最新抛物线知识点归纳总结

第二章 2.4 抛物线

抛 物 线

)

0(22>=p px y

)

0(22>-=p px y

)

0(22>=p py x

)

0(22>-=p py x

定义

平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。 {MF M =点M 到直线l 的距离}

范围 0,x y R ≥∈ 0,x y R ≤∈ ,0x R y ∈≥ ,0x R y ∈≤

对称性 关于x 轴对称

关于y 轴对称

焦点 (

2

p

,0) (2p -,0) (0,2p ) (0,2

p -

) 焦点在对称轴上

顶点 (0,0)O

离心率 e =1

准线 方程 2

p x -

= 2

p x =

2

p y -

= 2

p y =

准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

顶点到准线的距离

2

p 焦点到准线的距离 p

焦半径

11(,)

A x y

12p AF x =+

12

p

AF x =-+

12p AF y =+

12p AF y =-+

x

y

O l

F x

y

O

l F

l

F x y O

x

y O l F

焦 点弦 长

AB

12()x x p ++

12()x x p -++ 12()y y p ++ 12()y y p -++

焦点弦

AB 的几条性质

11(,)

A x y 22(,)

B x y

以AB 为直径的圆必与准线l 相切

若AB 的倾斜角为α，则22sin p AB α=

若AB 的倾斜角为α

，则22cos p

AB α

= 2

124

p x x = 212y y p =-

112AF BF AB AF BF AF BF AF BF p

++===∙∙ 切线 方程 00()y y p x x =+ 00()y y p x x =-+ 00()x x p y y =+ 00()x x p y y =-+

1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

，消y 得：

（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，

Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）

o

x ()22,B x y

F

y ()11,A x y

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线

，)0( p

① 联立方程法：

⎩⎨⎧=+=px

y b

kx y 22

⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出

b

x x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，

2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长

2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=a

k ∆+=2

1 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+

=a

k ∆+=2

1 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=

， 2

2

10y y y += ② 点差法：

设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得

12

12px y = 22

22px y =

将两式相减，可得

)(2))((212121x x p y y y y -=+-

2

121212y y p

x x y y +=

--

a. 在涉及斜率问题时，2

12y y p

k AB +=

b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，

021*******y p

y p y y p x x y y ==+=--， 即0

y p k AB =

，

同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点

),(00y x M 是弦AB 的中点，则有p

x p x p x x k AB 0

021222==+=

（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜

率存在，且不等于零）