高中数学教案 必修1 第十一讲：函数模型及其应用

博途教育学科教师辅导讲义(一）

学员姓名: 年级：高一日期：辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：课题第十一讲：函数模型及其应用

授课日期

教学目标1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；

2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论.

教学内容

函数模型及其应用

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型；

◆教学难点：根据数学模型解决实际问题。

〖教学过程〗

一、创设情境，导入课题

在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只.

可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.

这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.

二、提出问题，探索新知

①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.

设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).

②A 、B 两城相距100 km ，在两地之间距A 城x km 处D 地建一核电站给A 、B 两城供电，为保证城市安全.核电站距城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.若A 城供电量为20亿度/月，B 城为10亿度/月. 把月供电总费用y 表示成x 的函数，并求定义域.

③分析以上实例属于那种函数模型. 讨论结果：①f(x)=5x(15≤x ≤40).

g(x)=⎩⎨⎧≤<+≤≤40

30,902,3015,90x x x

②y=5x 2+2

5

(100—x)2(10≤x ≤90)；

③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.

三、应用示例

例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如图所示. (1)求图3-2-2-1中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数解析式，并作出相应的图象.

图3-2-2-1

活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：

图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数s km 与时间t h 的函数为分段函数.

解：(1)阴影部分的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360. 阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360 km.

(2)根据图，有s=⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧≤≤+-<≤+-<≤+-<≤+-<≤+.54,2299)4(65,43,2224)3(75,32.2134)2(90,21,2054)1(80,10,200450t t t t t t t t t t

这个函数的图象如图3-2-2-2所示.

图3-2-2-2

变式训练

电信局为了满足客户不同需要，设有A 、B 两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如下图(图3-2-2-3)所示(其中MN ∥CD).

(1)分别求出方案A 、B 应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；

(2)假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A 、B 两种优惠方案？并说明理由.

图3-2-2-3

解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：

f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤,100,10103,1000,20x x x g(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤.500,10010

3,5000,50x x x

(2)当f(x)=g(x)时,

10

3

x-10=50, ∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;

当客户通话时间为0≤x ＜200分钟，g(x)>f(x),故选择方案A ； 当客户通话时间为x>200分钟时，g(x)

点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.

例 2 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766~1834)就提出了自然状态下的人口增长模型： y=y 0e rt ,

其中t 表示经过的时间，y 0表示t=0时的人口数，r 表示人口的年平均增长率. 下表是1950～1959年我国的人口数据资料：

年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959 人数／万人 55196 56300 57482 58796 60266 61456 62828 64563 65994 67207

(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否