第三章中值定理与导数的应用综合练习参考答案

第三章 中值定理与导数的应用
一、是非题
1．函数12+=x y .在区间［－１,１］上满足罗尔中值定理条件的是（ √ ）
2．方程0155
=+-x x 在()1,1-内有且仅有一个实根 ( √ ) 3．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则对任意()b a x ,∈，有()()x g x f =， (× ) 4．sin lim
x x x →∞是未定型。

. ( × )
5．在罗比塔法则中，A x g x f x x =→)(')('lim 0是 A x g x f x x =→)
()(lim 0的充要条件. （ × ）
6．.因 x x x x x x x x cos 1cos 1lim sin sin lim +-=+-∞→∞→不存在，所以x
x x x x sin sin lim +-∞→不存在. ( × ) 7．.3
2122lim )'1()'1(lim 11lim 1221221=+=-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x . ( × )
8． 若函数)(x f 在区间 ),(b a 内可导，则0)('>x f 是)(x f 在),(b a 内单调增加的充分必要条件. ( × )
9．. 若0x 是)(x f 的极值点，则一定有)('0x f =0. ( × )
10．. 若0x 是)(x f 的一个不可导点，则一定是)(x f 的一个极值点.( × )
二、选择题
1. 函数x x x f -=3)(在［０，３］上满足罗尔中值定理的=ξ（ D ）
（A ）0； （B ）３； （Ｃ）
23； （Ｄ）２. 2．函数x
x f 21)(=满足拉格朗日中值定理条件的区间是( A ) （A ） [1，2]； （B ）［－２，２］； （Ｃ）［－２,０］； （Ｄ）［０，１］.
3．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( C )
A ．四个极值点；
B ．三个极值点
C ．二个极值点
D ． 一个极值点
4．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( C )
A ．()M x f ≥
B ．()M x f >
C ．()M x f ≤
D ．()M x f <
5．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( B )
A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ，
B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θ，
C ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θ，
D ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ。

6．求极限x x x x sin 1sin
lim 20→时，下列各种解法正确的是 ( C )
A ．用洛必塔法则后，求得极限为0,
B ．因为x
x 1lim 0→不存在，所以上述极限不存在, C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x
x x x x , D ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在.
7．设函数2
12x x y +=，在 ( C ) A ．()+∞∞-,单调增加, B ．()+∞∞-,单调减少,
C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少,
D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加.
8．设()()x g x f x x 0lim →为未定型，则()()
x g x f x x ''→0lim 存在是()()x g x f x x 0lim →也存在的 ( B ) A ．必要条件 B ．充分条件
C ．充分必要条件
D ． 既非充分也非必要条件
9．若()x f 为可导函数，ξ为开区间()b a ,内一定点，而且有()0>ξf ，()()0≥'-x f x ξ，则在闭区间[]b a ,上必有 ( D )
A ．()0<x f
B ． ()0≤x f
C ．()0≥x f
D ． ()0>x f
10．已知()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且当()b a x ,∈时，有()0>'x f ，
又已知()0<a f ，则 ( D )
A ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0>b f
B ．()x f 在[]b a ,上单调减少，且()0<b f
C ．()x f 在[]b a ,上单调增加，且()0<b f
D ．()x f 在[]b a ,上单调增加，但()b f 正负号无法确定。

三、填空题 1. =+→x x x )1ln(lim 0 1 , 2．=--→a
x a x a x sin sin lim cos a , 3．=→x
x x 3tan tan lim 2π
3 , 4．=→x x x 2cot lim 012, 5．=-+→20)1ln(lim x x x x 12-, 6．当∞→x 时，有+∞→)(x f 和+∞→)(x g 且l x g x f x =∞→)
(')('lim (+∞<<l 0) , 则=∞→)
(ln )(ln lim x g x f x 1 7.函数 x x x f -=arctan )(在其定义域内为单调 减小 .
8.函数x x x f cos )(+=在区间 ]2,0[π上单调 增加 .
9.当1±=x 时,函数q px x y ++=33有极值，那么=p －1 .
10.已知函数2332x x y -=，=x 0 时，极大值=y 0 ；=x 1 时，极小值=y －1.
四．计算题
1、求下列极限
(1).求()2
01ln lim x x x x +-→ 解：原式()2
1121lim 2111lim 0000=+=+-→→x x x x x 型
(2)．求x x x 3cos sin 21lim
6-→
π 解：原式3
33sin 3cos 2lim 000=--→x x x 型 (3)．求()x x x 1201lim +→
解：令()x x
y 121+=，则()x x y 2
1ln ln += ∵()012lim 1ln lim 2
0002
0=++→→x x x x x x 型 ∴原式10==e .
(4)．求极限x x x +→0
lim 。

解：令x x y =，则x x y ln ln =
∵011lim 1
ln lim ln lim 2000=-=+++→∞∞→→x
x x x x x x x x 型 ∴原式10==e
2．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。

解：()()3139632-+=--='x x x x y
当1-<x 时，0>'y ，
当31<<-x 时，0<'y
当3>x 时，0>'y
故y 在(]1,-∞-及[)+∞,3单增，在[]3,1-单减。

3．求函数x
x y 2ln =的单调区间与极值。

解：()2
ln ln 2x x x y -=',
令0='y ，得1=x 或2e .
故可疑极值点1，2e .
4．求内接于椭圆122
22=+b
y a x ，而面积最大的矩形的边长。

解：设矩形在第一象限的顶点坐标为()y x ,，则
⎩⎨⎧==θθs i n
c o s b y a x ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πθ 故矩形面积为θθθ2sin 2cos sin 44ab ab xy S ===
当4π
θ=时，S 取最大值ab 2，
矩形边长分别为a x 22=和a y 22=。

5．求由y 轴上的一个给定点()b ,0到抛物线y x 42=上的点的最短距离。

解：设⎪⎭
⎫ ⎝⎛241,x x M 是抛物线上任一点，则()b ,0到M 的距离为 2
22241⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=b x x d 从而⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='x b x x b x x d 281411
3222 令0='d ，得0=x 或842-=b x
10．当2<b 时，只有一个驻点0=x
当0<x 时，0<'d ，从而d 单减
当0>x 时，0>'d ，从而d 单增
故0=x 是d 的极小值点，极小值为||b
2．当2≥b 时，有三个驻点0=x ，22--b ，22-b
当22--<b x 时，0<'d ，从而d 单减
当022<<--x b 时，0>'d ，从而d 单增
当220-<<b x 时，0<'d ，从而d 单减
当22->b x 时，0>'d ，从而d 单增
故22-±=b x 是极小点，极小值为22-b
五、证明题
1．若0>x ，证明x e x +>1
证明：令()x e x F x --=1，则()1-='x e x F
当0>x 时，()0>'x F ，从而()x F 在()+∞,0单增
因为()00=F ，故()0>x F ，即
x e x +>1.
2．设()x f 在[]2,1上具有二阶导数()x f ''，且()()012==f f ，如果()()()x f x x F 1-=，证明至少存在一点()2,1∈ξ，使()0=''ξF 。

证明：由题设知()x F 在[]2,1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点()2,1∈a ，使得()0='a f 。

因为()()()()x f x x f x F '-+='1，则由题设知()x F '在[]a ,1上连续，在()a ,1内可导，且()()011=='f F ，故()x F '在[]a ,1上满足洛尔定理条件，则至少存在一点ξ，使()0=''ξF ，。