圣维南原理的概念及应用剖析

x ( cos ) xy ( sin ) y cos
y ( sin ) xy ( cos ) y sin 右侧面： l cos , m sin cos x sin xy 0 x y tan
2.、圣维南原理 (Saint-Venant Principle)
原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布 不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有 显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。 P P/2
P A
P P/2
P A P A
P
3.、圣维南原理的应用
(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。 (2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。
sin 1 y cos 1 xy 0
AC 边界：
（ 1）
∵A 点同处于 AB 和 AC 的边界， ∴满足式（1）和（2），解得
l2 cos 2 m2 sin 1
x y xy 0
∴ A 点处无应力作用
代入应力边界条件公式，有
ZS《Rock Mass Mechanics》
y h, l 0, m 1 f x 0, f y 0
y s xy s
(1) 0 0 0, 0
y s xy s
说明：
x = 0 的边界条件，是有矛 盾的。由此只能求出结果：

y s
q, xy s 0
注意事项：
(1) 必须满足静力等效条件；
(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。
如： 主要边界 B
A
P
P A
次要边界
ZS《Rock Mass Mechanics》
2018/10/19
ZS
例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水 压力，顶部受集中力作用。试写出 水坝的应力边界条件。
1 x ( x y) E 1 y ( y x) E 2(1 ) xy xy E
4. 边界条件
（2-15）
（平面应力问题）
（2-9）
位移：
应力：
u s u （2-17） vs v l ( x ) s m( xy ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f y
x
a
y
(4)
(3)
l 0, m 1 y h, f x 0, f y q x s 0 xy s (1) 0 y s (1) xy s 0 q
x s 0, xy s 0
x s 0 xy s (1) 0
cos 2 x sin 2 xy 0 sin 2 y cos 2 xy 0
（ 2）
由应力边界条件公式，有
l ( x ) s m( xy ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f y cos 1 x sin 1 xy 0
左侧面：
y
yx
l 1, m 0
fx f y 0
代入应力边界条件公式
l ( x ) s m( xy ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f y
问题的提出：
求解弹性力学问题时，使应力分量、 形变分量、位移分量完全满足8个基本方程 相对容易，但要使边界条件完全满足，往往 很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条 件无法列写。
P
P
P
1. 、静力等效的概念
两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系 为静力等效力系。 R Fi M O mO ( F i ) 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正 确，但对变形体而言一般是不等效的。
2018/10/19
ZS
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
为什么要用圣维南原理？ 如何应用圣维南原理？ 圣维南原理中主矩的方向是如何定义的？ 圣维南原理中主矩是对那个点取矩？ 圣维南原理中边界的面力和应力的关系？ 什么是主要边界？什么是次要边界？ 为什么正应力对中心点取矩不为零？
ZS《Rock Mass Mechanics》
u 0, v 0.
例3 图示水坝，试写出其边源自文库条件。
左侧面：
l cos , m sin
x y tan

f x y cos
f y y sin
由应力边界条件公式，有
l ( x ) s m( xy ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f y
（2-18）
例1 如图所示，试写出其边界条件。 v u s 0 u 0 , 0 (1) x 0, x v 0 y
(2)
q
h h
s x a, l 1, m 0 f x 0, f y 0 l ( x ) s m( xy ) s f x m( y ) s l ( xy ) s f y
高等岩石力学
第二讲：特殊边界处理与网格划分问题
平面问题的基本方程
1. 平衡微分方程
x yx fx 0 x y xy y fy 0 x y
2. 几何方程
3.
物理方程
（2-2）
u x x v y y v u xy x y
fx f y 0
sin yx cos xy 0
例4 图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，
证明在板中间突出部分的尖点A处无应 力存在。
解： —— 平面应力问题，在 AC、AB
力作用。即 AB 边界：
边界上无面
fx f y 0 l1 cos 1 , m sin 1