公理化方法的发展及其对数学教育的启示

公理化方法的发展及其对数学教育的启示

【摘要】数学问题解决的方法由来已久，公元前三世纪古希腊的《几何原本》在几何问题解决中形成了对数学体系建立影响巨大的公理化方法。文章深入考察公理化方法产生和发展的历史脉络并指出公理化方法在数学教育中的作用和应遵循的原则。

【关键词】公理化方法；数学教育；启示

一、公理化方法的发展

公理化方法是从数学（主要是几何学）和逻辑学的发展中产生的，其历史发展可分为如下几个阶段。

（一）欧几里得《几何原本》与公理化方法

古希腊哲学家和逻辑学家亚里士多德是历史上“第一个伟大的公理化方法理论家”。但他没有实际用过公理化方法推出定理，构造一个理论化知识体系。在数学发展史上，第一个成功地应用了公理化方法，并改造了亚里士多德创立的公理化方法的是古希腊数学家欧几里得，这充分体现在他那13卷的鸿篇巨著——《几何原本》里。该书把亚里士多德创立的公理化方法应用于数学，特别是几何学，从5条公设、5条公理和23个定义出发，推出了467条定理，整理、总结和发展了希腊古典时期的大量数学知识，其内容和形式对于几何学本身以及数学逻辑基础的发展产生了巨大影响。欧几里得的《几何原本》具有封闭的几何理论演绎体系、抽象化的数学内容等特点，是实质性公理化阶段形成的重要标志。

（二）非欧几何及其对公理化的发展

自《几何原本》问世后，历代数学家都企图消除“平行公设”这个“几何原理中的家丑”（达朗贝尔语）。从希腊时代到1800年间，他们的研究途径大致有两条：一是用更为自明的命题来代替平行公设，二是试图从欧氏几何的其他几条公设和公理推出平行公设。如果能办到这一点，平行公设将成为定理，它也，就无可怀疑了。循着第一条途径走的数学家们曾提出或隐含地假定作为欧氏几何的平行公设的替代公设有很多，但并不比欧氏几何中的平行公设好接受，因为它们或者同样复杂，或者假定了绝不是“自明的”几何性质。沿着第二条途径走的数学家们，试图从其他几条公设和公理推出欧氏几何中平行公设，都无一例外地失败了。但他们从与欧几里得平行公设相反的替代公设出发推出了一系列新奇的结论，得到了一个全新的几何体系，最终导致了非欧几何的诞生。

非欧几何要获得普遍接受，需要解决两方面的问题。首先是确实地证明自身在逻辑上的无矛盾性，其次是揭示这种几何的现实意义。后一个问题直到20世纪爱因斯坦相对论建立后才得到解决，至于非欧几何的无矛盾性问题，19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱因各自在欧几里得空间中给出了罗巴切夫斯基几何的模型。他们的工作使非欧几何具有了至少与欧几里得几何同等的逻辑地位。至此非欧几何作为一种几何的合法地位充分建立起来，并开始得到广泛的理解和接受。非欧几何系统已经不像《几何原本》那样依赖于感性直观的实质性公理系统。非欧几何的建立标志着从实质性公理化方法向形式公理化方法的过渡。这表明人们的认识已从直

观空间上升到抽象空间。

（三）希尔伯特公理化方法

在重建严格统一的几何基础的努力中，希尔伯特的《几何基础》最为成功。希尔伯特在总结了整个几何学发展的基础上提出了自己的公理系统和组织公理系统的原则。在数学史上，希尔伯特的方法被称为现代公理化方法，以区别于欧几里得的公理化。希尔伯特对公理系统提出明确的逻辑要求，也就是指出如何选择公理：相容性，即不能出现矛盾；独立性，即不能出现多余的公理；完备性，即不能缺少公理。

希尔伯特在这方面的贡献影响深远，因为他更加透彻地弄清了公理系统的逻辑结构与内在联系。在对他的公理系统做出自然的划分之后，希尔伯特在历史上第一次明确提出了选择和组织公理系统的原则，即相容性、独立性和完备性。如此组织起来的公理系统，通过否定或者替换其中的一条或几条公理，就可以得到相应的某种几何。这样的做法，不仅给出了已有几门非欧几何的统一处理，而且还可以引出新的几何学。希尔伯特无疑是现代公理化方法的奠基人。

二、对数学教育的启示

（一）公理化方法具有分析、总结数学知识的作用

当学生经过一段时间的学习，积累了相当丰富的经验知识，就需要按照逻辑顺序加以综合整理，使之条理化、系统化，上升到理性认识，公理化方法便是一种有效的手段。

（二）公理化方法有助于培养逻辑思维能力

从几条不言自明的公理出发，通过逻辑的链条，推导出成百上千条定理。这种演绎论证的思维模式对培养学生的逻辑思维能力具有重要的作用。事实上，不少数学家的成长都受益于对公理化方法的探索与研究。

（三）充分重视学生生活背景和实践经验在建构数学公理系统中的作用

从数学历史的演进过程来看，数学家们创造出严格的公理系统是以前期的非公理化数学为直接或间接基础的，而非公理化数学的最终渊源是客观现实中的真实背景。在教育过程中应重视使用相关的生活背景和实践经验建构数学公理系统。帮助学生自主探索，理解数学概念的形成过程，数学法则的发现过程，数学问题的求解过程，从而体现生动活泼的数学思维活动，领悟蕴涵在其中的思想方法。

（四）学习的不同阶段应该有相适应的公理化方法层次

从上述讨论中我们已明确：无论是从数学科学的发展还是就学生的学习过程而言，公理化方法本身具有层次性发展特点，教育中的数学类似于“生长中的数学”，是作为进一步学习基础的适度的公理化，而不同于作为完整数学理论体系的最终公理化，要与学生的学习进程相适应，不能急于求成。高度公理化表达的“精品数学”是少数数学家们所追求的理想结果，我们大多数人所认识和需要的都是“中间状态”，即一定层次的公理化数学。因此，数学教育中对公理化方法的表达要适度，要保持一种“中间状态”。局部环节上，在给出公理系统之前应该让学生有一个充分的心理酝酿过程；各阶段上，要与学生

心理发展水平相适应，要充分考虑学生的认知发展水平和已有的知识经验。

（五）数学教育中公理化方法要与其他数学方法相结合

虽然数学知识大多以公理系统的形式呈现，学习公理化方法是数学学习的一项基本要求，但公理化方法不是数学中仅有的思维方法，归纳方法、类比方法、化归方法和数学模型方法等都是重要的思维方法，都需要认真地学习。在数学教育中要注意公理化方法与其他数学方法的结合，要根据数学内容选择数学方法，只有这样，才能真正提高学生的思维能力，培养出创新人才。

参考文献：

[1][美]卡茨，数学史通论[M]．李文林，邹建成，青鸣伟等译，北京：高等教育出版社，1980．

[2]莫德．欧几里得几何原本研究[M]，呼和浩特：内蒙古人民出版社，1992.

[3]冯晓华，李文林．公理化的历史发展[J]．太原理工大学学报（社会科学版），2006，(2)．