3_RRRT并联机器人奇异位形分析

　万方数据

３８天津理工大学学报第２１卷第１期

图１３一ＲＲＲＴ并联机器人等效机构简图

№．１Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｄｉａｇｒａｍ０ｆｆｉｌｅ３－ＲＲＲＴ

ｐＩｒａ：Ｕ曲ｌＩ谢珥ｎ砸ｏｒ

图２３一ＲＲＲＴ并联机器人几何模型

ｒｉｇ．２Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅ３－ＲＲＲＴ

ｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ

中Ｌｉ４＝０、ＪＪ工ｍＪＪ＝Ｒ、ＪＪ三ｆ５ＪＪ＝ｒ，下脚标ｊ相同的

构件的长度相同．ｏｉ沩各构件的连接的理想铰点，也

是相应的体坐标系＿ｌＪ的原点．固定平台的３个铰点

。ｌｌ、ａ２１、ａ３１位于同一平面上，且△０１１０２１０，３１为正三角

形；动平台的３个铰点口１５、口２５、Ｏ，３５位于同一平面上，

且△０１５口２５口３５为正三角形．其中，连杆１（厶１）通过转

动副与固定平台和连杆２（￡ｉ２）连接，连杆２（￡ｉ２）与连

杆３（Ｚｉ３）通过转动副连接，厶３与上平台通过虎克铰

连接．向量ｅｌｌ＝ｅ１２＝ｅ１３＝ｅ１４＝ｅ１５为通过回转副轴

线的单位矢量，它们有如下的关系：

ｅｌｌ２

ｅ１２

２

ｅ１５，ｅ１３

２

ｅ１４，ｅｌｌ。ｅ１３

２０

本文采用齐次坐标矩阵的方法来描述３－ＲＲＲＴ并联机器人各刚性构件的位姿（位置和姿态）．如图１所示，０一ｚ】Ｙｌ彳，为绝对坐标系｛０｝，０是静平台的几何中心，ＯＺ。垂直于上台，Ｐ为上平台的几何中心，ｐｚ，

垂直于上平台．

以支链Ｉ为例，在各构件的下关节建立相应的体坐标系．如图１所示，杆件￡】ｉ的体坐标系｛．『｝固定在．ｆ杆件下关节．ｆ之处，它的原点ｏｊ在关节．ｉ的轴线上（与铰点口（１’『）重合）；ｏｊｚｊ轴与关节．ｊ的轴线重合，方向由单位矢量Ｐ１指定；ｏｉｘｉ轴是杆件三ｌ『长度线的延长线，方向以延长方向为正向；ｏｊｙｉ轴方向由右手坐标系的原则来决定．

２机构瞬时速度分析

假设如图１所示位置下的３．ＲＲＲＴ并联机器人处于奇异位形状态，此时动平台在满足结构约束与驱动关节约束的条件下，仍存在一瞬时运动．令动平台转动速度为∞，依据刚体运动学的理论，动平台上的点口ｆ５的速度为：

Ｖａｉ５＝％＋∞ｘｐａｉ５（ｉ＝１，２，３）（１）

同时从第ｉ条支链考虑动平台口；，点的速度可有如下的表述：

Ｐ。ｆ５＝’’ｉｏ＋％（２）

其中ｖｉｏ为牵连速度，其方向与向量Ｐｉ３所指方向平行；Ｖｉａ为相对速度，其方向与向量ｅｆ３ｘＬｉ３所指方向平行．则Ｐａｉ５与向量ｅｆ３、ｅｆ３×厶３所确定的平面的位置关系为：平行或重合．即，

ｌ，。ｉ５（ｅ１３ｘ（ｅ１３×Ｌｉ３））＝０

化简后，可得

Ｉ＿＇ａｉ５（ｅｉ３ｘＬｉ３）＝０（３）

根据机构的结构形式和被动关节的类型可知：

动平台的转动速度∞一定与向量凰垂直．即

ＯＪＨｉ＝０（４）

凰与第ｉ支链同上平台相连的虎克铰的十字轴所在平面的法线平行，即

皿＝ｅｉ４×ｅｉ５（ｉ＝１，２，３）（５）

将式（１）分别代人到式（３）、（４）中，经过化简并分别合并成矩阵的形式，其结果如下所示：

心ｒ＜ｐａｌ５ＸＬｉ３）Ｔ］３６小

ｃｃ，…量ｆ；，，×ｓ［！｝］。。。＝。

Ｌ∞Ｊ

６。１

将式（６）、（７）整理合并，

珏

（６）

（７）　万方数据

２００５年２月杨玉维，等：３一ＲＲＲＴ并联机器人奇异位形分析

·３９·

￡１３。三１３，Ｌ１３：（ｐａｌ５×Ｈ１）ＴＬ２３。Ｌ２３，Ｌ２３：（ｐａ２５Ｘ啦）Ｔ

￡３３ｚＬ３３，Ｌ３３：（ｐａ３５×Ｈ３）Ｔ

０００Ｈ１，Ｈ１ｙＨ１：０００Ｈ２。Ｈ２ｙＨ２：０

０

０

Ｈ３ｘＨ３。Ｈ３ｚ

ＭＩ＝ＩＬＩ·ＩＨｌ＝０ｊ

（９）

『￡１３ｚ￡１３ｙ￡１３：］ｆ－日ｌｘ日ｌｙ日１１

ｆ￡２３。

Ｌ２３ｙ

￡２３：ｌ·１月．２。如ｙ月－２：ｌ＝０

Ｌ￡３３。￡３３，￡３３：Ｊ

Ｌ日３。也，飓；Ｊ

『￡１３ｚ

￡１３ｙＬ１３：］

Ｉ￡Ｉ＝ｌ￡２３。

￡２３ｙ

￡２３：Ｉ＝０

（１０）

图３

３－眦Ｔ并联机器人几何模型

Ｌ￡３３ｘ￡３３ｖ￡３３：Ｊ

隐·３

Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅ３－ＲＲＲＴＩｍｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｆｉａｔｏｒ

或

３机构的奇异几何分析

『日ｌ。日１ｙ日１：］

Ｈ

Ｉ：ｌＨ２。Ｈ２，Ｈ２：ｌ：０

（１１）

由式（１０）、（１１）可得：

由３－ＲＲＲ。Ｔ禽茹集盛…艄一

㈨帽阱Ｈ闰Ｈ

由

并联机器人位置反解可知，当动平台

［￡］：ｌ￡２３｜

［］：ｌ

ｚ

处于某一位姿下，共有８组位置反解，

ＬＬ３３Ｊ３×３

ＬＨ２ｊ３ｘ３

｛（０１１ｉ，臼１２ｉ），（０２１ｊ，口砀），（０３１ｋ＂，０３ｚｋ））

当Ｌ１３，Ｌ２３，Ｌ３３线性相关时，即

８组位置反解对应着３－ＲＲＲＴ并联机器人当动平其中南１，｜ｊ｝２，七３为不全为０的实数，则矩阵［Ｌ］奇异．

台位姿确定时，可能出现的８种构型，考虑到机构的所以可得出：当连杆Ｌ１３，Ｌ２３，Ｌ３３满足下列关系对称性，此８种情况可以分为如下４类。Ｎｂ２：

中的一种时，该机构处于奇异状态下．

１）铰点口ｆ２在吼１口ｉ３的外侧，ｉ＝１，２，３．其构形如

１）任意两连杆平行（包括三连杆平行）．

图３（ａ）所不·

２）三连杆共面．

２）铰点ａｉ２７芷ａｉｌⅡｉ３的外侧，ｉ取｛１，２，３）中的１３）任意两连杆相交，第三个连杆与其他两连杆

个．构形如图３（ｂ）所示．

所确定的平面异面．

３）铰点ａｉ２Ｙ在ｚａｉｌａｉ３的外侧，ｉ取｛１，２，３）中的２４）三连杆相互异面且有公垂线．

个·构形如图３（ｃ）所示．

在实际工况下，考虑到杆件间干涉等诸多因素，

４）铰点口ｉ２在ａｌｌａｉ３的内侧，ｉ＝１，２，３·构形如图３上述４种情况不一定都具有实际意义．

（ｄ）所不·

同理可以得出矩阵［日］奇异时的相似情况，考本文通过刚体运动学相关的理论，以瞬时运动法

虑到篇幅问题，予以省略．

为依据，建立了３－删并联机器人的奇异位形的判

３．１

Ｊ触矩阵逆矩阵求取

别磐譬［Ｌ］、［日１：它们中的各个元素都是关于机构

实践中，机器人不但应该避免特殊（奇异）形位，几何参数和位姿参数的函数·即，

而且当机器人工作在奇异位形附近时，其Ｊａｃｏｂｉｎ矩ＩＬＩ＝＾（几，ｐｙ，儿，三１，Ｌ２，￡３）阵属于病态矩阵的范畴．此时Ｊａｅｏｂｉｎ矩阵逆矩阵的ＩＨＩ＝五（仇，ｐｙ，ｐｚ，Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）

精度降低，从而使并联机器人的输入与输出运动之间

殴

叶

Ｒ

ｙ

ｐ

ｖ

ｖ

∞

呲

∞

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