3_RRRT并联机器人奇异位形分析

万方数据
３８天津理工大学学报第２１卷第１期
图１３一ＲＲＲＴ并联机器人等效机构简图
№．１Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔｄｉａｇｒａｍ０ｆｆｉｌｅ３－ＲＲＲＴ
ｐＩｒａ：Ｕ曲ｌＩ谢珥ｎ砸ｏｒ
图２３一ＲＲＲＴ并联机器人几何模型
ｒｉｇ．２Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅ３－ＲＲＲＴ
ｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ
中Ｌｉ４＝０、ＪＪ工ｍＪＪ＝Ｒ、ＪＪ三ｆ５ＪＪ＝ｒ，下脚标ｊ相同的
构件的长度相同．ｏｉ沩各构件的连接的理想铰点，也
是相应的体坐标系＿ｌＪ的原点．固定平台的３个铰点。

ｌｌ、ａ２１、ａ３１位于同一平面上，且△０１１０２１０，３１为正三角
形；动平台的３个铰点口１５、口２５、Ｏ，３５位于同一平面上，
且△０１５口２５口３５为正三角形．其中，连杆１（厶１）通过转
动副与固定平台和连杆２（￡ｉ２）连接，连杆２（￡ｉ２）与连
杆３（Ｚｉ３）通过转动副连接，厶３与上平台通过虎克铰
连接．向量ｅｌｌ＝ｅ１２＝ｅ１３＝ｅ１４＝ｅ１５为通过回转副轴
线的单位矢量，它们有如下的关系：
ｅｌｌ２
ｅ１２
２
ｅ１５，ｅ１３
２
ｅ１４，ｅｌｌ。

ｅ１３
２０
本文采用齐次坐标矩阵的方法来描述３－ＲＲＲＴ并联机器人各刚性构件的位姿（位置和姿态）．如图１所示，０一ｚ】Ｙｌ彳，为绝对坐标系｛０｝，０是静平台的几何中心，ＯＺ。

垂直于上台，Ｐ为上平台的几何中心，ｐｚ，
垂直于上平台．
以支链Ｉ为例，在各构件的下关节建立相应的体坐标系．如图１所示，杆件￡】ｉ的体坐标系｛．『｝固定在．ｆ杆件下关节．ｆ之处，它的原点ｏｊ在关节．ｉ的轴线上（与铰点口（１’『）重合）；ｏｊｚｊ轴与关节．ｊ的轴线重合，方向由单位矢量Ｐ１指定；ｏｉｘｉ轴是杆件三ｌ『长度线的延长线，方向以延长方向为正向；ｏｊｙｉ轴方向由右手坐标系的原则来决定．
２机构瞬时速度分析
假设如图１所示位置下的３．ＲＲＲＴ并联机器人处于奇异位形状态，此时动平台在满足结构约束与驱动关节约束的条件下，仍存在一瞬时运动．令动平台转动速度为∞，依据刚体运动学的理论，动平台上的点口ｆ５的速度为：
Ｖａｉ５＝％＋∞ｘｐａｉ５（ｉ＝１，２，３）（１）
同时从第ｉ条支链考虑动平台口；，点的速度可有如下的表述：
Ｐ。

ｆ５＝’’ｉｏ＋％（２）
其中ｖｉｏ为牵连速度，其方向与向量Ｐｉ３所指方向平行；Ｖｉａ为相对速度，其方向与向量ｅｆ３ｘＬｉ３所指方向平行．则Ｐａｉ５与向量ｅｆ３、ｅｆ３×厶３所确定的平面的位置关系为：平行或重合．即，
ｌ，。

ｉ５（ｅ１３ｘ（ｅ１３×Ｌｉ３））＝０
化简后，可得
Ｉ＿＇ａｉ５（ｅｉ３ｘＬｉ３）＝０（３）
根据机构的结构形式和被动关节的类型可知：
动平台的转动速度∞一定与向量凰垂直．即
ＯＪＨｉ＝０（４）
凰与第ｉ支链同上平台相连的虎克铰的十字轴所在平面的法线平行，即
皿＝ｅｉ４×ｅｉ５（ｉ＝１，２，３）（５）
将式（１）分别代人到式（３）、（４）中，经过化简并分别合并成矩阵的形式，其结果如下所示：
心ｒ＜ｐａｌ５ＸＬｉ３）Ｔ］３６小
ｃｃ，…量ｆ；，，×ｓ［！｝］。

＝。

Ｌ∞Ｊ
６。

１
将式（６）、（７）整理合并，
珏
（６）
（７）　万方数据
２００５年２月杨玉维，等：３一ＲＲＲＴ并联机器人奇异位形分析
·３９·
￡１３。

三１３，Ｌ１３：（ｐａｌ５×Ｈ１）ＴＬ２３。

Ｌ２３，Ｌ２３：（ｐａ２５Ｘ啦）Ｔ
￡３３ｚＬ３３，Ｌ３３：（ｐａ３５×Ｈ３）Ｔ
０００Ｈ１，Ｈ１ｙＨ１：０００Ｈ２。

Ｈ２ｙＨ２：０
０
０
Ｈ３ｘＨ３。

Ｈ３ｚ
ＭＩ＝ＩＬＩ·ＩＨｌ＝０ｊ
（９）
『￡１３ｚ￡１３ｙ￡１３：］ｆ－日ｌｘ日ｌｙ日１１
ｆ￡２３。

Ｌ２３ｙ
￡２３：ｌ·１月．２。

如ｙ月－２：ｌ＝０
Ｌ￡３３。

￡３３，￡３３：Ｊ
Ｌ日３。

也，飓；Ｊ
『￡１３ｚ
￡１３ｙＬ１３：］
Ｉ￡Ｉ＝ｌ￡２３。

￡２３ｙ
￡２３：Ｉ＝０
（１０）
图３
３－眦Ｔ并联机器人几何模型
Ｌ￡３３ｘ￡３３ｖ￡３３：Ｊ
隐·３
Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅ３－ＲＲＲＴＩｍｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｆｉａｔｏｒ
或
３机构的奇异几何分析
『日ｌ。

日１ｙ日１：］
Ｈ
Ｉ：ｌＨ２。

Ｈ２，Ｈ２：ｌ：０
（１１）
由式（１０）、（１１）可得：
由３－ＲＲＲ。

Ｔ禽茹集盛…艄一
㈨帽阱Ｈ闰Ｈ
由
并联机器人位置反解可知，当动平台
［￡］：ｌ￡２３｜
［］：ｌ
ｚ
处于某一位姿下，共有８组位置反解，
ＬＬ３３Ｊ３×３
ＬＨ２ｊ３ｘ３
｛（０１１ｉ，臼１２ｉ），（０２１ｊ，口砀），（０３１ｋ＂，０３ｚｋ））
当Ｌ１３，Ｌ２３，Ｌ３３线性相关时，即
８组位置反解对应着３－ＲＲＲＴ并联机器人当动平其中南１，｜ｊ｝２，七３为不全为０的实数，则矩阵［Ｌ］奇异．
台位姿确定时，可能出现的８种构型，考虑到机构的所以可得出：当连杆Ｌ１３，Ｌ２３，Ｌ３３满足下列关系对称性，此８种情况可以分为如下４类。

Ｎｂ２：
中的一种时，该机构处于奇异状态下．
１）铰点口ｆ２在吼１口ｉ３的外侧，ｉ＝１，２，３．其构形如
１）任意两连杆平行（包括三连杆平行）．
图３（ａ）所不·
２）三连杆共面．
２）铰点ａｉ２７芷ａｉｌⅡｉ３的外侧，ｉ取｛１，２，３）中的１３）任意两连杆相交，第三个连杆与其他两连杆
个．构形如图３（ｂ）所示．
所确定的平面异面．
３）铰点ａｉ２Ｙ在ｚａｉｌａｉ３的外侧，ｉ取｛１，２，３）中的２４）三连杆相互异面且有公垂线．
个·构形如图３（ｃ）所示．
在实际工况下，考虑到杆件间干涉等诸多因素，
４）铰点口ｉ２在ａｌｌａｉ３的内侧，ｉ＝１，２，３·构形如图３上述４种情况不一定都具有实际意义．
（ｄ）所不·
同理可以得出矩阵［日］奇异时的相似情况，考本文通过刚体运动学相关的理论，以瞬时运动法
虑到篇幅问题，予以省略．
为依据，建立了３－删并联机器人的奇异位形的判
３．１
Ｊ触矩阵逆矩阵求取
别磐譬［Ｌ］、［日１：它们中的各个元素都是关于机构
实践中，机器人不但应该避免特殊（奇异）形位，几何参数和位姿参数的函数·即，
而且当机器人工作在奇异位形附近时，其Ｊａｃｏｂｉｎ矩ＩＬＩ＝＾（几，ｐｙ，儿，三１，Ｌ２，￡３）阵属于病态矩阵的范畴．此时Ｊａｅｏｂｉｎ矩阵逆矩阵的ＩＨＩ＝五（仇，ｐｙ，ｐｚ，Ｌ１，Ｌ２，Ｌ３）
精度降低，从而使并联机器人的输入与输出运动之间
殴
叶
Ｒ
ｙ
ｐ
ｖ
ｖ
∞
呲
∞
万方数据
·４０·天津理工大学学报第２１卷第１期
的传递关系失真，所以应该远离这些区域．本文采取一阶影响系数法［２ｊ２，建立３－ＲＲＲＴ并联机器人Ｊａｃｏｂｉｎ矩阵的逆矩阵．
由于３－ＲＲＲＴ并联机器人仅能实现三维平动，所以动平台在工作空间内没有转动速度．这样其Ｊａ—ｃｏｂｉｎ矩阵降阶为三阶矩阵．
假设动平台速度为ｌ，，由理论力学可知：
ｌ，＝ｈｌｘＬ１５Ｐｉ２×Ｌ２５Ｐｉ３×Ｌ３５］３×３［ＣＯｉｌ６０ｆ２叫ｉ３］Ｔ＝［Ｇ］（ｉ）∞ｉ（１３）其中ｉ＝１，２，３．表示各支链序号．
当［Ｇ］“’非奇异时，且动平台速度已知，则各支链的运动可以按式（１３）写出
ｔＯｆ－［Ｇ］。

１（‘’ｌ，（１４）
根据上式可以求出９个铰链的运动．
３．ＲＲＲＴ并联机器人的原动件为连杆１，则可根据式（１４）将３个主动件运动的方程取出
ｔＯｌｌ＝［Ｇ］ｔ１（１’ｌ，
ｔ０２１＝［Ｇ］ｔ１（２）ｌ，
ｔ０３１＝［Ｇ］∥３，ｙ
式中ｔＯ，，是输入角速度，第一脚标和第二角标分别表示输入角所在支链的序号和分支中运动副的序号，表达式［Ｇ］（１（２’表示第２支链逆矩阵的第一行．将上述的３个方程整理成矩阵的形式，则有式（１５）的形式：
ｒｔ０１１１ｒ［Ｇ］ｉ－１（１）］
ｔ０２ｌｌ：ｌ［Ｇ］ｔ“２’ｌ＿ｌ，整理后有
Ｌｔ０３１ＪＬ［Ｇ础３’－Ｊ３。

３
ｔＯ＝ｌ瓯ｊｌ，（１５）
矩阵［包］即为３．ＲＲＲＴ并联机器人某一姿态下的雅可比逆矩阵，其各个元素是关于机构几何参数和位姿参数的函数．
３．２算例仿真
３．ＲＲＲＴ并联机器人的结构参数如表１所示．
表１３－ＲＲＲＴ并联机器人几何参数
Ｔａｂ．１Ｇｅｏｍｅｔｒｉｃｐａｒａｍｅｔｅｒｏｆ３－ＲＲＲＴｐａｒａｌｌｅｌｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ堡笪！堡堑！垄堑！圭兰鱼！±鱼ＬｌＬ２如半径ｒ半径Ｒ
４００１００８００１００４００
选取图３（ａ）工况下，进行算例仿真．
１）当Ｐ。

＝０，Ｐ，＝０，Ｐ：＝４００时，有
卜ｏ·００４２０ｏ·００３５［皖］＝Ｉｏ．００２１一ｏ．００３６ｏ．００３５
Ｌ０．００２１０．００３６０．００３５Ｊ２）当Ｐ。

＝１００，ｎ＝１００，Ｐ：＝１０００时，有
『一ｏ·００１４ｏ·０００３ｏ·００２１］［皖］＝Ｉｏ．００１１一ｏ．００１１ｏ．００２０
Ｌ
ｏ．００１ｏｏ．００１５ｏ．００ｌ９Ｊ３）当一１０００＜。

ｐ。

≤１０００，一１０００。

＜Ｐ，≤１０００，有Ｐｚ＝５０２
图４雅可比逆矩阵行列式值
Ｆｉｇ．４Ｎｕｍｅｒｉｃｖａｌｕｅｏｆｔｈｅｍｅｔｒｉｘ
通过图４可知，变换比较平缓的曲面部分，对应的３－ＲＲＲＴ并联机器人的传动性能是比较优良的，在轨迹规划时，根据实际工作要求，尽量的选取该区域．４结论
本文对３－ＲＲＲＴ并联机器人进行了奇异位形分析，采用瞬时速度法给出奇异判别矩阵，并给出了奇异位形时，该机构的几何约束；采用一阶影响系数法，建立３．ＲＲＲＴ并联机器人的Ｊａｃｏｂｉｎ矩阵的逆矩阵，并给出了算例仿真．为３．ＲＲＲＴ并联机器人分析和设计提供了理论依据．限于篇幅很多细节未能详细论述．参考文献：
［１］王庭树．机器人运动学及动力学［Ｍ］．西安：西安电子科技大学出版社，１９９０．
［２］黄真，孔令富，方跃法．并联机器人机构学理论与控
制［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９９７．
　万方数据
3-RRRT并联机器人奇异位形分析
作者：杨玉维， 赵新华， 陈世明， 苗志怀， YANG Yu-wei， ZHAO Xin-hua， CHENG Shi-ming ， MIAO Zhi-huai
作者单位：天津理工大学,机械工程学院,天津,300191
刊名：
天津理工大学学报
英文刊名：JOURNAL OF TIANJIN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
年，卷(期)：2005,21(1)
1.王庭树机器人运动学及动力学 1990
2.黄真;孔令富;方跃法并联机器人机构学理论与控制 1997
本文链接：/Periodical_tjlgxyxb200501010.aspx。