西南交通大学考研结构力学单元刚度矩阵

k12 ⎤⎧δ 1 ⎫(e)
k
22
⎥ ⎦
⎩⎨δ
2
⎬ ⎭
11
EA
k 11 = l
δ1 =1
k 21 = EA
l
k 12
=
EA l
⎧F1 ⎫(e) ⎨⎬
=
⎡k11 ⎢
⎩F2⎭ ⎣k21
k12⎤⎧δ1 ⎫(e)
k22⎥⎦⎩⎨δ
2
⎬ ⎭
δ2 =1
k 22
=
EA l
F1 = EA δ 1 − EA δ 2
l
l
F 2 = − EA δ 1 + EA δ 2
l
l
y
⎨⎧⎨⎧FN11 ⎩⎩FN22
⎫⎫((ee)) ⎬ ⎭⎭
=
⎡ EA
⎢ ⎢ ⎢−
l EA
⎣l
− EA l
EA
l
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
(e)
⎩⎨⎧⎩⎨⎧uuδδ21 ⎭⎬⎫21(e⎭⎬⎫) (e)
12
x
对于斜杆单元，其轴力和轴向位移在结 构坐标系中，将有沿 x 轴和 y 轴的两个 分量。
⎡1 ⎢⎣− 1
− 1⎤ 1 ⎥⎦kN/m
30
其它单元的 刚度矩阵是 等于什么？
EA
⎡l 0 0 ⎢ 12EI 6EI
⎤ ⎥
i
4EI l
6EI l2
j
2EI l
6EI l2
⎢0
l3
l2
e
k
=
⎢0 ⎢− EA ⎢l
6EI l2
0
4EI l
0
⎢0
− 12EI− 6EI l3 l2
⎢ 6EI ⎢⎣ 0 l2
2EI l
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
(e)
k
19
杆端力和杆端位移的关系
20
k 36 ⎥
k
46
⎥ ⎥
⎢k 51 k 52 k 53 k 54 k 55 k 56 ⎥
⎢
⎥
⎣⎢k 61 k 62 k 63 k 64 k 65 k 66 ⎦⎥
⎪⎪δ
3
⎪ ⎪
⎨⎬
⎪δ 4 ⎪
⎪⎪δ
5
⎪ ⎪
⎩⎪δ 6 ⎪⎭
杆端力和杆端位移的关系
17
δ1 = ui = 1
EA
EA
l
l
δ1 =1 δ2 =1
8
当不考虑轴向变形时，一些刚架也仅有角位 移，其单元刚度矩阵求法与连续梁相同。
例：求图示结构各单元单刚矩阵。
θ3
θ2
θ4
θ1
不考虑轴向变形刚架单元
9
⎧F ⎨
⎫(e)
1
⎬
=
⎡k 11 ⎢
⎩F 2 ⎭ ⎣k 21
k 12 ⎤⎧δ1 ⎫(e) ⎥⎨ ⎬
k 22 ⎦⎩δ2 ⎭
1
2
i
j
δ1 e
δ2
1
2
F1
1 EI e
2. “单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性”这 句话对否？
单元分析举例
29
例题1
求局部座标系下的单元刚度矩阵。其中 l = 2m EA = 1.2×106kN
3
2
x
1
1
l
x1
l
4 2
l = 2m
1 单元 EA = 6 × 105 kN/m l
k
(1)
=
EA l
⎡1
⎢ ⎣
−1
−1⎤
1
⎥ ⎦
=
6
×
10 5
l l (e) k = ⎢ ⎥ k
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢−
0 EA
2EI 4EI ⎢ l
⎢
⎢ ⎥ ⎢
0
⎢
⎣ l l ⎦ ⎢⎣ 0
δ2
0
12EI l3 6EI l2
0
− 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
− 6EI l2
2EI l
δ4
− EA l 0
0 EA l 0
0
δ5
0
− 12EI l3
⎪⎪ ⎢
⎥⎪⎪
⎪F 2 ⎪
⎢k 21 k 22 k 23 k 24 k 25 k 26 ⎥ ⎪δ 2 ⎪
⎪⎪ ⎪F3 ⎪
⎨⎬
⎪F 4 ⎪
⎪ ⎪
F
5
⎪ ⎪
⎪⎩F 6 ⎪⎭
F = k δ ⎢ (e)
(e) (e) ⎥
=
⎢k 31 ⎢⎢k 41
k 32 k 42
k 33 k 43
k 34 k 44
k 35 k 45
− 6EI l2
0
12EI l3
− 6EI l2
0
⎤ ⎥
6EI
⎥ ⎥
l2 ⎥
2EI ⎥
l
⎥ ⎥
0⎥
⎥
−
6EI l2
⎥ ⎥
4EI ⎥
l ⎥⎦
思考：
22
i
y M, θ
jx
y
M, θ
i
x j
单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比 ：
A．完 全 相 同？ B．第 2、3、5、6 行 (列 ) 等 值 异 号 ？ C．第 2、5 行 (列 )等 值 异 号？ D．第 3、6 行 (列 ) 等 值 异 号？
F1 = 4EI δ 1 + 2EI δ 2
l
l
k 11
k 21
F 2 = 2EI δ 1 + 4EI δ 2
l
l
k 12
k 22
F k δ ⎪⎧ ⎨
M(
1e⎪⎬⎫)(
e
)
⎪⎩M 2 ⎪⎭
=
⎡ 4EI
⎢ ⎢ ⎢
l 2EI
⎢⎣ l
2EI
(e)l
4EI
l
⎤ ⎥
(
e)
⎪⎧θ(1e⎪⎫)(e
)
⎥⎨ ⎬
⎥ ⎥⎦
桁架单元的单元刚度矩阵
23
δ2
δ3
⎡1 ⎡ EA
⎢ ⎢
l
⎢ ⎢ 0
0 12EI
0 6EI
EA 0 (e)⎢
⎢ (e) k = k
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢−
0 EA
l3 6EI l2
0
l2 4EI
l
0
l ⎢1 ⎢ l
0 1δ 5
− EA 0
l
0 0 0 − 12EI l3
0
− 6EI l2
0 1 EA
0
l
δ 6 (e)
单元刚度矩阵
1
单元分析的目的
进行单元分析是有限元分析的第一 步，其目的是建立单元杆端力与杆端位 移之间的关系。
单元类型：
2
1.平面一般杆单元(刚架单元)
两端固定(一类单元)
1
2
i
j
要计轴向变形
目的：单元类型单一，程序编制容易。
单元类型：
3
2. 桁架单元：
两端铰接，仅有轴力，也称为 轴力单元。
1
2
i
j
⎡EA 0
⎤
δ2 = vi = 1
⎢l 12EI
⎥
⎢0
l3
⎥
i
6EI l2
12EI l3
j
6EI l2 12EI l3
6EI
⎢ e
0
l2
k = ⎢− EA 0 ⎢l
⎢⎢ 0
− 12EI l3
⎢⎣ 0 6EI l2
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
杆端力和杆端位移的关系
18
δ3 = 1
δ3 = θi = 1
2
δ4
⎧F1⎫(e) ⎧Ni ⎫(e)
⎪⎪ ⎪ ⎪
⎪F2⎪ ⎪Qi ⎪
(e)
F
=
⎧Fi ⎨
⎫(e) ⎬
=
⎪⎪F3 ⎨
⎪⎪ ⎬
=
⎪⎪Mi ⎨
⎪⎪ ⎬
⎩Fj⎭ ⎪F4⎪ ⎪Nj ⎪
⎪⎪F5
⎪ ⎪
⎪⎪Qj
⎪ ⎪
⎪⎩F6⎪⎭ ⎪⎩Mj⎪⎭
16
杆端力和杆端位移的关系—单元的刚度方程
⎧ F1 ⎫(e) ⎡ k11 k12 k13 k14 k15 k16 ⎤(e) ⎧δ 1 ⎫(e)
⎪⎪⎪⎩MQjFj ⎪⎪⎪⎭5(e)
(e
F6
⎢l
⎢= ⎢
Q 0
(e j
)⎢ ⎢
=
M
⎢⎣ 0
)(je=)−=−61lE21l62EI3l2El2IE3I Iδ−δ(22e6(2)ElelE+)2II−26EllEI200Ilδ
δ3(e)3(e−) −1+626ll1EEl3E222IIlIE3δI5(eδ−)465+(EellE)2I4I−El⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦6IlEδ⎪⎪⎪⎩2Iθv(6eδjj) ⎭⎪⎪⎪(6e)
平面一般单元在局部坐标系中 21 的单元刚度矩阵：
⎡ EA
⎢ ⎢
l
⎢0
⎢
(e)
k
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢−
0 EA
⎢l
⎢ ⎢
0
⎢
⎢⎣ 0
0
12EI l3 6EI l2
0
− 12EI l3
6EI l2
0
6EI l2 4EI l
0
− 6EI l2
2EI l
− EA l 0
0 EA l 0
0
0
− 12EI l3
1 2
⎫ ⎬ ⎭
=
⎧θ ⎩⎨θ
1 2
⎫ ⎬ ⎭
F2
F1 1 EI e 2
{ } 杆端
内力
F
e
=
⎧ ⎨
F
1
⎫ ⎬
=
⎧ ⎨
M
1
⎫ ⎬
⎩F 2 ⎭ ⎩M 2 ⎭
杆端力与杆端位移的关系由位移法得到 6
⎧F 1 ⎫(e) ⎨⎬
=
⎡k 11 ⎢
⎩F 2 ⎭ ⎣k 21
k 12 ⎤⎧δ1 ⎫(e) ⎥⎨ ⎬
k 22 ⎦⎩δ2 ⎭
(e)
(e)
⎧δ1 ⎫ ⎧ui ⎫ ⎪⎪ ⎪⎪
F2
F6
δ6
F4
( e ) ⎪δ2 ⎪
(
δ
e
)
=
⎧⎪δi ⎨
⎫⎪ ⎬
⎪⎪
=
⎪δ3 ⎨
⎪ ⎬
⎪⎩δj ⎪⎭ ⎪δ4 ⎪
⎪⎪δ5
⎪ ⎪
⎪⎩δ6 ⎪⎭
⎪vi ⎪
⎪⎪
=
⎪θi ⎨
⎪ ⎬
⎪uj ⎪
⎪⎪v
j
⎪ ⎪
⎪⎩θj ⎪⎭
F1
δ3
δ 2 1 F3
δ1
e
F5 δ5
F2
2
①
②
③
(2) 桁架单元的单元刚度矩阵 10
y
1 EA e
2x
u1
u2
F1 1 EA e
2 F2
{ } 杆端
位移
δ
e
=
⎧δ ⎩⎨δ
1 2
⎫ ⎬ ⎭
=
⎩⎨⎧uu12
⎫ ⎬ ⎭
{ } 杆端
内力
F
e
=
⎧ ⎨
F1
⎫ ⎬
=
⎧ ⎨
N1
⎫ ⎬
⎩F2 ⎭ ⎩N2 ⎭
⎧F1 ⎫(e) ⎨⎬
=
⎡ k 11 ⎢
⎩F 2 ⎭ ⎣k 21
⎪⎩θ 2 ⎪⎭
(e)
F
=
(e) (e)
kδ
图示连续梁，EI=常数。写出各单元 7
单元刚度矩阵。
Δ1
Δ2
Δ3
δ1
e δ2
1
2
F2
F1 1 EI e 2
（1）
（2）
（3）
⎧F ⎨
1
⎫(e) ⎬
=
⎡k 11 ⎢
⎩F 2 ⎭ ⎣k 21
k 12 ⎤⎧δ1 ⎫(e) ⎥⎨ ⎬
k 22 ⎦⎩δ2 ⎭
①
②
不考虑轴向变形刚架单元
3. 连续梁单元：
两端支承在铰上，仅有转角位移。
1
2
i
j
各类单元的单元刚度矩阵
4
(1) 等截面连续梁单元的单元刚度矩阵
θ1
θ2
1
2
θ3
θ4
3
4
1
θ1
θ2
2
θ3
3
θ4
4
注意 梁是不考虑轴向变形的。
等截面连续梁单元
5
θ1
θ2
1
2
θ3
θ4
3
4
δ1
e δ2
1
θ1 (e)
2
θ2
{ } 杆端
位移
δ
e
=
⎧δ ⎩⎨δ
⎪⎩⎪⎩YFj4⎪⎭⎪⎭
)
⎡ EA ==⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣(⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−ekkkk)00El14231111lA
k012 k022 k032 k042
(
−kE13lA ek) 023 (
EA k 33
l k043
ekkkk)000014234444⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤(e⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧) δδδδ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧uvuv1432 ii⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫jj ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫(e()e)
⎧ ⎪ ⎪ ⎪
(e) (e) (e) ⎪
⎨
F = k δ ⎪
Ni Qi Mi Nj
(e⎡) F1⎢
(e⎢) ⎫F 2⎢ ⎪⎢
=EAN l
(e) i
=0Qi(e)
⎪F ⎪
(e⎢) 3⎢
=M 0
(e i
⎬⎪⎪F=(4e⎢⎢⎢) −=ENA
( j
பைடு நூலகம்
e
)
)==1=6=21llE00E−E232lIl6AIE3lEE2lδIAIδ1(δeδ)64(2e1(2l(−EE00)lee2))+IIE++l6Al4EE2δ−lEIlAE(4E00IeδAlδ)Aδ3(e(4)e3()e−−)−1−162002lllE6EE323lIEII2 Iδδ5(e625()elEE00l+)2II+6l⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥E22(eI)El⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪δIuθuv(6δiiiej)⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪(6e(e))
− 6EI l2
0
12EI l3
− 6EI l2
e
0
⎤ ⎥
6EI
⎥ ⎥
l2 ⎥
2EI ⎥
l
⎥ ⎥
0⎥
⎥
−
6EI l2
⎥ ⎥
4EI ⎥
l ⎥⎦
单元刚度系数的意义
25
(e)
k 25
i
δ5 = v j = 1
j
(e)
k 25
=
−
12EI l3
(e)
k ij
表示
k (e) 中第 i 行、第j列的元素；
即：第j号杆端位移分量 δ j = 1 时引起的第i号
杆端位移方向上的杆端力 Fi 。
单元刚度矩阵的性质
26
单刚具有对称性：由功的互等定理可知
kij = k ji
(k e )T = k e
单刚一般具有奇异性：受力角度存在刚体位移； 数学角度向量相关。