3简谐运动的合成
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物理学
第五版
复习
一、旋转矢量法
1、 确定初相位
2、比较两个同频率谐振
动的振动步调
3、研究质点的运动
二、简谐振动的能量
t+
A
t= 0
ox
X
第九章 振 动
1
例 物理学
第五版
题
已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态如 下：1）位于负最大位移处；2）经过平衡位置 向位移的负方向运动； 3）经过平衡位置向位 移的正方向运动；4）经过1/2最大位移处且向 位移的正方向运动。试用旋转矢量法确定各种 情况下得初相。
2、利用“拍”的方法测 量未知的频率。
【拍】Beat（英）钢琴调音时所 利用的一种声音现象。十二平 均律中的纯五度、纯四度、大 小三度以及大、小六度等音程 同时发响时，在听觉上会感到 音量有周期性的强弱，这一强 一弱称为一次拍。
第九章 振 动
18
** 物理学
第五版
振动方向相互垂直的不同频率谐振动的合成
x Acos(t )
A
A3
3
A2 2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为 简谐运动
第九章 振 动
9
物理学
第五版
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3 A0cos(t 2)
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2,)
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
i A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
第九章 振 动
10
物理学 二 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合
第五版
成
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
第九章 振 动
8
物理学 *三 多个同方向同频率简谐运动的合成
第五版
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
2 1
A1
x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
第九章 振 动
4
物理学
第五版
合振动 :
x A cos(t )
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos(2
1
)
x x1 x2
A
x tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
物理学
A A2 A2 2A A cos( )
第五版
1
2
12
2
1
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
反相
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
第九章 振 动
7
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
o
x
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
当一个质点同时参与多个简谐振动时，质点如何运动？
迭加原理： 合振动的位移等于各个分 振动位移的矢量和。
第九章 振 动
3
物理学 一 两个同方向同频率简谐运动的合成
第五版
设一质点同时参与两独立
的同方向、同频率的简谐
振动：
A2
分振动 : x1 A1 cos(t 1) O x2 A2 cos(t 2 )
分振动：
当两分振动的频率之比为整数
比时，质点运动的轨迹是封闭的曲 线，称为李萨如图。
第九章 振 动
19
物理学
第五版
2:1 3:1
3:2
第九章 振 动
20
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
13
物理学
第五版
用旋转矢量描绘振动合成图
第九章 振 动
14
物理学
第五版
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
第九章 振 动
15
物理学
第五版
四、 同方向两个不同频率谐振动的合成
分振动：
合振动：
不同频率谐振动的合振动不再是简谐振动！
当 2≈ 1时：
式中
随ｔ缓变
随ｔ快变
合振动可看作第振九幅章 缓振变动的简谐振动
16
物理学
第五版
第九章 振 动
17
物理学
频率较大而频率之差很小的两个同方
第五版
向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而
加强时而减弱的现象叫拍.
拍频--单位时间内加强(或减弱)的次数 拍 2 1
“拍”现象与原理有很多实际应用
1、钢琴等乐器的调音；
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
12
物理学
第五版
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
(2
1 )
（3）2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
两个同方向同频率简谐运动合成 后仍为同频率的简谐运动
何时合振幅取极大，何时合振幅取极小？
第九章 振 动
5
物理学
A A2 A2 2A A cos( )
第五版
1
2
12
2
1
（1）相位差
2
1
2k π
(k
0，1， 2,)
x
x
同相
o
o
A1
A2
A
A A A
1
2
两分振动相互加强
T
t
第九章 振 动
6
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
sin2 (2
1 )
质点的运动轨迹是一个椭圆。椭圆的形 状取决于两分振动的振幅和初相差。
第九章 振 动
11
物理学
第五版
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
1 )
第五版
复习
一、旋转矢量法
1、 确定初相位
2、比较两个同频率谐振
动的振动步调
3、研究质点的运动
二、简谐振动的能量
t+
A
t= 0
ox
X
第九章 振 动
1
例 物理学
第五版
题
已知一质点做简谐振动。t = 0 时的运动状态如 下：1）位于负最大位移处；2）经过平衡位置 向位移的负方向运动； 3）经过平衡位置向位 移的正方向运动；4）经过1/2最大位移处且向 位移的正方向运动。试用旋转矢量法确定各种 情况下得初相。
2、利用“拍”的方法测 量未知的频率。
【拍】Beat（英）钢琴调音时所 利用的一种声音现象。十二平 均律中的纯五度、纯四度、大 小三度以及大、小六度等音程 同时发响时，在听觉上会感到 音量有周期性的强弱，这一强 一弱称为一次拍。
第九章 振 动
18
** 物理学
第五版
振动方向相互垂直的不同频率谐振动的合成
x Acos(t )
A
A3
3
A2 2
o 1 A1
x
多个同方向同频率简谐运动合成仍为 简谐运动
第九章 振 动
9
物理学
第五版
x A cost
1
0
x A cos(t )
2
0
x3 A0cos(t 2)
o
A1
A2
A3
A4
A5
A
x
A Ai NA0
x A cos[t (N 1)]
N
0
(1) 2kπ
讨 (k 0,1,2,)
论 (2) N 2k ' π
(k ' kN, k ' 1,2,)
i A4 A5
O A6
A0
A3
A2
A1
x
第九章 振 动
10
物理学 二 两个相互垂直的同频率的简谐运动的合
第五版
成
x A1 cos(t 1)
y A2 cos(t 2 )
(k 0，1，) 加强
（2）相位差
2
1
(2k 1) π
(k 0，1，)
A A A
1
2
减弱
（3）一般情况
A1 A2 A A1 A2
第九章 振 动
8
物理学 *三 多个同方向同频率简谐运动的合成
第五版
x1
A1
cos(t
1
)
x2 A2 cos(t 2 )
xn
An
cos(t
n
)
x x1 x2 xn
2 1
A1
x2 x1 x
两振动的位相差 2 1 =常数
第九章 振 动
4
物理学
第五版
合振动 :
x A cos(t )
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos(2
1
)
x x1 x2
A
x tan
A sin A sin
1
1
2
2
A cos A cos
1
1
2
2
A2
2
1
A1
O x2 x1 x
物理学
A A2 A2 2A A cos( )
第五版
1
2
12
2
1
（2）相位差 (2k 1) π(k 0，1, )
2
1
x
x
反相
A1
2 o
o
Tt
A
A2
A A1 A2
两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
第九章 振 动
7
物理学
第五版
小结
（1）相位差
2
1
2k
π
A A1 A2
o
x
第九章 振 动
2
物理学
第五版
9-5 简谐运动的合成
当一个质点同时参与多个简谐振动时，质点如何运动？
迭加原理： 合振动的位移等于各个分 振动位移的矢量和。
第九章 振 动
3
物理学 一 两个同方向同频率简谐运动的合成
第五版
设一质点同时参与两独立
的同方向、同频率的简谐
振动：
A2
分振动 : x1 A1 cos(t 1) O x2 A2 cos(t 2 )
分振动：
当两分振动的频率之比为整数
比时，质点运动的轨迹是封闭的曲 线，称为李萨如图。
第九章 振 动
19
物理学
第五版
2:1 3:1
3:2
第九章 振 动
20
π
)
2
2
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
13
物理学
第五版
用旋转矢量描绘振动合成图
第九章 振 动
14
物理学
第五版
两相 互垂直同 频率不同 相位差简 谐运动的 合成图
第九章 振 动
15
物理学
第五版
四、 同方向两个不同频率谐振动的合成
分振动：
合振动：
不同频率谐振动的合振动不再是简谐振动！
当 2≈ 1时：
式中
随ｔ缓变
随ｔ快变
合振动可看作第振九幅章 缓振变动的简谐振动
16
物理学
第五版
第九章 振 动
17
物理学
频率较大而频率之差很小的两个同方
第五版
向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而
加强时而减弱的现象叫拍.
拍频--单位时间内加强(或减弱)的次数 拍 2 1
“拍”现象与原理有很多实际应用
1、钢琴等乐器的调音；
（1）2 1 0或 2π
y A2 x A1
（2）2
1
π
A y 2 x
A 1
A2 A1
ox
y
A2
o A1 x
第九章 振 动
12
物理学
第五版
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
(2
1 )
（3）2
1
π
2
x2 A12
y2 A22
1
x
y
A1
A
cost
cos(t
两个同方向同频率简谐运动合成 后仍为同频率的简谐运动
何时合振幅取极大，何时合振幅取极小？
第九章 振 动
5
物理学
A A2 A2 2A A cos( )
第五版
1
2
12
2
1
（1）相位差
2
1
2k π
(k
0，1， 2,)
x
x
同相
o
o
A1
A2
A
A A A
1
2
两分振动相互加强
T
t
第九章 振 动
6
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
ຫໍສະໝຸດ Baidu
sin2 (2
1 )
质点的运动轨迹是一个椭圆。椭圆的形 状取决于两分振动的振幅和初相差。
第九章 振 动
11
物理学
第五版
讨 论
x2 A12
y2 A22
2xy A1 A2
cos(2
1 )
sin 2
y
(2
1 )