关于利用可导性求解分段函数之未知数的问题探讨
分段函数分段点可导性的一个定理及应用_姜海勤
分段函数分段点可导性的一个定理及应用姜海勤,曹瑞成(扬州职业大学,江苏扬州 225009)摘 要:给出分段函数分段点导数存在的一个充要条件:函数在该点连续,导函数在该点左、右极限存在且相等。
并由此得到在分段点导数不存在的一个充分条件以及三种特例分段函数分段点导数存在的充分条件。
举例说明该定理的应用,并指出利用该定理求分段函数分段点导数时的几点注意:函数在该点连续是可导的必要条件,导函数在该点左、右极限存在且相等是充分条件。
关键词:分段函数;可导性;单侧极限中图分类号:O 174文献标识码:A文章编号:1008-3693(2008)02-0042-03A Theore m ofDerivable P iece w ise Functi onSeparation and Its ApplicationJI A NG H a i qin ,CAO Ru i cheng(Y angzhou Po l y technic Co llege ,Y angzhou 225009,Ch i na)Abst ract :In th i s artic le ,a suffic ient and necessary cond ition underw hich the derivative o f piece w ise functionseparati o n ex ists is g i v en:the functi o n at this po i n t is conti n uous ,and the derivative ex ists at the l e ft and righ t li m its and is equa.l As a resu l,t a sufficient condition of non-ex istence o f p i e ce w ise po i n t and the one of ex istence of piece w ise deri v ati v e of three spec ial cases piece w ise function are obtai n ed here .And the app li c ation of this theore m is ill u strated through exa m p les .M eanw hile ,its 'po inted out that attention shou l d be paid to the solution to the separati o n derivative o f piece w ise f u nction w ith this theore m.K ey w ords :piece w ise f u ncti o n;derivability ;unilatera l li m its分段函数在经济、管理及电子技术[1]等方面有较大的应用。
分段函数在分段点可导性的判别法
例２ 设， （ ） ＝｛ Ｉ
时出错 ， 尤 其是在分段函数在分界 点处不可 导 ， 但 在 分 界 点
处左导数 、 右 导 数存 在 性 的 讨 论 问题 中 更 容 易 出 错 ． 通 过 多 年的教学 ， 总结 以 下 的 简 单 判 别 法 ， 这 种 方 法 可 以 简 化 计 算 过程 ， 学 生 比较 容 易 接 受 ．
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解 题 技 巧 与方 法
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分艨 苏 恭 分艨 萎 导幞 判 ｌ 别 浚
◎ 汪 爱 红 （ 甘 肃 民族 师 范 学 院数 学 系， 甘肃合作 ７ ４ ７ ０ ０ ０ ）
ｂ ．１ ｉ ｍ ｈ （ ） ≠ ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） ， 则， （ ） 在 。 不 可导 （ ２ ） 当 ｌ ｉ ａ ｒ ｈ （ ） ，ｌ ｉ ｍ ｇ （ ） 中至少 有一个 不存在 ， 用 导 数定 义 来 判 断 ．
二、 应 用 举 例
别 函数 在 分 界 点 处 的连 续 性 ， 否 则 容 易 出错 ．
【 参 考文献】
（ １ ） 赵 华 文． 可导性 判定 的新定理． 济源 职业技 术学 院
学， ２ ０ １ ４ ， １ ３ （ ３ ） ．
设 厂（ ）： ， 则 ， （ ） 在 点 ：１
ｒ １＋ ‘ ＜１ ≥１
、
判 别 方 法
１ ． 若， （ ） 在 。不 连 续 ， 则ｆ （ ） 在 ‰ 不 可导． （ 连 续 是
例 ３ 设， （ ） ＝ ｛ １
解 显 然 函数
３ ｘ一１
， 求厂（ １ ） ．
分段函数在分段点处几个问题讨论
分段函数在分段点处几个问题讨论作者：邹小云来源：《时代经贸》2011年第22期【摘要】分段函数是函数问题中的难点，本文对分段函数在分段点处的连续性、可导性、不定积分及定积分等问题作了一些方法的探讨。
【关键词】分段函数；导数；不定积分；定积分分段函数在经济应用数学中是一种常见的函数，往往有很多实际问题可以用分段函数来表达，而在问题的分析过程中常常用到分段函数在分段点的连续性与可导性，这些正是学生感到头疼的问题，本文对分段函数在分段点的一些问题做了些讨论，给出一些新的方法并加以论证。
一、分段函数在分段点的连续性根据函数在一点连续的定义，即函数在点的领域内有定义，如果，则称在点连续。
因此对于分段函数判断在分段点的连续性必须三步完成：①判断分段点处是否有定义：②判断在分段点处的极限是否存在：③判断极限是否等于该点函数值。
例1：讨论分段函数：在处的连续性。
解：，而：因此，所以函数在处的连续性。
例2：设函数：试研究在处的连续性。
解：所以在处不连续。
而当时分段函数在某一区间内一点时，则在处的连续性问题成为初等函数的连续性问题，即由初等函数在其定义区间内都是连续的知在处连续。
二、分段函数在分段点的可导性任何一本高等数学教材在给出了定义之后，都给出了可导的必要条件，即“可导必连续，但连续不一定可导。
”这一条件的另一说法是：在一点不连续一定在该点不可导。
因此，对于分段函数，讨论它在分段点处的可导性一般分为两步：1.若在点不连续，则它在点一定不可导；例如：讨论是否存在。
因为；而，，所以函数在在不连续。
故可知不存在。
2.若在点连续，且在点的左、右导数都存在且相等，则在点可导。
对于这种情形左、右导数用定义一般可计算。
设，求。
解：由于=1，所以=1。
其实对于第二步中，若函数满足一定的条件，可不必用定义去计算，对此介绍如下事实。
定理：设函数在连续，且在区间可导，若存在，则存在，且。
证明：任取一点，由于在连续，在区间内可导，所以在上连续，在内可导，由微分中值定理，存在，使得：从而有：由题设知存在，所以右导数存在，且。
分段函数求导的若干问题
分段函数求导的假设干问题摘要】求分段函数的导函数或分段点处的导数是高等数学学习中的难点，大多数学生在解这类问题时会遇到困难或理解不透.本文从导数极限定理及其证明出发，给出导函数连续的判定定理，结合实例说明分段函数求导的关键要点.【关键词】分段函数;单侧导数;导数极限定理【基金工程】绍兴市课堂教学改革工程〔SXSKG2021091〕.在分段函数求导问题中，大多数学生能够理解为什么在分段点处要用导数定义，但因为有时遇到的分段函数直接求导跟用导数定义所得结果并无差异，这就导致很多学生不明白个中原因.例如，求分段函数F〔x〕=f〔x〕，a的导数，在f〔x〕，g〔x〕可导下，直接求导得F′〔x〕=f′〔x〕，a这种结果在分段点处的导数时对时错.常规的做法是在函数连续的情况下用导数定义进行判断，不过在一定条件下也可用导数极限方法，这在一些文献中也有提及[1-4].但对高职或高中学生而言，定理表述上还应精炼，证明要简洁易懂，而且例题要更有代表性，所以还有必要对这一问题进行探讨，并且文中还给出另一重要推论，这些结论对理解分段函数的导数意义明显.一、导数极限定理及其推论分段函数在除分段点外均可导的情况下，求其导数显然只要讨论分段点处的可导性，通常用导数定义进行判断，这涉及分段函数在分段点处的连续性和左右导数.下面从导数极限定理出发，介绍一些常用的结论，便于理解什么情况下不必用导数定义，什么情况下要用导数定义.引理如果函数f〔x〕在〔a，x0]〔或[x0，b〕〕上连续，在〔a，x0〕〔或〔x0，b〕〕内可导，且limx→x-0f′〔x〕=A〔或limx→x+0f′〔x〕=B〕，那么f〔x〕在点x0处左导数〔右导数〕存在，且f′-〔x0〕=A〔或f′+〔x0〕=B〕.下面证明f〔x〕在点x=x0处左侧导数的情形.证明由于函数f〔x〕在〔a，x0]上连续，在〔a，x0〕内可导，显然函数f〔x〕在[x，x0]〔a，x0]上连续，在〔x，x0〕〔a，x0〕内可导，运用拉格朗日中值定理可得f′-〔x0〕=limx→x-0f〔x〕-f〔x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕〔x-x0〕x-x0=limx→x-0f′〔ξ〕=limξ→x-0f′〔ξ〕=A，这里，由于ξ∈〔x，x0〕，所以有x→x-0ξ→x-0，即证得f〔x〕在点x0处左导数存在，且f′-〔x0〕=limx→x-0f′〔x〕=A.类似地，可以证明f〔x〕在点x=x0处右侧导数的情形.定理设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在，那么f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，且f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.证明由函数在点x0处导数存在的充要条件是f′-〔x0〕与f′+〔x0〕存在，且f′-〔x0〕=f′+〔x0〕，根据引理有f′-〔x0〕=f′〔x0-0〕，f′+〔x0〕=f′〔x0+0〕，故在定理的条件下f′〔x0〕存在的充要条件是f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕相等.推论设函数f〔x〕在点x0的δ邻域内连续，在点x0的δ去心邻域内可导，假设f′〔x0-0〕和f′〔x0+0〕均存在且相等，那么f〔x〕的导函数在點x0处连续.证明因为f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，所以limx→x0f′〔x〕存在，且limx→x0f′〔x〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕.由定理可知f′〔x0〕存在且f′〔x0〕=f′〔x0-0〕=f′〔x0+0〕，即limx→x0f′〔x〕=f′〔x0〕.根据推论，可以断定不存在满足推论条件的函数，其导数具有第一类间断点.二、典型例题例1求函数f〔x〕=x2+ex，x≤0，x+cosx，x>0的导函数.分析因f〔x〕在点x=0处连续，且当x≠0时，f′〔x〕=2x+ex，x0.又limx→0-f′〔x〕=limx→0-〔2x+ex〕=1，limx→0+f′〔x〕=limx→0+〔1-sinx〕=1，即f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1.根据定理，f〔x〕在点x=0处可导，且f′〔0〕=f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，解得f′〔x〕=2x+ex，x≤0，1-sinx，x>0.例2函数f〔x〕=ex，x≤0，ax2+bx+c，x>0在点x=0处的f″〔0〕存在，试确定a，b，c的值.分析因为函数在x=0处的二阶导数存在，所以f〔x〕和f′〔x〕在x=0处都要连续，因此，f〔0-0〕=f〔0+0〕=1，f′〔0-0〕=f′〔0+0〕=1，得c=1，b=1.又当x≠0时，f″〔x〕=ex，x0，由此得f″〔0-0〕=1，f″〔0+0〕=2a.根据定理，f″〔0〕存在的充要条件是f″〔0-0〕=f″〔0+0〕=2a=1，即a=12，综上，a=12，b=1，c=1.例3求函数f〔x〕=ln〔1-x2〕，x≤0，x2sin1x，x>0在点x=0处的导数.分析当x≠0时，由函数得f′〔x〕=-2x1-x2，x0，所以limx→0-f′〔x〕=0，limx→0+f′〔x〕不存在，但是f′-〔0〕=limx→0-ln〔1-x2〕x=0，f′+〔0〕=limx→0+x2sin1xx=0，所以f′〔0〕=0.例4討论函数f〔x〕=arctan1x，x≠0，0，x=0在x=0处的可导性【4】.分析当x≠0时，f′〔x〕=-11+x2，所以limx→0f′〔x〕=-1，但是limx→0f〔x〕=limx→0arctan1x不存在，即f〔x〕在x=0处不连续，显然f〔x〕在x=0处不可导.例1和例2说明，如果函数满足定理的条件，求分段点处的导数可不必用导数定义，尤其如例2，其解题方法比用导数定义要简练;而例3和例4说明，定理的运用应注意其适用的条件，即函数在分段点连续以及导函数在该点的左右极限存在且相等.三、结论特别对高职学生而言，分段函数的求导问题一直是个难点，原因在于分不清什么情况下可以直接求导，什么情况下又不可以直接求导.文中给出导数极限定理及其推论和证明，在理论上说明这一问题，对学生理解分段函数求导问题会有帮助.当然，导数定义方法和导数极限方法在不同的题型中各有千秋，譬如，当导函数极限并不简单时，导数极限方法反而更烦琐，而且导数极限方法也有其适用条件.【参考文献】【1】华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2021.方法的研究[J].数学学习与研究，2021〔15〕：107-108.方法[J].高等数学研究，2021〔3〕：20-22，43.【4】王禧宏.关于分段函数在分界点处导数问题的讨论[J].高等数学研究，1999〔3〕：13.。
分段函数分段点处可导性的讨论
分段函数分段点处可导性的讨论作者：时文俊来源：《科技创新导报》2013年第15期摘要：分段函数是高等数学中一种重要的函数，该文讨论了分段函数分段点处的可导性，并给出了求分段函数分段点处导数的几种方法。
关键词：分段函数分段点可导中图分类号：O172. 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）05（C）-0168-02函数是高等数学的研究对象，分段函数也不例外。
分段函数一般而言不是初等函数，但在教学过程中经常涉及到。
而导数是研究函数性态的重要工具，因此分段函数分段点处的连续性与可导性问题是高等数学教学中一重点，同时也是难点，讨论分段函数分段点处的连续性与可导性的题目也是各级各类考试中的常见题型。
1 分段函数分段点处的可导性根据函数在一点处的导数的定义——函数增量与自变量增量的比值当自变量增量趋于零时的极限，知一点处的导数指的是函数在该点处的变化率问题，不是孤立的，与附近的函数关系有关。
分段函数是在自变量的不同取值范围内函数的表达式不同，因此在分段函数分段点的两侧函数表达式不同，这时要考虑分段点处的导数是就需求导数定义式的左、右极限，即左、右导数。
由于左、右导数存在且相等是导数存在的充分必要条件，因此若左、右导数存在且相等则函数在分段点处可导，若左、右导数至少一个不存在，则函数在分段点处不可导。
下面我们结合一些例子来讨论分段函数分段点处的导数的计算方法。
2 分段函数分段点处的导数计算2.1 用定义求分段函数分段点处的导数例1[1]设函数，求错解1：当时，，故错解2：当时，，故分析：出现上述两种错解的原因是学生没有理解导数概念的本质含义。
导数是运动的、变化的、相互联系的量，不是孤立的，不只与一点处的函数值有关，因此解法一错。
函数在一点处的导数，反映了函数相对于自变量的变化率，这个变化率是由函数与自变量的依赖关系（对应法则）决定的。
对于初等函数，这种依赖关系是一个数学式子给出的，所以求导数可按照初等函数的求导公式和求导法则来求，而分段函数的分段点处附近表示函数与自变量依赖关系得数学式子不是一个，不能应用导数公式、法则来求分段点处的导数，应考虑该点左右两侧的情况，因此要用导数的定义及左、右导数来确定分段函数在分段点处的导数是否存在。
关于分段函数求导数的教学思考
关于分段函数求导数的教学思考黄金城【摘要】通过分析分段函数求导数中常见的错误及其原因,探讨了如何进行分段函数求导数的教学,并提出了几点建议.【期刊名称】《海南师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(027)001【总页数】3页(P102-104)【关键词】分段函数;单侧导数;可导性【作者】黄金城【作者单位】河海大学数理教学部,江苏常州213022【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数在高等数学所研究的函数中是一类比较特殊的函数.分段函数在分段点的极限存在性，连续性以及可导性[1]，是高等数学教学的一个重要内容，也是学生学习的一个难点.对于分段函数求其导数时，一般地首先讨论在每一分段开区间内部的可导性，由于分段函数在其分段区间上是初等函数，因此分段函数在每一分段区间上的导数可以直接用求导公式及求导法则计算；然后用定义判断分段点处左右导数是否存在且相等；最后归纳出函数在定义域上的导函数表达式.很多学生对于分段函数在分段点的导数的求法及其原理感到很困惑，经常出现一些错误的做法，根本原因是对于导数的定义没有理解.如何让学生正确理解并掌握分段函数求导数的方法，已有很多建议[2-4].本人通过多年的课堂教学，总结了学生在求分段函数的导数时经常易犯的错误及其原因，并给出了解决问题的几点思考.1 关于函数在一点处的导数公式的讨论函数在一点x0处的导数的定义公式是用增量比的极限给出的，有两种不同的形式，分别为于分段函数，由于其在分段点x0左右两侧的表达式往往不同，需要求上述两个公式的左右极限，也就是分段函数在分段点处的左导数(x0)和右导数(x)，来判断分段函数在分段点x处的可导性.00当左右极限都存在且相等，即左导数(x0)和右导数(x0)都存在且相等时，增量比的极限才存在，也就是分段函数在分段点x0的导数f′(x0)存在.反过来，当分段函数在分段点处的左导数(x0)或右导数(x0)至少有一个不存在或都存在但是不相等时，分段函数在分段点不可导.对于公当x0=0时，两个公式用起来都非常方便，当x0≠0时，若使用公式，需要计算函数值（fx0+Δx），较麻烦.因此在求导数时，最常使用的是公式在求基本初等函数的导函数时，主要利用公式，只要将函数在一点x0处的导数的定义公式中的点x换成任意的点x0即可.2 求分段函数在分段点导数时常见的错误及原因错误一：将两个不同形式的公式中的极限过程混淆例1求函数在x=1处的左右导数.错误解法：利用公式求，将极限过程x→1错误的改为x→0.比如或者利用公式求时，将极限过程Δx→0错误的改为Δx→1.在记忆这两个公式时，学生经常将极限过程混淆，将公式的极限过程Δx→0记为的极限过程x→x0记为x→0.一定要向学生重点强调这两个公式在表达形式上的差别.正确解法：错误二：将左右导数公式中的函数值（fx0）分别代入不同的值例2求函数在x=0处的左右导数.错误解法：在求左导数时，利用当x＜0时，（fx）=x2+1计算（f0），求右导数时，利用当x≥0时，（fx）=x2-1计算（f0）.事实上，公式中的（f0）是函数（fx）在x=0处的函数值，是唯一确定的实数楚什么是相同的，什么是不同的，两个极限中（fx）是不同的，但（f0）是相同的.正确解法：错误三：认为分段函数在分段点的导数是分段函数的导数的极限，即例3讨论函数x=0处的可导性.错误解法：当x≠0时因为不存在，所以f（x）在x=0处的不可导.事实上，不能由不存在，就说φ(x)在x=x0处无意义.正确解法：利用函数在一点处的导数的定义可以判断f（'x）在x=0处是可导的.因为所以f（x）在x=0处是可导的.对于，只有当分段函数的导函数在分段点x=x0连续时才成立，而在做题时，导函数根本还没有求出来，更无从知晓其是否连续.错误四：认为单侧导数是导函数的单侧极限，即例4求分段函数的导数.错误解法：当x＜1时，（fx）在x=1处可导且f′(1)=2.这种错误的解法同错误三相似.事实上，直接由（fx）在x=1处不连续，可以得出（fx）在x=1处不可导.显然得出f′(1)=2是错误的.正确解法：当x＜1时，显然函数f（x）在x=1处不可导.如果先求了右导数，左导数不需要求，就可以判断f（x）在x=1处不可导，因为f（x）在x=1处的右导数不存在，而只要一个单侧导数不存在，分段函数在该分段点就不可导.综上可得3 教学建议为了避免学生在对分段函数求导数时出现以上错误，除了在讲解导数的定义要求学生理解定义以外，在讲解例题时，可以有针对性的列举一些错误的做法，让学生指出其中的错误，并加以修改，这样可以使学生印象深刻，从而在做题时避免采用类似的错误方法.参考文献:[1] 同济大学数学系.高数数学[M].6版.北京:高等教育出版社,2007.[2] 刘晓妍.关于单侧导数的一种求法[J].高等数学研究,2006,9(5):26-27.[3] 陈茜.浅谈分段函数的求导[J].邢台学院学报,2010,25(2):103-104.[4] 马胜萍.数学教学中常见求导错误的剖析[J].甘肃科技,2005,21(12):241-243.。
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性
浅析数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性摘要：本文运用实例探究了数学分析中分段函数分界点的连续性与可导性，从而丰富了数学分析中有关分段函数分界点的连续性与可导性的内容.关键字：分段函数;分界点;连续性;可导性1引言1.1本文背景由于分段函数的特殊性,它的研究不仅牵扯的知识面广、方法多变, 且综合性强，利用以前学过的函数的连续性和可导性的知识来进一步探讨分段函数分界点的连续性和可导性,相关内容参见文献[1-9].1.2本文主要内容及意义本文从7个方面探讨了分段函数分界点的连续性和可导性.2分段函数分界点的连续性问题2.1用函数连续性定义判别分段函数分界点的连续性定义1[1]设函数在某有定义，若，则称函数在点处连续.文献[1]给出函数在点处连续的三个条件：a. 函数在点处要有定义；b．极限存在；c. .例1讨论函数在处的连续性.分析此分段函数在分段点左右两边的函数表达式相同，因此其在左右两边的极限相等，所以其在的极限一定存在，然后再根据文献[1]给出的三个条件判断其的连续性.解 (1)函数的定义域为，故函数在有定义;(2) ;(3)，即 .因此在处同时满足定义中的三条，所以在处连续.2.2用函数单侧连续性判别分段函数分界点的连续性定义2[1]设函数在某内有定义，若，称函数点处左连续.定义3[1]设函数在某内有定义，若，称函数在点处右连续.定理1[1]在点处的连续的充要条件是在点处既要左连续又要右连续.即例 2 设函数试分别讨论在点与处的连续性.分析此分段函数在分界点和左右两边的函数表达式都不同，因此不能用定义1去求,此题可以用定理1求，只有证明分段函数分界点的左右连续且相等就可以证明此分段函数在分界点连续.解在处：由已知当时，为初等函数.又为函数定义区间上的点,则 .所以在处为左连续又因为，所以在处也右连续.由于在处既左连续又有连续，故在处连续.在处：同理可知，在处，为初等函数，又为函数定义区间上的点，且 .所以左连续,因，所以在处不右连续,由于在左连续但不右连续，故在不连续.3分段函数分界点的可导性问题3.1用导数定义判别分段函数分界点的可导性定义4[1]设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处可导，记作 .例3 设函数判断在的可导性.分析分界点两侧的函数表达式相同，因此用可导的定义去求.解在处连续，在处可导.3.2用函数单侧可导性判别分段函数分界点的可导性定义5[1]设函数在点的右邻域上有定义，若右极限存在，则称函数在处右可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定义6[1]设函数在点的左邻域上有定义，若左极限存在，则称函数在处左可导，该极限值为在点的右导数，记作 .定理2[1]若函数在点的某邻域内有定义，则存在的充要条件是与都存在，且 .例4 设函数求在处的可导性.分析此分段函数在分界点左右两侧的函数表达式不同，因此不能用导数的定义求，只能用左右导数相等的性质求.解，，即，在点处连续.，，，在点处可导例5 设函数 ,判别在与处的可导性分析函数看似不是分段函数，但去掉绝对值后函数其实是一个分段函数，要求分段函数在分界点的可导性首先要求其在分界点是否连续，若不连续则必不可导，若连续，再按可导的定义求导、判断.此分段函数在分段点的两侧的函数表达式不同，所以要用定义分别求出分段点的左右导数，再判断.解即,即左连续也右连续，在处连续，同理可证在处连续，根据可导的定义求得，，，在处可导同理可得，，在处不可导注这说明若分段函数在其分界点连续，并不一定在分界点可导.但如果分段函数在分段点可导则必连续.即连续是可导的必要条件，而非充要条件.3.3用可导与连续的关系判断分段函数分界点的可导性例6 设函数判断在处的可导性.分析分段函数分界点连续是可导的必要条件，要证明可导则首先要证明其在分界点上连续.解，因为在处不连续，所以一定不可导.但有些学生可能会犯这样的错当时，从而在处可导，且分析上述解法错在事先没有判断在的连续性.定理2 [5]若函数在点的某邻域有定义，且都存在，则在处一定连续.例7 设分段函数判断在处的可导性.分析要判断分段函数分界点的可导性，首先要判断其在分界点的连续性，因为此函数在分界点两侧的函数表达式不同，所以再用单侧可导性来判别函数的可导性.解在上连续，，在处不可导.注在定理中，仅要求左、右导数存在，并不要求一定相等，如例7中在分界点的左右导数存在，即使，也可以证明其连续.3.4用分段函数分界点的可导性确定待定参数例8 设函数若要为可导函数，应如何选择，？分析若在定义域为可导函数，说明在每点都可导，即在处也可导，由可导性与连续性关系得在处也连续，则可由在可导，且连续两个条件求出 , .解若为可导函数，则在定义域内处处可导，即其在处也可导，由可导与连续的关系，知在连续.则有故有即，又在可导，则因此当 , 时，存在，从而为可导函数.注上例很好的运用了可导一定连续的这一性质，但是其实只要左右导数都存在，就可以推出连续的性质.4小结本文主要阐述了如何判断分段函数在分界点的连续性和可导性.如可以用函数连续性的定义和函数单侧连续性来判别其分段函数的连续性.而要判断分段函数分界点的可导性则有多种方法，如可用函数导数定义、函数单侧可导性、函数可导与连续的关系和导数极限定理来判别分段函数分界点的可导性，并且一般用导数极限定理比用导数定义判别更加简单.参考文献[1]高尚华.数学分析上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-91.[2]高尚华.数学分析下册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1987:12-110.[3]林远华.分段函数的连续性与可微性[J].河池师范高等专科学校学报,2000, 20(2):26-29.[4]王琦.分段函数分界点处的可导性问题[J].齐齐哈尔师范学院学报. 1996,16(4):18-20.[5]辛兴云.判断“分段点”可导性的一个简便方法[N].河北广播电视大学学报,2000,5(2):55-57.[6]胡晶.王可宪.1994.分段函数在分段点可导的一个充要条件[J].承德民族师专学报,1994,10(2):26-27.[7]李艳娟.高等代数中分段函数问题研究[J].辽宁教育学院学报,1997,14(5):59-62.[8]张红卫.浅析分段函数[J].山西广播电视大学学报,2000,1(3):60-61.[9] Patrick M.Fitzpatrick．Advanced Calculus：A course in Mathematical Analysis[M]．Beijing：China MachinePress，2003:113－140．9。
关于利用可导性求解分段函数之未知数的问题探讨.doc
学讲课人邱曙熙单位 第二章导数与微分关于利用可导性求解分段函数之未知数的问题探讨关于利用可导性求解分段函数之未知数的问题探讨1 .书P44习题2.lEx9、1()的题类是已知/(x)在分界点处可导，求两个 未知数。
解题思路非常明确，根据可导必连续的性质，可得两个方程/(J + O) = /(J-O);《(d)=仁(d),解此联立方程组即可求出两个未知数。
2.解此类题未必非按定义计算界点的左、右导数。
实际上，不少学生不 去计算界点的左、右导数，而是先求导数，再用计算其左、右极限代替之 (参看下面的【例A 】和【例B 】)。
这样一来，存在两个方面问题：(i) 这类题目可用初等函数陈述解题(见下面两个例题【例A 】和【例B 】的论 证)，表面上思路较简单，但实际上学生却不懂得如何表达；(ii) 如果分段函数金抽象函数，那么解这类题就含有一个理论问题，即菲赫 金哥尔茨定理，而这一知识点在P77第三章§3.1例3才给出(而此例的出现让人 觉得仅是为了介绍某个特殊知识而设)。
【习题2.1Ex9] 设函数/(x)= II- X-1 x-1 /：(!)= lim /(X )-/(1) = lim + W X-1 " 因为/(X )在处可导，所以本人认为，如果非用此类题不可，那么最好明确要求用左、右极限和导数 的定义解题,而且不宜当成常规题.做为教师应当对上述几点论述心中有数・【附注】本书该类习题出现重复，见P44第二章§2.1Ex.9、10; P72第二 章复习题二Ex.4、Ex5,但却没此类例题。
a lnx+ft. x^l; , _ .x=l 处可导，求a 、b 的值。
在x<l 解：因/(x)在x=l 处可导，故必连续，从而lim f(x) = lim f(x) = /⑴, x->rx->r 又 /(I) = lim/(x)= \m(ainx+b) = b, lim /(x)= lim e x = e,所以 f(l)=h=e . x->i* x->r x->r下面求/U)在处左、右导，有尸⑴=lim "W ⑴= limx-1 a\nx .• «ln(l + x-l) ie a(x-V) =hm -= hm — = ~i- - x-1 x-1 r (l) = /：(!),由a x-1 此得 a = h = e.【例A 】(书P44习题2.1Ex9 )另解：因/(X )在x=l处可导，故必连续，从而 lim f(x)= lim f(x), x->r x->r又 lim f(x)= lim e A =e, lim f(x)= lim(nlnx + ^) = Z>5 所以力=e . H-11- 1现在当x<l 时/(x)=e 、，且 广(x)=e v ;而当x>l 时广3)=«Zr ・注意到两 个导函数都是初等函数，故在指定区域连续.于是由可导性得a=(a/x)\x=i =f ,+(1)=/ ,_(x)=e v l r=1=e ・【习题2.1EX10】若/(乂)二『’处处可导，求"3的值.[ax + h, x> 1解：成 旌=皿可导，必连续。
浅谈对分段函数的认识
浅谈对分段函数的认识分段函数在数学中是一个常见的概念，它在解决实际问题和数学推理中都有着重要的作用。
在高中数学课程中，分段函数是一个重要的内容，学生需要通过对分段函数的认识和运用来提高自己的数学能力。
本文将从什么是分段函数、分段函数的特点、分段函数的图像、分段函数的求解和应用等方面进行浅谈，希望能对分段函数有一个更深入的认识。
一、什么是分段函数分段函数是由两个或多个函数组合而成的复合函数，其定义域被划分为若干个不相交的区间，每个区间内用不同的函数来描述自变量和因变量的关系。
一般来说，分段函数的自变量x所在的区间是开区间或闭区间，每个区间内的函数定义可以是多种不同类型的，比如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
分段函数的表达形式可以写为f(x)={f1(x), x∈D1; f2(x), x∈D2; ...; fn(x), x∈Dn}，其中f1(x)、f2(x)、...、fn(x)分别表示在不同区间上的函数表达式，D1、D2、...、Dn分别表示不同的定义域。
二、分段函数的特点1. 非连续性：分段函数在不同的定义域上可能是不连续的，即在划分的区间交界处可能存在跳跃或断裂现象。
这是因为在不同的区间内使用了不同的函数表达式，导致了函数在交界处的值可能出现突变。
2. 多义性：分段函数在一个定义域上可能具有多个函数表达式，这使得它的值在相同的自变量处可能有多个取值。
这也是分段函数的独特特点之一，同时也是使用分段函数解决实际问题时需要注意的问题。
3. 可导性：分段函数的可导性取决于其组成函数在定义域内的可导性。
一般来说，分段函数在每个定义域内的函数表达式都是可导的，但在交界处的导数可能存在不连续或不存在的情况。
4. 易于应用：分段函数的特点使得它在解决实际问题时具有很强的灵活性和适用性，能够更好地描述一些复杂的实际关系。
分段函数的图像一般是由不同定义域上的函数的图像组合而成的。
在每个定义域上，函数的图像可能具有不同的特点，比如线性函数的图像是一条直线、二次函数的图像是一个抛物线等。
九年级数学下册《实际问题与分段函数模型交流与发现》教案、教学设计
1.通过小组合作、交流讨论的方式，培养学生主动探索、合作学习的习惯，提高学生的团队协作能力。
2.引导学生从实际问题中抽象出数学模型，培养学生将数学知识应用于实际问题的能力。
3.通过对分段函数图像的观察和分析，使学生掌握数形结合的数学思想，提高学生的直观想象和逻辑推理能力。
（三）情感态度与价值观
3.教师要及时批改作业，了解学生的学习情况，对学生的错误进行针对性指导，以提高学生的学习效果。
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动探索、解决问题的欲望。
2.使学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用，增强学生的数学应用意识，提高学生的社会责任感。
3.培养学生严谨、踏实的科学态度，在面对问题时能保持冷静，善于分析，勇于挑战。
在教学过程中，教师应注重引导学生主动参与，关注学生的个体差异，给予每个学生充分的关注和指导，使他们在学习过程中获得成功的体验，从而提高他们的自信心和自我价值感。
（2）利用数形结合的方法，引导学生观察和分析分段函数的图像，加深对分段函数性质的理解。
（3）设计具有梯度的问题，让学生在实践中逐步掌握构建分段函数模型的方法。
2.针对难点内容的教学设想：
（1）教师应充分关注学生的思维过程，引导学生从实际问题中提炼关键信息，培养学生的抽象思维能力。
（2）组织学生进行小组讨论，鼓励他们相互交流、分享心得，以提高学生构建分段函数模型的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：教师展示一个与分段函数相关的实际问题，如“某城市出租车收费标准：3公里内10元，超过3公里后，每公里2.5元。请计算从起点到终点的车费。”
2.提出问题：引导学生思考如何将这个问题转化为数学模型，激发学生的好奇心和求知欲。
关于利用可导性求解分段函数之未知数的问题探讨
谢谢大家！出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。
诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。
宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。
若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。
侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。
将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。
亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。
先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。
侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。
臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。
先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。
后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。
先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。
受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。
今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。
此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。
至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。
愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。
若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。
臣不胜受恩感激。
今当远离，临表涕零，不知所言。
分段函数在分段点处的可导性研究
2004年9月渝西学院学报(自然科学版)Sep ,2004 第3卷 第3期Journal of Wes tern Chongqing Universi ty (Nature Sciences Edition)Vol 3 No 3分段函数在分段点处的可导性研究曾昭华(重庆市经贸中专校,重庆 永川 402160)[摘 要]通过几个实例对分段函数在分段点处是否可导、如何求分段点处的导数进行了分类讨论,从中总结了几个结论 [关键词]分段函数;分段点;可导[中图分类号]O171 [文献标识码]A [文章编号]1671 7538(2004)03 0005 03分段函数在分段点处的导数,在一般微积分教材中是一个难点 某些数学分析教材把它作为重点内容来加以讨论 要彻底弄清分段函数在分段点处的导数,必须明确这样几点:分段函数的概念;分段函数的分段点;函数在某一点处的导数 为此,笔者逐一讨论了这3个问题(1)分段函数是指在函数定义域内的不同部分用不同的解析式来表示的函数;(2)分段函数的分段点是指函数自变量的某一取值,函数在该点与在其它部分有不同的表达式;(3)函数在某一点处的导数定义为:设函数y =f (x )在点x 0及其某个邻域U 内有定义,当自变量x 在x 0处有改变量 x 时,相应地函数就有改变量 y =f (x 0+ x )-f (x 0)(其中x 0+ x U ) 如果极限limx !0yx=limx !0f (x 0+ x )-f (x 0)x 存在,则称函数f (x )在点x 0处可导,并称此极限值为函数y =f (x )在点x 0处的导数,记为f ∀(x 0) 如果上述极限不存在,则称函数f (x )在点x 0处不可导一个分段函数在分段点处是否可导以及在可导的情况下,如何求该点处的导数,都必须严格地从导数的定义出发,分三步进行讨论第一步,求函数在分段点处的改变量 y ;第二步,计算函数的改变量与自变量的改变量的比值 yx;第三步,取比值 y x 在 x !0时的极限lim x !0 y x以下对常见的分段函数在分段点处的导数分类做了讨论 1 函数在分段点的两侧解析式不同这种情况的分段点可能是函数的间断点,也可能是函数的连续点 在此通过两个例题来说明函数在这种分段点处的可导性1 1分段点是函数的间断点图1例1 讨论函数f (x )=x +1,x <00,x =0x -1,x >0在x =0处的可导性 解:此函数的分段点是x =0 因为li m x !0-f (x )=lim x !0(x +1)=1,lim x !0+f (x )=li m x !0(x -1)=-1,即lim x !0-f (x )#lim x !0+f (x ),所以lim x !0f (x )不存在 故x =0是函数f (x )的间断点(如图1)根据函数在某点处的导数的定义可知,函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件 故函数f (x )在分段点x =0处不可导1 2 分段点是函数的连续点5[收稿日期]2004 04 15[作者简介]曾昭华(1963 ),男,重庆合川人,讲师,主要从事高等数学研究例2 求下列分段函数在分段点处的导数(1)f (x )=x 2,x ∃0x 3,x <0 (2)f (x )=1-x 2,|x |%1x 2-1,|x |>1图2解:(1) 函数的分段点是x =0 因为li m x !0-f (x )=lim x !0x 3=0,lim x !0+f (x )=li m x !0x 2=0,所以li m x !0f (x )=0 而f (0)=02=0,所以lim x !0f (x )=f (0) 故函数f (x )在分段点x =0处连续(如图2) 又因为在x =0处,有:lim x !0- y x =lim x !0(0+ x )3-02 x =lim x !0( x )2=0,lim x !0+ y x =lim x !0(0+ x )2-02 x =lim x !0x =0,所以li mx !0 yx=0 故函数f (x )在分段点x =0处的导数存在,并且f ∀(0)=0(2) 函数的分段点是x =-1和x =1 图3因为lim x !1-f (x )=li m x !1(x 2-1)=0,lim x !1+f (x )=lim x !1(1-x 2)=0,所以lim x !-1f (x )=0又因为lim x !1-f (x )=li m x !1(1-x 2)=0,lim x !1+f (x )=lim x !1(x 2-1)=0,所以lim x !1f (x )=0 而f (-1)=1-(-1)2=0,f (1)=1-12=0,所以lim x !-1f (x )=f (-1),lim x !1f (x )=f (1)故函数f (x )在两个分段点x =-1和x =1处都连续(如图3) 又因为在x =-1处有:lim x !0- y x =lim x !0(-1+ x )2-1-[1-(-1)2]x =lim x !0(-2+ x )=-2,limx !0+y x =lim x !01-(-1+ x )2-[1-(-1)2] x =lim x !0(2- x )=2,所以 limx !0- yx不存在 即函数f (x )在x =-1处不可导 同理,在x =1处,有:lim x !0- y x =lim x !01-(1+ x )2-(1-12) x =lim x !0(-2- x )=-2,limx !0+ y x =lim x !0(1+ x )2-1-(1-12) x =lim x !0(2+ x )=2 所以在x =1处,lim x !0 yx 也不存在 即函数f (x )在x =1处也不可导 故函数f (x )在两个分段点x =-1和x =1处均不可导 上述两例表明:对于分段点是函数的间断点的情况,它必然是函数的不可导点;对于分段点是函数的连续点的情况,它既可能是函数的可导点,也可能是函数的不可导点2 函数在分段点两侧的解析式相同这种情形也可以分为分段点是函数的间断点与连续点两种情况 在此仍以两个具体例题来阐明函数在这种分段点处的可导性2 1 分段点是函数的间断点例3 讨论函数f (x )=x +1x ,x #00,x =0 在x =0处的可导性 图4解:此函数的分段点是x =0 因为lim x !0-f (x )=lim x !0-(x +1x)=-&,li m x !0+f (x )=lim x !0+(x +1x )=+&,所以lim x !0f (x )不存在故分段点x =0是函数f (x )的间断点(如图4) 根据连续是可导的必要条件可知:x =0是函数f (x )的不可导点 即函数f (x )在分段点x =0处不可导 2 2 分段点是函数的连续点例4 求下列函数在分段点处的导数6(1) f (x )=x sin1x ,x #00,x =0 (2) f (x )=x 2sin1x ,x #00,x =0解:(1)函数的分段点是x =0 因为li m x !0f (x )=lim x !0x sin 1x=0,而f (0)=0,所以lim x !0f (x )=f (0)图5故分段点x =0是函数f (x )的连续点(如图5) 又因为在x =0处,有:li m x !0 y x =lim x !0(0+ x )sin10+ x -0x =lim x !0sin 1 x此极限不存在 所以函数f (x )在分段点x =0处不可导 (2)函数的分段点是x =0因为lim x !0f (x )=lim x !0x 2sin 1x =0,而f (0)=0,所以 lim x !0f (x )=f (0)图6故分段点x =0是函数f (x )的连续点(如图6) 又因为 在x =0处,有:li m x !0 yx =lim x !0(0+ x )2sin10+ x-0x=lim x !0x sin1x=0,所以函数f (x )在分段点x =0处可导,并且f ∀(0)=0上述两例仍表明:若分段点是函数的间断点,则它必定是函数的不可导点;若分段点是函数的连续点,则它既可能是函数的可导点,也可能是函数的不可导点 根据以上讨论,对分段函数在分段点处的导数做如下总结:(1)无论函数在分段点两侧的解析式是否相同,分段点可能是函数的间断点,也可能是函数的连续点(2)只要分段点是函数的间断点,那么函数在分段点处一定不可导;如果分段点是函数的连续点,则函数在分段点处可能可导,也可能不可导(3)分段函数在分段点的可导性与连续性的关系,与初等函数的可导性与连续性的关系是一致的,即可导必连续,但连续不一定可导(4)求分段函数在分段点处的导数,必须从导数的定义出发,分三步求解,即:求增量 y ;做比值 yx ;取极限lim x !0y x需要注意的是:当函数在分段点两侧解析式不同时,应先求其左、右导数,即分别计算极限limx !0- y x 与li m x !0+ y x ,若此二极限都存在并且相等,则函数在分段点处可导,并且导数值就等于该极限值 若此二极限至少有一个不存在,或者虽然都存在但不相等,则函数在分段点处不可导 当函数在分段点两侧解析式相同时,可直接根据函数解析式计算函数在分段点处的改变量比值的极限lim x !0 yx若此极限存在,则函数在分段点处可导,其导数就等于该极限值;若此极限不存在,则函数在分段点处就不可导[参考文献][1]华东师范大学数学系 数学分析[M] 北京:人民教育出版社,1980[2]陈荩民,牛实为,陈以一 高等数学基础[M] 北京:人民教育出版社,1978On Derivative Existing of Segment Function at Deviding PointZE NG Zhao-hua(Chongqing Technical School of Busines s and Trade ,Yongchua n C ho ngqing 402160,Chi na )Abstract :This article presents a classified discussion with some exa mples on the derivative existing of segment function at dividing point and the way to find out the derivative .It also states several important conclusions dra wn from the research.Key words :segment function;dividing point of segment;derivative exiting7。
几个可导性问题的讨论
万方数据万方数据几个可导性问题的讨论作者：吴洁作者单位：华中科技大学数学与统计学院,武汉,430074刊名：高等数学研究英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS年，卷(期)：2009，12(5)被引用次数：0次1.吴洁微积分课程实施研究性教学的实践 20091.期刊论文汪义瑞.苏仁全.WANG Yirui.SU Renquan单侧导数与导数的单侧极限-安康师专学报2005,17(1)单侧导数与导数的单侧极限是微积分中两个重要概念,在求分段函数的导数,付里叶级数中都有其广泛的应用,本文讨论了这两个概念的关系.2.期刊论文徐维东用"导数极限法"求分段点的导数-益阳师专学报2002,19(3)介绍了如何利用求分段函数分段区间上的导函数极限来求分段点的导数,从理论上证明了这种方法的正确性,然后给出具体实例.3.会议论文鲁亚男.刘欣浅析函数的单侧导数与导函数的单侧极限2006常见的分段函数由于它在除分段点外的小区间内的每段函数都是初等函数，所以，它们在这些小区间内都是连续，可导的。
而要研究整个分段函数在其定义域内是否连续，可导，关键要看它在分段点处的连续性与可导性。
其中，连续性的判别相对较简单，而分段点处可导性的判别就要用到单测导数的定义，通常情况下，这类问题相对复杂。
在学生中易出现的错误是直接将分段点代入导函数求分段导数，从而判断在该点处是否可导。
对于这种做法，有时结果上是正确的，但缺少必要的理论基础。
本文通过对函数的单侧导数与其导函数的单侧极限之间的关系的研究，得到结论：对于在分段点处的单测邻域内连续，可导的函数，如果其导函数的单测极限存在的话，则其单测导数就等于导函数的单测极限。
从而给出了一个在满足上述情况下的求分段函数在分段点处单测极限的方法——直接讲分段点代入导函数印可。
但必须要注意的是，上述条件是充分非必要条件，当导函数的单测极限不存在时，不能用此方法来运算。
分段函数在分段点的求导
分段函数在分段点的求导陈佩树【摘要】分段函数的可导性问题是高等数学中的一个重点和难点.本文研究分段函数在分段点的可导性、导数的求法,并给出相应的例子.【期刊名称】《巢湖学院学报》【年(卷),期】2011(013)003【总页数】4页(P124-127)【关键词】分段函数;导数;连续【作者】陈佩树【作者单位】巢湖学院,安徽巢湖238000【正文语种】中文【中图分类】O172.1分段函数是一类常见的函数，虽然有的分段函数在每一段上的表达式都不复杂，但是分段函数在分段点的极限是否存在、是否连续以及是否可导等问题都比一般初等函数复杂的多,常常让初学者感到一片茫然，搞不清其中的关系.由于分段函数在分段点的左右极限之间关系复杂，在分段点可能连续也可能不连续，有可能可导也有可能不可导，下面从三个定理出发，对分段函数在分段点的可导进行研究并给出相应的例子.定理 1[1] 若 f（x）在 x0处可导，则 f（x）在 x0处连续.反之，若 f（x）在 x0处不连续，则 f（x）在 x0处不可导.但即使f（x）在x0处连续，在处也未必可导.（1）满足什么条件时，f（x）在 x=0 连续；（2）满足什么条件时，f（x）在 x=0 可导；（3）满足什么条件时，f′（x）在 x=0 连续.解：（1）由连续的定义，如果 f（x）在 x=0 连续，则必然有也即要求由于所以只需，也即m≥1 时，f（x）在 x=0 连续.（2）由导数定义，知f′（0）=所以只需也即m≥2 时，f（x）在 x=0 可导，且有f′（0）=0.要使f′（x）在 x=0 连续，则有由（2）知当m≥2 时，f（x）在 x=0可导，且有f′（0）=0，也即则进一步还需要综上所述，即要求m≥3 时，f′（x）在 x=0 连续.注：从上面例可以看出，当m≥1时，f（x）在x=0连续，但当m≥1时，f（x）在x=0未必可导，只有当m≥2时，f（x）在x=0才可导.即说明了f（x）在x=0处连续并不能确保f（x）在x=0处可导，另一方面也验证了f（x）在x=0处可导，则f（x）在x=0处一定连续.极限、连续、导数的概念是关系到学生能否学好微积分的极其重要、最基本的概念.例 2 设分段函数解：当x≠0 时，f′（x）=3x2，由于则有函数 f（x）在 x=0 处左右极限不相等，显然有f（x）在x=0处不连续.从而f（x）在x=0处不可导.综上所述，当x≠0时，f′（x）=3x2，且 f（x）在 x=0 处不可导.注：如果直接地认为就出错了.在求函数在分段点的导数时,要判断函数在分段点处是否连续，甚至还需要判断在分段点的左右导数是否存在，以及是否存在且相等等若干问题，这将在下面的定理中进行讨论.定理 2[1] 存在当且仅当 f-′（x0），f+′（x0）存在，且有 f-′（x0）=f+′（x0）=f′（x0）注：定理2说明了若分段函数在分段点的左右导数虽然存在但不相等或至少有某一侧导数不存在，那么分段函数在这一分断点的导数就不存在.注：此题是首先判断函数在分段点连续，再通过求分段点两侧导数的极限存在且相等，进一步地有此函数在分段点两侧的导数存在且相等.故有函数在此分段点可导，且求出其导数.但是，分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.从而求得不存在.进一步误认为f′（0）不存在就出错了.分段点两侧的导数的极限存在是分段点可导的充分条件而非必要条件.这时，只能利用导数的定义来判断.例 5 设函数解：由题目易得进一步考察f（x）在x=2点的导数：所以 f-′（2）≠ f+′（2），即 f（x）在 x=2 处不可导.综上所述，即有，且 f（x）在 x=2 处不可导.注：虽然f（x）在x=2处连续，但是f（x）在x=2处不可导.如果直接地对例5中函数f（x）中的分段函数进行求导，得到进而想当然地认为f′（2）=2，那就出错了.只有当f+′（2）=f-′（2）=2 的情况下，才有f′（2）=2.而实际上 f-′（2）=2；f+′（2）=4.利用左右导数来确定分段函数在分段点处的导数是行之有效的方法，在实际解题中必须小心谨慎.定理3 设分段函数满足（1）f（x）在x=x0处连续；（2）g（x）在（x0-δ，x0）内可导（其中存在，则 f-′（x0）存在且有证明：∀x∈（x0-δ，x0），由于f（x）在x=x0处连续，g（x）在（x0-δ，x0）内可导.所以 g（x）在[x，x0]上连续且在（x，x0）内可导.由微分中值定理知∃ξ∈（x，x0），使得由于当时，必有即 f-′（x0）存在且有同理有：设分段函数满足（1）f（x）在 x=x0处连续；（2）h（x）在（x0，x0+δ）内可导（其中存在，则f+′（x0）存在且有f+′（x0）=limh′（x）.通过该定理我们可以直接求解一些分段函数在分段点的的导数问题.（1）如果分段函数在分段点单侧连续，且在这一侧的导函数的极限存在，则可以直接利用该定理.比如例 2中的分段函数在分段点x=0左连续，且所以有 f-′（0）存在且有但是在分段点 x=0处不右连续，因此f+′（0）只能用定义去求解了.（2）如果分段函数在分段点连续，且在两侧导数的极限均存在，那么左、右导数都可用该定理的求得.比如例 5 中的函数在分段点x=2处连续，且（3）如果函数在分段点的两侧由同一表达式表示，且在分段点连续，如果存在，则有f′比如解：因为所以f（x）在分段点 x=1 处连续.当x≠1 时，f′（x）=【相关文献】[1]华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].高等教育出版社.2003.[2]吉米多维奇,费定晖,周学圣.数学分析习题集题解(2)[M].济南：山东科学技术出版社,1999：58.[3]同济大学应用数学系.高等数学(第五版)[M].北京：高等教育出版社,2002：78-82.[4]袁文俊,邓小成.极限的求导剥离法则[J].广州大学学报：自然科学版,2006，(3).[5]程黄金,陈伟.分段函数求导问题的多种解法[J].中国科技信息,2006，(16).[6]王大荣,艾素梅.分段函数在分段点处的求导方法刍议[J].沧州师范专科学校校报,2005,21(3).[7]刘其林,唐亮.一种分段函数分段点的求导方法及注意的问题[J].株洲师范高等专科学校学报,2007,(4).。
有关分段函数分析性质讨论
目录摘要………………………………………………………………………………………1 关键词 ……………………………………………………………………………………….……1 Abstract …………………………………………………………………………………………… 1 Key words ………………………………………………………………………………………… 1 引言……………………………………………………………………………………………… 1 1 分段函数的连续性…………………………………………………………………………… 2 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性………………………………………………… 2 1.2 用定义的εδ-语言判断分段函数的连续性………………………………………… 3 2 分段函数在分界点处的可微性……………………………………………………………… 4 2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性……………………………………4 2.2 利用命题“函数()f x 在0x 可导00()()f x f x +-''⇔=”判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可导性................................................................................................ 4 2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性....................................... 5 3 分段函数的可积性....................................................................................... 7 3.1 分段函数的不定积分与定积分..................................................................... 7 3.1.1 分段函数的不定积分................................................................................. 7 3.1.2 分段函数的定积分.................................................................................... 8 3.2 分段函数可积性的有关结论..................................................................... 9 3.3 典型分段函数的讨论................................................................................. 10 参考文献...................................................................................................... 12 致谢 (12)有关分段函数的分析性质的讨论摘要通过对分段函数连续性、可微性与可积性的讨论，不仅给出了判断分段函数是否连续、可微及可积的方法，而且讨论了几个典型且重要的分段函数（如：狄利克雷函数与黎曼函数）.通过讨论可得出分段函数在微积分中所具有的十分重要的作用:利用分段函数来判断有关命题的真假（举正、反例）.关键词分段函数分界点连续性间断点可微性可积性About the Discussion of the Analysis Features Of theSegments-divided FunctionAbstract In this paper,based on the segments-divided function continuity,differentiability and integrability discussion.Segments-divided function not only gives the boundary points are continuous,differentiable and integrable method,but discussed several typical and important segments-divided function(for example,Dirichlet function and Riemannfunction).Segments-divided function can be obtained through discussions in the calculus,which has the very important role. We can use the segments-divided function to determine whether the proposition is true or not(give positive and negative cases).Key words Segments-divided function Demarcation point continuity Discontinuities Differentiability Integrability.引言在《微积分》及《数学分析》中，讨论分段函数在分界点处的连续性、可微性及可积性是相当重要的知识点.分段函数，是指当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个公式，而是用不同的式子来表示的函数，例如1sin,0()0,0.x xf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，类似的分段函数在微积分理论中随处可见，并具有十分重要的作用，比如举正反例常用到分段函数，本文将对分段函数的连续性、可微性、可积性进行讨论.我们知道在讨论分段函数连续性时须利用连续的定义判断，这就告诉我们必须掌握好函数在分界点处的左、右极限，以及其与函数在分界点处的函数值、函数在分界点处连续之间的关系,即左、右极限相等并且等于函数在分界点处的函数值时才连续.在各种版本的教材中，虽然例题各不相同，但在讨论分段函数在分界点可微性时都可利用左、右导数的原始定义及有关可导的充要条件来判断.但必须注意函数在不连续的分界点处一定不可导，而对于连续的分界点，函数可能可导也可能不可导.对于求分段函数的不定积分和定积分时须掌握原函数定义()()()F x f x '=及其具有的连续性的性质；要掌握关于可积的有关重要结论，而且要特别注意分段函数在积分论中所体现的十分重要的作用.1 分段函数的连续性分段函数是以某些点（分界点）为界用不同的表达式来表示的函数，而在各分段区间上一般是初等函数，在其定义区间上连续，所以讨论分段函数的连续性实质上是讨论它在分界点处是否连续. 1.1 用定义法判断函数在分界点处的连续性先求()f x 在分界点0x 处的左右极限0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→，再与()f x 在此点的函数值0()f x 比较，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→相等并且等于0()f x ，则()f x 在点0x 连续，否则在点0x 间断.下面对间断点进行简单讨论.间断点分为第一类间断点及第二类间断点，其中第一类间断点又可分为可 去间断点和跳跃间断点.（1）可去间断点 若0lim x x → ()f x =A ，而()f x 在点0x 无定义，或有定义但0()f x A ≠,则称0x 为()f x 的可去间断点.例如，对于函数1,0,()sgn 0,0,x f x x x ≠⎧==⎨=⎩因为0lim ()10(0)x f x f →=≠=，所以0x =为()f x 的可去间断点.（2）跳跃间断点 若函数()f x 在点0x 的左右极限都存在，但lim ()x x f x -→≠0lim ()x x f x +→，则称点0x 为函数()f x 的跳跃间断点.例如，符号函数1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩因为0lim sgn 1x x +→=，0lim sgn 1x x -→=-，即0limsgn x x +→≠0lim sgn x x -→，所以0x =为sgn x 的跳跃间断点.（3） 第二类间断点 函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点称为第二类间断点.例如，狄利克雷函数1,()0,x D x x ⎧=⎨⎩为有理数,为无理数,其定义域R 上每一点x 都是第二类间断点. 例[]11 讨论函数1,7,7(),71,1sin(1),11x x f x x x x x x ⎧-∞<<-⎪+⎪-≤≤⎨⎪⎪-<<+∞-⎩=的连续点、间断点及其类型.解 因为111lim ()lim sin(1)11x x f x x x ++→→=-=-，11lim ()lim 1x x f x x --→→==且(1)1f =，所以11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===，所以1x =是()f x 的连续点. 因为771lim ()lim 7x x f x x --→-→-=+不存在，77lim ()lim 7x x f x x ++→-→-==-，所以7x =-为()f x 的间断点，为第二类间断点. 故()f x 在7x ≠-时处处连续. 1.2 用定义的εδ-语言判断函数的连续性εδ-语[]2言：若对任给的0ε>，0δ∃>，使得当0x x δ-<时有0()()f x f x ε-<，则称函数()f x 在点0x 连续. 例[]32 证明黎曼函数1,(,,)()0,0,1(0,1)p px p q qq q R x x +⎧=∈N ⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数，和内的无理数在()0,1内任何无理点处都连续，任何有理点处都不连续. 证明 设ξ∈()0,1为无理数，0ε∀>（不妨设12ε<）满足1q ε≥的正整数q只有有限个（但至少有一个，比如2q =）使得()R x ε≥的有理数x ()0,1∈只有有限个（至少有一个，如12），并设为1x ，2x ，……，n x 取12min(,,...,,,1)n x x x δξξξξξ=----，则对x ∀∈()();0,1U ξδ⊂，当x 为有理数时有()R x ε<，当x 为无理数时()0R x =.于是，对x ∀∈();U ξδ，总有()()()0()()R x R R x R x R x ξε-=-==<，由ξ的任意性知()R x 在任一无理点ξ处都连续.设p q 为()0,1内任一有理数，取012q ε=，对0δ∀>（无论多么小），在(;)p U qδ内总可取到无理数()0,1x ∈，使得011()()0p R x R q q q ε-=-=>,所以()R x 在任何有理点处都不连续.2 分段函数在分界点处的可微性分段函数在分界点处的可微性只需判断分段函数在分界点处是否可导即可.2.1 利用导数定义判断分段函数在分界点处的可导性利用导数定义判断分段函数()f x 在分界点0x 处可导性是一种基本方法，直接考虑极限000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆的存在性即可.例[]43 讨论函数21sin ,0()0,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，在0x =处的可导性. 解 因为0lim ()0(0)x f x f →==，所以()f x 在0x =连续.因为0limx ∆→2001()sin(0)(0)1lim lim sin 0x x x f x f x x xx x∆→∆→∆-+∆-∆==∆=∆∆∆，所以()f x 在0x =可导且(0)0f '=.2.2 利用命题“函数()f x 在0x 可导00()()f x f x -+''⇔=”判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可导性利用此方法判断分段函数()f x 在分界点0x 处的可微性要分别讨论()f x 在0x 处的左、右导数，根据导数与单侧导数的关系研究其可导性.例[]14 讨论函数1cos ,0,(),0x x f x x x -≥⎧=⎨<⎩在0x =处的可导性.解 因为0lim ()0,lim ()0,(0)0x x f x f x f +-→→===， 所以0lim ()0x f x →==(0)f ，即()f x 在0x =连续.因为(0)(0)f x f x +∆-∆=1cos ,0,1,0,xx x x -∆⎧∆>⎪∆⎨⎪∆<⎩所以001cos sin (0)lim ()lim 01x x x xf x +++∆→∆→-∆∆'===∆满足洛必达法则条件，(0)lim 11x f --∆→'==，所以(0)f f +-''≠（0）， 从而()f x '在0x =处不可导.2.3 利用导数极限定理讨论分段函数在分界点处的可导性定理[]51 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内连续，在00()U x 内可导，且极限0lim ()x x f x →'存在，则()f x 在点0x 可导且0()f x '0lim ()x x f x →'=.例[]65 研究函数()f x =123,1,,01,,0x e x x x x x -⎧<<+∞⎪≤≤⎨⎪-∞<<⎩在分界点0x =与1x =处的可导性.解 因为30lim ()lim 0x x f x x --→→==，2lim ()lim 0x x f x x ++→→==且(0)0f =， 所以0lim ()x f x →=0=(0)f ，即()f x 在0x =处连续.同理可得 ()f x 在1x =处连续.在各区间内分别对()f x 求导，得()f x '=12,1,2,01,3,0,x e x x x x x -⎧<<+∞⎪<<⎨⎪-∞<<⎩因为 0lim ()lim 20x x f x x ++→→'==，20lim ()lim 30x x f x x --→→'==，所以 0lim ()lim ()0x x f x f x -+→→''==，所以(0)0f '=即()f x 在0x =处可导. 因为 111lim ()lim 1x x x f x e ++-→→'==，11lim ()lim 22x x f x x --→→'==， 所以 1lim ()x f x +→'≠1lim ()x f x -→'，所以()f x 在1x =处不可导. 注 1。
f(f(x)分段函数解题技巧
f(x)分段函数解题技巧随着数学教育的深入，分段函数的应用也越来越广泛。
分段函数是指在定义域的不同区间内，函数有不同的定义式。
在解题时，我们需要根据函数定义式的不同来进行分类讨论，这就需要我们掌握一定的解题技巧。
本文将从几个方面详细介绍f(x)分段函数解题技巧，帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。
一、理解分段函数的定义在了解解题技巧之前，首先要对分段函数有一个清晰的认识。
分段函数是由若干个不同的函数组成，这些函数在一定的定义域范围内分别成立。
通常分段函数的定义式为f(x)={f1(x), x≤a; f2(x), x>a}。
这表示在x≤a的时候，函数采用f1(x)的定义式；在x>a的时候，函数采用f2(x)的定义式。
解题时需要根据不同的定义域范围来进行分类讨论。
二、分类讨论的方法1.确定各个定义域的范围在解题时首先需要明确各个定义域的范围，通常可以根据定义式中的不等号来确定。
例如对于一个分段函数f(x)={2x, x≤0; x+1, x>0}，在定义域的范围内应该确定x≤0和x>0两个区间。
2.分类讨论具体步骤在确定了各个定义域的范围之后，就可以进行分类讨论了。
通常可以按以下步骤进行：（1）针对每个定义域范围，分别列出对应的函数定义式；（2）根据具体问题进行分别讨论，并列出相应的方程式；（3）通过解方程来求解问题。
三、应用实例以下通过几个具体的应用实例来说明f(x)分段函数解题技巧的应用。
例1：已知分段函数f(x)={2x, x≤0; x+1, x>0}，求f(x)的零点。
解：首先确定函数的定义域范围分别为x≤0和x>0。
接着分别列出对应的函数定义式，分别为2x和x+1。
然后对两个定义域的范围进行分类讨论：（1）当x≤0时，f(x)=2x，所以f(x)的零点为x=0；（2）当x>0时，f(x)=x+1，所以f(x)的零点为x=-1。
例2：已知分段函数f(x)={3x-1, x<2; x^2, x≥2}，求f(x)的极值点。
全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷二
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷二考生注意事项1．答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号．2．答案必须书写在答题纸指定位置的边框区域内，写在其他地方无效．3．填(书)写必须使用蓝(黑)色字迹钢笔，圆珠笔或签字笔．4．考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回．一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上)(1)(A)不连续．(B)连续但不可导．(2)(A)1．(B)2．(C)3．(D)4．则必有(A)矩阵A的列向量组线性相关，矩阵8的行向量组线性相关．(B)矩阵A的列向量组线性相关，矩阵8的列向量组线性相关．(C)矩阵A的行向量组线性相关，矩阵8的行向量组线性相关．(D)矩阵A的行向量组线性相关，矩阵8的列向量组线性相关．(A)1．(B)2．(C)3．(D)4．(8)本均值，则二、填空题(9～14小题，每小题4分。
共24分，请将答案写在答题纸指定位置上)量为l(万件)，则需求函数为——一．三、解答题(15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上．解答应写出文字说明。
证明过程或演算步骤)(15)(本题满分l0分)(16)(本题满分l0分)(18)(本题满分l0分)(20)(本题满分ll分)(22)(本题满分ll分)(23)(本题满分ll分)2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)模拟试卷二解析一、选择题(1)应选(B)．分析本题考查分段函数在分段点处的连续性与可导性问题——讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性问题，必须用相应的定义求解．(2)应选(A)．(3)应选(A)．分析本题考查将二重积分的极坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分问题，按二重积分交换次序的方法步骤“找边界，画草图，换次序”(详见《考研数学复习教程》)求解即可．解由题设所给极坐标累次积分可画出积分区域D如图所示，其边界曲线分别为(4)应选(D)．分析本题考查抽象型数项级数的收敛性问题，可由题设条件直接分析推导，也可举反例排除，此处用前者．(5)应选(A)．分析本题考查向量组的线性相关性问题．数值型的情形一般用秩分析；抽象型的情形一般利用线性相关性的结论研究分析，但若能寻求其秩时当然用秩分析求解简便．所以，对于讨论向量组的线性相关性问题，“能找秩就找秩”!即矩阵A的列向量组线性相关，矩阵．B的行向量组线性相关．注由本题条件及上述分析求解过程还可得出——矩阵A的行向量组与矩阵8的列向量组都线性无关．(6)应选(C)．(7)应选(B)．分析本题主要考查随机事件的运算，按相应的运算律求解即可．(8)应选(B)．分析本题考查样本函数的协方差与方差的计算问题，利用“运算性质法”与“已知分布法，，(详见《考研数学复习教程》相关章节)求解即可，求解过程中要注意简单随机样本是相互独立且与总体是同分布的．二、填空题(9)应填-2．分析本题考查无穷小阶的问题——见到确定无穷小阶的问题，就想“三法”——等价无穷小代换定阶法、泰勒公式定阶法、求导定阶法．此处用等价无穷小代换与求导定阶法分(IO)分析本题考查求解一阶微分方程问题，要先判定其类型，再用相应的方法求解即可．本题为变量可分离微分方程，先分离变量后两边积分可得．解原方程变形为(11)及“公式法”求解．此处用微分法．解方程两边微分，得(12)(13)应填2．分析本题考查求抽象向量组的秩的问题，可用初等变换法求解，也可由题设条件建立一个矩阵的等式——见到一组向量由另一组向量线性表示，就要想到“三个东西”(详见《考研数学复习教程》相关章节)，由此矩阵等式可得．解1 因最小值函数分布常用处理方法求解即可．三、解答题(15)分析本题考查求∞-∞型未定式极限问题．根据题目特点，可作变量代换(16)分析本题为求不定积分问题，根据被积函数的特点，选用相应的积分法即可．本(17)分析本题考查函数不等式的证明——见到函数不等式证明问题，就要想到利用单调性证之，其方法步骤为简单移项作函数，认认真真求导数；搞清增减找定点，比较大小得归宿．注意，移项构造辅助函数前，要先将不等式恒等变形，否则繁琐．函数的导数计算．只要按部就班，逐步求解即可．(19)分析本题考查被积函数为分段函数的二重积分计算问题，利用积分区域的可加性，先划分区域D，再分块代入被积函数进行计算．(20)分析本题考查求两个齐次线性方程组的非零公共解，其一般方法有联立法和代入法(详见《考研数学复习教程》)．下面以联立法解之，所以要先把方程组(Ⅱ)由其基础解系“还原”出来．解由齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系可得(19)分析本题考查被积函数为分段函数的二重积分计算问题，利用积分区域的可加性，先划分区域D，再分块代入被积函数进行计算．(20)分析本题考查求两个齐次线性方程组的非零公共解，其一般方法有联立法和代入法(详见《考研数学复习教程》)．下面以联立法解之，所以要先把方程组(Ⅱ)由其基础解系“还原”出来．解由齐次线性方程组(Ⅱ)的基础解系可得征向量即可．注意，见到矩阵A与一对角矩阵相似，就可知A的特征值；见到伴随矩阵(II)略．(22)分析本题考查求二维连续型随机变量的边缘概率密度、条件概率密度及求概率问题．见到已知联合概率密度求边缘概率密度问题，求关于“谁”的边缘概率密度就把联合概率密度的非零区域向“谁，，轴上投影，先定出所求边缘概率密度的非零区间，再穿线定上下限．求条件概率密度只需把联合概率密度与相应的边缘概率密度作商即可．对于求概率注第(Ⅲ)问求概率若用“基本法”计算，虽然要先将积分区域分块再计算也不复杂，请读者练习．(23)分析本题考查参数的点估计问题，要先从题设所给的分布函数判断出X是连续型总体，然后求导得其概率密度，再按矩估计法的方法步骤“求两矩作方程，解方程得估计。