幂函数教程及函数与方程(用)

幂函数及其性质专题

一、幂函数的定义

一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数.如112

3

4

,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 二、函数的图像和性质

（1）y x = （2）1

2

y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =

用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出：

y x =

2

y x = 3

y x = 12

y x =

1y x -=

定义域

奇偶性

在第Ⅰ象限单调增减性

定点（公共点）

3．幂函数性质

（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；

（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数

（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数. 例题精讲

例1．已知函数()()

2531m f x m m x --=--，当 m 为何值

时，()f x ：

（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；

例2．比较大小：

（1）1122

1.5,1.7 （2）33( 1.2),( 1.25)--（3）1125.25,5.26,5.26---（4）30.530.5,3,log 0.5 例3．已知幂函数2

23

m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，

求m 的值．

例4、求函数y ＝5

2x ＋2x 5

1＋4（x ≥－32）值域．

【同步练习】

1. 下列函数中不是幂函数的是（ ） Ａ．y x =

Ｂ．3y x = Ｃ．2y x = Ｄ．1y x -=

2. 下列函数在(),0-∞上为减函数的是（ ）

Ａ．13

y x = Ｂ．2y x = Ｃ．3y x = Ｄ．2

y x -= 3. 下列幂函数中定义域为{}

0x x >的是（ ） Ａ．23y x = Ｂ．32

y x = Ｃ．23

y x -

= Ｄ．32

y x

-

=

4．函数y ＝5

2x 的单调递减区间为（ ）

A ．（－∞，1）

B ．（－∞，0）

C ．［0，＋∞］

D ．（－∞，＋∞） 5．若a 2

1

＜a

2

1－，则a 的取值范围是（ ）

A ．a ≥1

B ．a ＞0

C ．1＞a ＞0

D ．1≥a ≥0

6．函数y ＝3

2)215(x x －＋的定义域是 。

7．函数y ＝

2

21m m x

－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是________．

8、讨论函数y ＝5

2x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 9、比较下列各组中两个数的大小：

（1）5

35.1，5

37.1；（2）0.71.5

，0.61.5

；（3）3

2)

2.1(－－，3

2

)

25.1(－

－．

函数与方程

一、考点聚焦

1．函数零点的概念

对于函数))((D x x f y ∈=，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零。 （2）函数的零点也就是函数)(x f y =的图象与x 轴的交点的横坐标。 （3）求零点就是求方程0)(=x f 的实数根。 2、函数零点的判断

如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有0)()(<∙b f a f ，那么，函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

3．函数零点与方程的根的关系

根据函数零点的定义可知：函数)(x f 的零点，就是方程0)(=x f 的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。 函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是)(x f 的零点。

一、选择题（每小题5分，计5×12=60分）

1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）

2． 已知函数2

2

)(m mx x x f --=，则)(x f （ ）

A ．有一个零点

B ．有两个零点

C ．有一个或两个零点

D ．无零点

3． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表

x 1 2 3 4 5 6 )(x f 123.56 21.45 －7.82 11.57 53.76 －126.49

函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ）

A ．)1(∞+

B ．)1,0(

C ．),0(+∞

D ．∅

4． 设函数⎩

⎨⎧>≤++=,0,3,

0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数x x f y -=)(的

零点的个数为（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

5． 函数x

x x f 2

ln )(-=的零点所在的大致区间是（ ） A ．)2,1(

B ．)3,2(

C ．)1

,1(e

和)4,3( D ．),(+∞e