最新届高三数学一轮复习专讲专练31变化率与导数、导数的计算

答案：C
5．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐
标是( )
A．－9
B．－3
C．9
D．15
解析：y′＝3x2，所以在P(1,12)处的切线的斜率k＝3， 切线方程为3x－y＋9＝0，故其与y轴交点为(0,9)，故选C.
答案：B
02考点分类 案例剖析
研习考点,触类旁通
考点一 导数的运算
变式训练1 求下列函数的导数：
(1)y＝xnex；(2)y＝
cosx sinx
原函数
导函数
f(x)＝c
f′(x)＝□10 __________
f(x)＝xn(n∈Q*)
f′(x)＝□11 __________
f(x)＝sinx
f′(x)＝□12 __________
原函数 f(x)＝cosx f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝ex f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f(x)＝lnx
导函数
f′(x)＝□13 __________ f′(x)＝□14 __________ f′(x)＝□15 __________ f′(x)＝□16 __________ f′(x)＝□17 __________
5.导数运算法则
(1)[f(x)]±g(x)]′＝□18 __________________； (2)[f(x)g(x)]′＝□19 ____________________； □ (3)gfxx′＝ 20 ____________________(g(x)≠0)．
[例1] 求下列各函数的导数：
(1)y＝
x＋x5＋sinx x2
；(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(3)y＝sin
x 2
1－2cos24x；(4)y＝1－1 x＋1＋1 x.
解析：
(2)方法一：∵y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11. 方法二：y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋ 3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11.
(3)∵y＝sin2x－cos2x＝－12sinx，
∴y′＝－12sinx′＝－12(sinx)′＝－12cosx.
(4)y＝1－1
x＋1＋1
x＝11＋－
x＋1－ x1＋
xx＝1－2 x，
∴y′＝1－2 x′＝－211－－xx2′＝1－2 x2.
方法点睛 ①熟记基本初等函数的导数公式及四则运算 法则是正确求导的基础；②必要时对于某些求导问题可先化 简函数解析式再求导．
lnx lna
′＝
1 xlna
；④(ax)′＝(elnax)′＝(exlna)′＝
exlnalna＝axlna，其中正确的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案：D
2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( ) A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
fx0＋Δx－fx0 Δx
□ □ □ 4
lim
Δx→0
Δy Δx
5
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
6 (x0，f(x0))
□ □ 7 切线的斜率 8 y－y0＝f′(x0)(x－x0)
□ □ □ □ 9
lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
10 0
11 nxn－1
12 cosx
□13 －sinx □14 axlna(a＞0) □15 ex □16 xl1na(a＞0，且a≠1)
●三个防范 1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符 号，防止与乘法公式混淆． 2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个 交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做 到不重不漏.
基础自测
1.下列求导过程中①
1 x
′＝－
1 x2
；②(
x
)′＝
1 2
x
；③
(logax)′＝
2014届高三数学一轮复习专 讲专练31变化率与导数、导
数的计算
§3.1 变化率与导数、导数的计算
01教材回扣 02考点分类 03课堂内外 双基限时练
3．函数f(x)的导函数
称函数f′(x)＝□9 ________为f(x)的导函数，导函数有时
也记作y′.
4．基本初等函数的导数公式
答案：B
4．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为( ) A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0)
解析：令f′(x)＝2x－2－
4 x
＝
2x－2x＋1 x
＞0，利用数
轴标根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故选
C.
□17
1 x
□18 f′(x)±g′(x) □19 f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) □20
□ □ f′xgx－fxg′x
[gx]2
21 f′[v(x)]v′(x)
22 y′u·u′x
名师微博 ●一个区别 曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点 P(x0，y0)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线 是指P为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k＝f′(x0)， 是唯一的一条切线；曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指 切线经过P点，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样 的直线可能有多条．
解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案：C
3．曲线y＝sinxs＋inxcosx－12在点M4π，0处的切线的斜率为
()
A．－12
1源自文库B.2
C．－
2 2
2 D. 2
解析：y′＝cosxsinx＋csoinsxx＋－csoisnxx2cosx－sinx＝ 1＋s1in2x，把x＝4π代入得导数值为12.
6．复合函数的导数 设u＝v(x)在点x处可导，y＝f(u)在点u处可导，则复合函
数f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)＝ □21 _____________，即y′x
＝□22 ____________________.
□ □ □ 答案：
1
fx2－fx1 x2－x1
2
Δy Δx
3
lim
Δx→0