苏教版九年级上册数学 期末试卷试卷(word版含答案)

苏教版九年级上册数学 期末试卷试卷（word 版含答案） 一、选择题
1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°
B ．45°
C ．30°或150°
D ．45°或135° 2．已知3sin 2α=
，则α∠的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
3．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若AD =1，BD =2，则DE BC
的值为（ ）
A ．12
B ．13
C ．14
D ．19
4．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ）
A ．3(1)10x +=
B ．23(1)10x +=
C ．233(1)10x ++=
D ．233(1)3(1)10x x ++++= 5．关于2,6,1,10,6这组数据，下列说法正确的是（ ） A ．这组数据的平均数是6
B ．这组数据的中位数是1
C ．这组数据的众数是6
D ．这组数据的方差是10.2 6．已知反比例函数k y x =
的图象经过点（m ，3m ），则此反比例函数的图象在（ ） A ．第一、二象限
B ．第一、三象限
C ．第二、四象限
D ．第三、四象限 7．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )
A ．12
B ．1
C ．2
D 2
8．二次函数y=ax 2+bx+c 的y 与x 的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4
… y … 2 4 2 ﹣2 …
则下列判断中正确的是（ ）
A ．抛物线开口向上
B ．抛物线与y 轴交于负半轴
C ．当x=﹣1时y ＞0
D ．方程ax 2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间 9．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦C
E AB ⊥于点
F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点
G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ 的外心；④AP AD ⋅CQ CB =⋅．其中正确的是( )
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③④
D ．①②③④
10．下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（ ）
A ．都含有一个40°的内角
B ．都含有一个50°的内角
C ．都含有一个60°的内角
D ．都含有一个70°的内角 11．下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A ．x 2﹣x ﹣1＝0
B ．x 2+x +1＝0
C ．x 2+1＝0
D ．x 2+2x +1＝0 12．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ）
A ．2(1)6x -=
B ．2(1)6x +=
C ．2(1)9x +=
D ．2(1)9x -= 二、填空题
13．平面直角坐标系内的三个点A （1，－3）、B （0，－3）、C （2，－3），___ 确定一个圆．（填“能”或“不能”）
14．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．
15．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.
16．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
17．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．
18．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 为格点（即小正方形的顶点），AB 与CD 相交于点O ，则AO 的长为_________．
19．如图，在ABCD 中，13
BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．
20．已知，二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是________．
21．如图，已知△ABC 3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB ＝2AD ，∠BAD ＝45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于_____（结果保留根号）．
22．若a b b -＝23，则a b
的值为________． 23．二次函数y ＝2x 2﹣4x +4的图象如图所示，其对称轴与它的图象交于点P ，点N 是其图象上异于点P 的一点，若PM ⊥y 轴，MN ⊥x 轴，则2
MN PM ＝_____．
24．已知234x y z x z y
+===，则_______ 三、解答题
25．（1）解方程：234x x -=；（2）计算：2tan 60sin 452cos30︒+︒-︒
26．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭
（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.
27．解下列一元二次方程．
（1）x 2＋x －6＝0；
（2）2(x －1)2－8＝0．
28．我们不妨约定：如图①，若点D 在△ABC 的边AB 上，且满足∠ACD=∠B （或
∠BCD=∠A ），则称满足这样条件的点为△ABC 边AB 上的“理想点”．
（1）如图①，若点D 是△ABC 的边AB 的中点，AC=22AB=4.试判断点D 是不是△ABC 边AB 上的“理想点”，并说明理由．
（2）如图②，在⊙O 中，AB 为直径，且AB=5，AC=4.若点D 是△ABC 边AB 上的“理想
点”，求CD的长．
（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足
∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
29．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF．
（1）求证：△DPF为等腰直角三角形；
（2）若点P的运动时间t秒．
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；
②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值．
30．一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是多少？
31．如图，BD、CE是ABC的高．
∽；
（1）求证：ACE ABD
（2）若BD＝8，AD＝6，DE＝5，求BC的长．
32．如图，已知⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，
∠EAB=∠ADB．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知点B是EF的中点，求证：△EAF∽△CBA；
（3）已知AF=4，CF=2，在（2）的条件下，求AE的长．
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意画出图形，连接OA和OB，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可．
【详解】
解：如图所示，
连接OA，OB，
则OA＝OB＝3，
∵AB＝2，
∴OA2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
∴劣弧AB的度数是90°，优弧AB的度数是360°﹣90°＝270°，
∴弦AB对的圆周角的度数是45°或135°，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数. 2．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】
解：由
3
sin
2
α=，得α=60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
解析：B
【解析】
试题分析：∵DE ∥BC ，∴
AD DE AB BC =，∵13AD AB =，∴3
1DE BC =．故选B ． 考点：平行线分线段成比例． 4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】
解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为2
33(1)3(1)10x x ++++=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 5．C
解析：C
【解析】
【分析】
先把数据从小到大排列，然后根据算术平均数，中位数，众数的定义得出这组数据的平均数、中位数、众数，再利用求方差的计算公式求出这组数据的方差，再逐项判定即可．
【详解】
解：数据从小到大排列为：1，2，6，6，10，
中位数为：6；
众数为：6； 平均数为：()1
12661055
⨯++++=； 方差为：()()()()()2222211525656510510.45⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦
． 故选：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是平均数，中位数，众数，方差的概念定义，熟记定义以及方差公式是解此题的关键．
6．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：将点（m ，3m ）代入反比例函数k y x
=
得， k=m•3m=3m 2＞0； 故函数在第一、三象限，
故选B ． 7．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则
60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302
APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．
【详解】
解：连接OA 、OB ，如图1，
2OA OB ==，2AB =，
OAB ∴为等边三角形，
60AOB ∴∠=︒，
1302
APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒
90ACP ∴∠=︒
2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，
作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，
90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，
当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形， CD AB ∴⊥，1CD =，
12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112
=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．
8．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据表中的对应值，求出二次函数2
y ax bx c =++的表达式即可求解．
【详解】
解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴二次函数表达式为232y x x =-++
∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；
∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；
当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；
令0y =，得2320x x -++=，解得：13172x +=，23172x = ∵317102
--＜，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间；
故选：D ．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．
9．B
解析：B
【解析】
【分析】
①由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可判断①；
②连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP ，利用等角对等边可得出GP=GD ，可判断②；
③先由垂径定理得到A 为CE 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AE =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP ，利用等角对等边可得出AP=CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC ，得出CP=PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可判断③；
④正确．证明△APF ∽△ABD ，可得AP×
AD=AF×AB ，证明△ACF ∽△ABC ，可得AC 2=AF×AB ，证明△CAQ ∽△CBA ，可得AC 2=CQ×CB ，由此即可判断④；
【详解】
解：①错误，假设BAD ABC ∠=∠，则BD AC =，
AC CD =，
∴AC CD BD ==，显然不可能，故①错误．
②正确．连接OD ． GD 是切线，
DG OD ∴⊥，
90GDP ADO ∴∠+∠=︒，
OA OD =，
ADO OAD ∴∠=∠，
90APF OAD ∠+∠=︒，GPD APF ∠=∠，
GPD GDP ∴∠=∠，
GD GP ∴=，故②正确．
③正确．AB CE ⊥，
∴AE AC =，
AC CD =，
∴CD AE =，
CAD ACE ∴∠=∠，
PC PA ∴=， AB 是直径，
90ACQ ∴∠=︒，
∠+∠=︒，
90
CAP CQP
∴∠+∠=︒，90
ACP QCP
∴∠=∠，
PCQ PQC
PC PQ PA
∴==，
∠=︒，
90
ACQ
∆的外心．故③正确．
∴点P是ACQ
④正确．连接BD．
∠=∠=︒，PAF BAD
AFP ADB
90
∠=∠，
∽，
∴∆∆
APF ABD
∴AP AF
=，
AB AD
∴⋅=⋅，
AP AD AF AB
AFC ACB
∠=∠=︒，
∠=∠，90
CAF BAC
∴∆∆
∽，
ACF ABC
可得2
=，
AC AF AB
∠=∠，
ACQ ACB
∠=∠，CAQ ABC
∴∆∆
∽，可得2
CAQ CBA
=⋅，
AC CQ CB
∴⋅=⋅．故④正确，
AP AD CQ CB
故选：B．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
10．C
解析：C
【解析】
试题解析：因为A,B,D给出的角40,50,70可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似；故A，B，D错误；
C. 有一个60的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确.
故选C.
11．A
解析：A
【解析】
逐项计算方程的判别式，根据根的判别式进行判断即可．
【详解】
解：
在x2﹣x﹣1＝0中，△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，故该方程有两个不相等的实数根，故A符合题意；
在x2+x+1＝0中，△＝12﹣4×1×1＝1﹣4＝﹣3＜0，故该方程无实数根，故B不符合题意；在x2+1＝0中，△＝0﹣4×1×1＝0﹣4＝﹣4＜0，故该方程无实数根，故C不符合题意；
在x2+2x+1＝0中，△＝22﹣4×1×1＝0，故该方程有两个相等的实数根，故D不符合题意；故选：A．
【点睛】
本题考查根的判别式，解题的关键是记住判别式，△＞0有两个不相等实数根，△＝0有两个相等实数根，△＜0没有实数根，属于中考常考题型．
12．A
解析：A
【解析】
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】
方程移项得：x2−2x＝5，
配方得：x2−2x＋1＝6，
即（x−1）2＝6．
故选：A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
二、填空题
13．不能
【解析】
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、
解析：不能
【分析】
根据三个点的坐标特征得到它们共线，于是根据确定圆的条件可判断它们不能确定一个圆．
【详解】
解：∵B（0，-3）、C（2，-3），
∴BC∥x轴，
而点A（1，-3）与C、B共线，
∴点A、B、C共线，
∴三个点A（1，-3）、B（0，-3）、C（2，-3）不能确定一个圆．
故答案为：不能．
【点睛】
本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．
14．12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△E
解析：12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可
得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为
△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，∴AF AB
GF GD
==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故答案为：12．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
15．【解析】
【分析】
根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】
【解析】
【分析】
根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC
∠的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.
【详解】
如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，
在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，
∵D为AB的中点，
∴CD=1
5 2
AB= ,
由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，
∴CE=1
5 2
MN,
∵DM⊥BC,DC=DB,
∴CM=BM=1
3 2
BC=,
∴EM=CE-CM=5-3=2，
∵DM=1
4 2
AC,
∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN⊥DE,
∴
∴由勾股定理得，CN=
∴sin∠DEC=
25 CN
CE
.
25
.
【点睛】
本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.
16．【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
解析：π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为603 180
π⨯
=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
17．【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，∴△ABC∽△
解析：1 6
【解析】
【分析】
由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．
【详解】
如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，
∵AB∥EF，
∴△ABC∽△FEC
∴AB
EF
＝
BC
CE
，
∴1
2
＝
x
1x
解得x＝1
3
，
∴阴影部分面积为：S△ABC＝1
2
×
1
3
×1＝
1
6
，
故答案为：1
6
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答.
18．【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：
解析：817 9
【解析】
【分析】
如图所示，由网格的特点易得△CEF≌△DBF，从而可得BF的长，易证△BOF∽△AOD，从而可得AO与AB的关系，然后根据勾股定理可求出AB的长，进而可得答案.
【详解】
解：如图所示，∵∠CEB=∠DBF=90°，∠CFE=∠DFB，CE=DB=1，
∴△CEF≌△DBF，
∴BF=EF=1
2
BE=
1
2
，
∵BF∥AD，
∴△BOF∽△AOD，
∴
1
1
2
48 BO BF
AO AD
===，
∴
8
9
AO AB
=，
∵22
1417 AB=+=，
∴
817
9 AO=.
故答案为：817 9
【点睛】
本题以网格为载体，考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解答的关键.
19．6
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质证得△BEG∽△FAG，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.
【详解】
解：∵四
解析：6
【解析】
【分析】
先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∴△BEG ∽△FAG ， ∵13BE DF BC ==
， ∴12
EG BE AG AF ==， ∴211,24
BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，
∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，
∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.
故答案为：6.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键.
20．【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），
故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．
故答案为：
解析：13x
【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），
故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．
故答案为：-1＜x ＜3．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
21．【解析】
【分析】
如图，过点F 作FH⊥AE 交AE 于H ，过点C 作CM⊥AB 交AB 于M ，根据等边三角形的性质可求出AB 的长，根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形，可得出AE 的长，根据角的和差
【解析】
【分析】
如图，过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ，过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ，根据等边三角形的性质可求出AB 的长，根据相似三角形的性质可得△ADE 是等边三角形，可得出AE 的长，根据角的和差关系可得∠EAF=∠BAD=45°，设AH ＝HF ＝x ，利用∠EFH 的正确可用x 表示出EH 的长，根据AE=EH+AH 列方程可求出x 的值，根据三角形面积公式即可得答案．
【详解】
如图，过点F 作FH ⊥AE 交AE 于H ，过点C 作CM ⊥AB 交AB 于M ，
∵△ABC CM ⊥AB ，
∴12×AB×CM ，∠BCM ＝30°，BM=12
AB ，BC=AB ，
∴AB ，
∴12AB 解得：AB ＝2，（负值舍去）
∵△ABC ∽△ADE ，△ABC 是等边三角形，
∴△ADE 是等边三角形，∠CAB=∠EAD=60°，∠E=60°，
∴∠EAF+∠FAD=∠FAD+BAD=60°，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF ＝∠BAD ＝45°，
∵FH ⊥AE ，
∴∠AFH ＝45°，∠EFH ＝30°，
∴AH ＝HF ，
设AH ＝HF ＝x ，则EH ＝xtan30°x ． ∵AB=2AD ，AD=AE ，
∴AE＝1
2
AB＝1，
∴x+
3
3
x＝1，
解得x＝
33
2
33
-
=
+
．
∴S△AEF＝1
2
×1×
33
-
＝
33
-
．
故答案为：33 -
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数，根据相似三角形的性质得出△ADE是等边三角形、熟练掌握等边三角形的性质并熟记特殊角的三角函数值是解题关键．
22．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b b -＝23
， ∴b=
35a, ∴a b =5335
a a =, 故答案为：
53
. 【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则． 23．【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算即可解答本题．
【详解】
解：∵二次函数y ＝2x2﹣4x+4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1
解析：【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可得到点P 的坐标，然后设出点M 、点N 的坐标，然后计算2
MN PM 即可解答本题． 【详解】
解：∵二次函数y ＝2x 2﹣4x +4＝2（x ﹣1）2+2，
∴点P 的坐标为（1，2），
设点M 的坐标为（a ，2），则点N 的坐标为（a ，2a 2﹣4a +4）， ∴2MN PM ＝()222442(1)a a a -+--＝()22222212422121
a a a a a a a a -+-+=-+-+＝2， 故答案为：2．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何的问题，解题的关键是求出点P 左边，设出点M 、点N 的坐标，表达出2
MN PM ． 24．2
【解析】
【分析】
设，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的
解析：2
【解析】
【分析】 设234
x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设
234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k
++==； 故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z.
三、解答题
25．（1）x 1=-1，x 2=4；（2）原式=
12 【解析】
【分析】
（1）按十字相乘的一般步骤，求方程的解即可；
（2）把函数值直接代入，求出结果
【详解】
解：（1）234x x -=
(x+1)(x-4)=0
∴x 1=-1，x 2=4；
（2）原式2=12
【点睛】
本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
26．（1）6；（2）1m =.
【解析】
【分析】
（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.
（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.
【详解】
解：（1）()2
012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412
=⨯++ 6=；
（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，
∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,
∴m=1.
【点睛】
本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.
27．（1）123;2x x =-=；（2）123;1x x ==-
【解析】
【分析】
（1）利用因式分解法解一元二次方方程；（2）用直接开平方法解一元二次方程.
【详解】
解：（1）x 2＋x －6＝0；
(3)(2)0x x +-=
∴123;2x x =-=
（2）2(x －1)2－8＝0．
22(1)8x -=
2(1)4x -=
12x -=±
∴123;1x x ==-
【点睛】
本题考查直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，掌握解题技巧正确计算是本题的解题关键.
28．（1）是，理由见解析；（2）
125
；（3）D （0,42）或D （0,6） 【解析】
【分析】 （1）依据边长AC=22，AB=4，D 是边AB 的中点，得到AC 2=AD AB ，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B ；
(2)由点D 是△ABC 的“理想点”，得到∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A ，分两种情况证明均得到CD ⊥AB ，再根据面积法求出CD 的长；
(3)使点A 是B ，C ，D 三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D 的坐标即可.
【详解】
（1）D 是△ABC 边AB 上的“理想点”，理由： ∵AB=4，点D 是△ABC 的边AB 的中点，
∴AD=2，
∵AC 2=8，8AD AB •=，
∴AC 2=AD AB ，
又∵∠A=∠A ，
∴△ADC ∽△ACB ，
∴∠ACD=∠B ，
∴D 是△ABC 边AB 上的“理想点”.
（2）如图②，
∵点D 是△ABC 的“理想点”，
∴∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A,
当∠ACD=∠B 时，
∵∠ACD+∠BCD=90︒，
∴∠BCD+∠B=90︒，
∴∠CDB=90︒，
当∠BCD=∠A 时，同理可得CD ⊥AB ，
在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90︒,AB=5，AC=4，
∴222254AB AC -=-=3， ∵
1122AB CD AC BC ⋅=⋅, ∴1153422
CD ,
∴
12
5 CD=.
（3）如图③，存在.
过点A作MA⊥AC交CB的延长线于点M，∵∠MAC=∠AOC=90︒,∠ACM=45︒，∴∠AMC=∠ACM=45︒，
∴AM=AC,
∵∠MAH+∠CAO=90︒,∠CAO+∠ACO=90︒,
∴∠MAH=∠ACO,
∴△AHM≌△COA
∴MH=OA,OC=AH,
设C（a，0），
∵A(0，2),B(0，-3),
∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，
∵MH∥OC,
∴MH BH OC OB
，
∴25
3
a
a
，
解得a=6或a=-1（舍去），
经检验a=6是原分式方程的解，
∴C（6,0），OC=6.
①当∠D1CA=∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”，设D1(0，m)，
∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,
∴△D1AC∽△D1CB,
∴2
111
CD D A D B,
m m m，
∴226(2)(3)
解得m=42，∴D1(0，42)；
②当∠BCA=∠CD2B时，点A是△BCD2“理想点”，
可知：∠CD2O=45︒，
∴OD2=OC=6，
∴D2（0,6）.
综上，满足条件的点D的坐标为D（0,42）或D（0,6）.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.
29．（1）详见解析；（2）①1；1．
【解析】
【分析】
（1）要证明三角形△DPF为等腰直角三角形，只要证明∠DFP＝90°，∠DPF＝∠PDF＝45°即可，根据直径所对的圆周角是90°和同弧所对的圆周角相等，可以证明∠DFP＝90°，
∠DPF＝∠PDF＝45°，从而可以证明结论成立；
（2）①根据题意，可知分两种情况，然后利用分类讨论的方法，分别计算出相应的t的值即可，注意点P从A出发到B停止，t≤4÷2＝2；
②根据题意，画出相应的图形，然后利用三角形相似，勾股定理，即可求得t的值．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝45°，
∵在⊙O中，DF所对的圆周角是∠DAF和∠DPF，
∴∠DAF＝∠DPF，
∴∠DPF＝45°，
又∵DP是⊙O的直径，
∴∠DFP＝90°，
∴∠FDP＝∠DPF＝45°，
∴△DFP是等腰直角三角形；
（2）①当AE：EC＝1：2时，
∵AB∥CD，
∴∠DCE＝∠PAE，∠CDE＝∠APE，
∴△DCE∽△PAE，
∴DC CE
=，
PA AE
∴42
=，
21
t
解得，t＝1；
当AE ：EC ＝2：1时，
∵AB ∥CD ，
∴∠DCE ＝∠PAE ，∠CDE ＝∠APE ，
∴△DCE ∽△PAE ， ∴
DC CE PA AE =， ∴4122
t =， 解得，t ＝4，
∵点P 从点A 到B ，t 的最大值是4÷2＝2，
∴当t ＝4时不合题意，舍去；
由上可得，当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；
②如右图所示，
∵∠DPF ＝90°，∠DPF ＝∠OPF ，
∴∠OPF ＝90°，
∴∠DPA +∠QPB ＝90°，
∵∠DPA +∠PDA ＝90°，
∴∠PDA ＝∠QPB ，
∵点Q 落在BC 上，
∴∠DAP ＝∠B ＝90°，
∴△DAP ∽△PBQ ， ∴DA DP PB PQ
=， ∵DA ＝AB ＝4，AP ＝2t ，∠DAP ＝90°，
∴DP ＝PB ＝4﹣2t ，
设PQ ＝a ，则PE ＝a ，DE ＝DP ﹣a ＝a ，
∵△AEP ∽△CED ， ∴AP PE CD DE
=， 即
24t =
解得，a ＝22t
+，
∴PQ ＝22t
+，
∴
2
2
424
4224
2
t
t t t
t
+
=
-+
+
，
解得，t1＝﹣5﹣1（舍去），t2＝5﹣1，
即t的值是5﹣1．
【点睛】
此题主要考查四边形综合，解题的关键是熟知正方形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.
30．3
8
【解析】
【分析】
本题先利用树状图，求出医院某天出生了3个婴儿的8中等可能性，再求出出现1个男婴、2个女婴有三种，概率为
3
8
.
【详解】
解：用树状图来表示出生婴儿的情况，如图所示．
在这8种情况中，一男两女的情况有3种，则概率为
3
8
．
【点睛】
本题利用树状图比较合适，利用列表不太方便．一般来说求等可能性，只有两个层次，既可以用树状图，又可以用列表；有三个层次时，适宜用树状图求出所有的等可能性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
31．（1）见解析；（2）BC＝
25
3
．
【解析】
【分析】
（1）BD 、CE 是ABC 的高，可得90ADB AEC ∠=∠=︒，进而可以证明
ACE ABD ∽；
（2）在Rt ABD 中，8BD =，6AD =，根据勾股定理可得10AB =，结合（1）ACE ABD ∽，对应边成比例，进而证明AED ACB ∽，对应边成比例即可求出BC 的长．
【详解】
解：（1）证明：BD 、CE 是ABC ∆的高，
90ADB AEC ∴∠=∠=︒，
A A ∠=∠，
ACE ABD ∴∽；
（2）在Rt ABD 中，8BD =，6AD =，
根据勾股定理，得
10AB ==，
ACE ABD ∽， ∴AC AE AB AD
=， A A ∠=∠，
AED ACB ∴∽， ∴DE AD BC AB
=， 5DE =，
5102563
BC ⨯∴==． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
32．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
(1)连接CD ，根据直径所对的圆周角为直角得出∠ADB+∠EDC=90°，根据同弧所对的圆周角相等得出∠BAC=∠EDC ，然后结合已知条件得出∠EAB+∠BAC=90°，从而说明切线；
(2)连接BC ，根据直径的性质得出∠ABC=90°，根据B 是EF 的中点得出AB=EF ，即∠BAC=∠AFE ，则得出三角形相似；
(3)根据三角形相似得出
AB AC AF EF =，根据AF 和CF 的长度得出AC 的长度，然后根据EF=2AB 代入
AB AC AF EF
=求出AB 和EF 的长度，最后根据Rt △AEF 的勾股定理求出AE 的长度.
【详解】
解：(1)如答图1，连接CD ， ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ADC=90°
∴∠ADB+∠EDC=90°
∵∠BAC=∠EDC ，∠EAB=∠ADB ，
∴∠BAC=∠EAB+∠BAC=90°
∴EA 是⊙O 的切线；
(2)如答图2，连接BC ，
∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°. ∴∠CBA=∠ABC=90° ∵B 是EF 的中点，∴在Rt △EAF 中，AB=BF
∴∠BAC=∠AFE
∴△EAF ∽△CBA ．
(3)∵△EAF ∽△CBA ，∴
AB AC AF EF
= ∵AF=4，CF=2， ∴AC=6，EF=2AB ． ∴642AB AB
=， 解得AB=23
∴EF=43
∴AE=2222-=(43)4=42EF AF -．
【点睛】
本题考查切线的判定与性质；三角形相似的判定与性质．。