解答题专题复习 导数与不等式

解答题专题复习 导数与不等式

【例1】已知函数()ln (0)f x ax x a =>。

⑴讨论函数()f x 的单调区间和最值；

⑵若0,0m n >>，证明：()()()ln2()f m f n a m n f m n +++≥+。

【解答】⑴'()(ln 1)(0,0)f x a x a x =+>>，当1x e

>时，'()0f x >；当10x e <<时，'()0f x <，故()f x 的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， min 1()()a f x f e e

==-，无最大值。 ⑵()()()ln2()f m f n a m n f m n +++≥+

ln ln ()ln 2()ln()am m an n a m n a m n m n ⇔+++≥++

[ln ln 2ln()][ln()ln ln 2]m m m n n m n n ⇔+-+≥+--

2ln ln 2m m n m n m n n +⇔≥+12ln ln (*)12n n m n n m m m

+⇔≥+，令(0)n x x m =>，则 （*）21ln ln 12x x x x

+⇔≥+ln 2ln(1)[ln(1)ln(2)]x x x x ⇔-+≥+- (1)ln(1)ln(2)ln 20x x x x ⇔++--≤

令()(1)ln(1)ln(2)ln2(0)g x x x x x x =++-->，

1'()ln(1)ln(2)ln 2x g x x x x

+=+-=，当1x >时，'()0f x <；当01x <<时，'()0f x >，max ()(1)0g x g ==，即()0g x ≤，故原命题成立。

⑵设函数()()()ln ()ln()(0)g x f x f t x ax x a t x t x x t =+-=+--<<，

'()ln x g x a t x =-，令'()0;'()0022

t t g x x t g x x >⇒<<<⇒<<，则函数()g x 在(,)2t t 上单调递增，在(0,)2t 上单调递减，min ()()2t g x g =，即总有()()2

t g x g ≥。 而()2()ln (ln ln 2)()ln 2222

t t t g f at at t f t at ===-=-， ()()()()()ln 22

t g x g f x f t x f t at ≥⇔+-≥-， 令,,x m t x n =-=则m n t +=，()()()()ln2f m f n f m n a m n +≥+-+，移项后得证。

【例2】已知2()0,()ln()(0),()f x a a f x x x a x g x x +>=+>=

。 ⑴求()g x 的单调区间；

⑵2a =时，0(0,)x ∃∈+∞，使00()1f x bx =-成立，求b 的取值范围；

⑶正数x y z 、、满足x y z t =++，求证：13()()()[ln(2)]22

f x f y f z a t a ++≥+-。

解：（Ⅰ）x a a x x g ++=)ln(2)(，)

())(2(2)(22'a x x a x a x x a a x x g +-+=-+=， 当a x <<0时，所以0)('时，所以0)('>x g ，

所以)(x g 的单调递减区间为),0(a ，单调递增区间为),(+∞a ；

（II ）1)2ln(-=+bx x x 在()+∞,0有实根， 此问题等价于求x x x h b 1)2ln()(+

+==在),0(+∞的值域， 当2=a 时，)(22)2ln(2)(x h x

x x g =++=， 所以)(x h 在)2,0(上递减，在),2(+∞上递增，

214ln )2()(min +==h x h ，又)(x h 能够趋向∞+，所以)(x h 的值域为⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞+,214ln ， 所以b 的取值范围为⎪⎭

⎫⎢⎣⎡+∞+,214ln ； （III ）由（Ⅰ）知x

a x f x g +=)(2)(在),0(a 递减，在),(+∞a 递增， 所以a a g x g 2ln 21)()(+=≥，所以a x a x f 2ln 21)(2+≥+，即2212ln )(a x a x f -⎪⎭⎫ ⎝

⎛+≥① 同理2212ln )(a y a y f -⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥②，2212ln )(a z a z f -⎪⎭⎫ ⎝

⎛+≥③， ①②③相加得2

3)212(ln )()()(a t a z f y f x f -⋅+≥++． 证明：⑶令1111()()[ln(2)][ln()ln(2)]2222

h x f x a x a x x a a a =-++=+--+， 1'()ln()ln(2),'()02

x h x x a a h a x a =++--=+， 211''()0,''()0()

h x h a x a x a =+>=++，故'()h x 在(0,)+∞上单调递增， 当0x a <<时，'()'()0h x h a <=，()h x 在(0,)a 上单调递减，故()()0h x h a >=； 当x a ≥时，'()'()0h x h a ≥=，()h x 在(,)a +∞上单调递增，故()()0h x h a ≥=。 故当0x >时总有()0h x ≥，同理，()0h y ≥，()0h z ≥，故()()()0h x h y h z ++≥，代入移项得证。

【例3】已知函数2

()2ln 1f x a x x =-+。

⑴当1a =时，求函数()f x 的单调区间及()f x 的最大值；

⑵令()()g x f x x =+，若()g x 在定义域上是单调函数，求a 的取值范围； ⑶试比较22222ln 2ln 3ln 4ln 5

ln n

+++++与232(1)n n n n --+的大小并证明你的结论（其中*2,)n n N ≥∈。