解析函数的各种等价条件及其应用

解析函数的各种等价条件及其应用

1引言

解析函数是复变函数研究的主要对象，对于解析函数的各种等价条件及其应用前人已做了不少很详细的研究．在复变函数中，关于复变函数解析的充要条件除了用导数的定义及公式引出外，还有一个十分重要的柯西—黎曼方程，另外还可以借助很多相关定理，如柯西积分定理及其逆定理，再结合积分、级数等相关知识来刻画．因此，如何灵活应用复变函数解析方面的知识显的至关重要．下面就从解析函数的定义出发来刻画解析函数的各种等价条件．

2 解析函数的定义及其相关定理

2.1解析函数的定义

用复变函数在一点极限的概念，函数连续定义以及函数在一点可微的概念引出解析函数在一点、一个区域和闭域的定义，主要有如下定义

定义 1

[]()

12829P -P 如果函数)(z f 在0z 点及0z 点的某个邻域内处处可微，称函数)(z f

在0z 点解析．

定义2

[]()

249P 如果函数)(z f 在区域D 内可微，则称)(z f 为区域D 内的解析函数，或称函数

)(z f 在区域D 内解析.

定义3

[]()

343P 若存在区域G ，使闭区域D G ⊂，且函数)(z f 在区域G 内解析，则称)(z f 在

闭区域D 上解析．

由定义可知，解析函数这一重要概念，是与相伴区域密切联系的，可以这样说，函数在区域内解析与函数在区域内可微是等价的．但须注意，函数在一点处解析和可微是两个不等价的概念，即函数在一点解析必定在这一点可微，反之则不成立．

2.2 解析函数的相关定理 定理1

[]()

42122P -P （柯西-黎曼方程） 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，那么

函数)(z f 在点iy x z +=可微的充分与必要条件是：

（1）在点iy x z +=，),(y x u 及),(y x v 可微； （2）

,u v u v

x y y x

∂∂∂∂==-∂∂∂∂．简称..-C R 方程

..-C R 方程是判断复变函数解析的必要条件．在哪个区域内不满足它，函数在哪个区域就不解

析．而在现行教材中，判断函数解析的等价条件还有如下定理

定理2

[]()

253P 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，且在D 内一

点iy x z +=可微，则必有（1）偏导数y x y x v v u u ,,,在点),(y x 存在；

（2）),(y x u ，),(y x v 在点),(y x 满足..-C R 方程．

定理3

[]()

256P 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充分条件是

（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；

（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程．

并且()u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x

∂∂∂∂∂∂∂∂'=

+=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂ 定理4

[]()

2104P 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析， C 为D 内任一条周线，则

⎰

=C

dz z f 0)(．称为柯西积分定理．

判断单值复变函数)(z f 在区域G 中解析，除了用导数的定义及公式外，还可以借助有关定理，

如柯西积分定理的逆定理——摩勒拉定理．

定理5

[]()

2128P 若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有

⎰

=C

dz z f 0)(，

则)(z f 在D 内解析．称为摩勒拉定理．

定理6

[]()

2132P 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为

),(y x u 的共轭调和函数．

定理7

[]()

2132133P -P 设),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由

()()

()

00,,,x y x y u u

v x y dx dy C y x

∂∂=-

++∂∂⎰

所确定的函数),(y x v ，使()u iv f x +=是D 内的解析函数． 定理8

[]()

2158159P -P （1）幂级数0

()()

n

n n f z c z a ∞

==

-∑ （1.1）

的和函数)(z f 在其收敛R a z K <-:（0R <≤+∞）内解析． （2）在K 内，幂级数（1.1）可以逐项求导至任意阶，

即()

()()()1!12p p p f

z p c p p

c z a +=++-+

()

()()

11n p

n n n n p c z a -+--+-+

．

()1,2,p = （1.2）

还有，（1.1）和（1.2）的收敛半径R 相同．

(3)()()

()0,1,2,

!

p p f a c p p ==．

在研究解析函数时，幂级数之所以重要，还在于定理8的逆命题也是一个重要定理．即有

定理9

[]()

2159162P -P （泰勒定理） 设函数)(z f 在区域D 内解析， D a ∈，只要

圆R a z K <-:含于D ．则)(z f 在K 内能展成幂级数0

()()

n

n n f z c z a ∞

==

-∑，其中系数

()11()()2()!

n n n f f a c d i a n ρζζπζ+Γ==-⎰ （:a ρζρΓ-=，R <<ρ0；0,1,2,n =）

且展式是惟一的．

3 解析函数的各种等价条件及其应用

3.1 等价条件1及其应用

条件1 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是

（1）二元函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微； （2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 由定理1和定义2可知该条件成立． 用此条件可以判断函数在某区域是否解析． 例1 判断函数()(

)3

2

23

33f z x xy i x y y

=-+-的解析性． 解 由()()()(

)3

2

2

3

,,33f z u x y v x y x xy i x y y =+=-+-

得到

()()3223,3,,3u x y x xy v x y x y y =-=-在复平面上可微

又因为

222233,33,6,6u v u v

x y x y xy xy x y y x

∂∂∂∂=-=-=-=∂∂∂∂