解析函数的各种等价条件及其应用

解析函数的各种等价条件及其应用
1引言
解析函数是复变函数研究的主要对象，对于解析函数的各种等价条件及其应用前人已做了不少很详细的研究．在复变函数中，关于复变函数解析的充要条件除了用导数的定义及公式引出外，还有一个十分重要的柯西—黎曼方程，另外还可以借助很多相关定理，如柯西积分定理及其逆定理，再结合积分、级数等相关知识来刻画．因此，如何灵活应用复变函数解析方面的知识显的至关重要．下面就从解析函数的定义出发来刻画解析函数的各种等价条件．
2 解析函数的定义及其相关定理
2.1解析函数的定义
用复变函数在一点极限的概念，函数连续定义以及函数在一点可微的概念引出解析函数在一点、一个区域和闭域的定义，主要有如下定义
定义 1
[]()
12829P -P 如果函数)(z f 在0z 点及0z 点的某个邻域内处处可微，称函数)(z f
在0z 点解析．
定义2
[]()
249P 如果函数)(z f 在区域D 内可微，则称)(z f 为区域D 内的解析函数，或称函数
)(z f 在区域D 内解析.
定义3
[]()
343P 若存在区域G ，使闭区域D G ⊂，且函数)(z f 在区域G 内解析，则称)(z f 在
闭区域D 上解析．
由定义可知，解析函数这一重要概念，是与相伴区域密切联系的，可以这样说，函数在区域内解析与函数在区域内可微是等价的．但须注意，函数在一点处解析和可微是两个不等价的概念，即函数在一点解析必定在这一点可微，反之则不成立．
2.2 解析函数的相关定理 定理1
[]()
42122P -P （柯西-黎曼方程） 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，那么
函数)(z f 在点iy x z +=可微的充分与必要条件是：
（1）在点iy x z +=，),(y x u 及),(y x v 可微； （2）
,u v u v
x y y x
∂∂∂∂==-∂∂∂∂．简称..-C R 方程
..-C R 方程是判断复变函数解析的必要条件．在哪个区域内不满足它，函数在哪个区域就不解
析．而在现行教材中，判断函数解析的等价条件还有如下定理
定理2
[]()
253P 设函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内有定义，且在D 内一
点iy x z +=可微，则必有（1）偏导数y x y x v v u u ,,,在点),(y x 存在；
（2）),(y x u ，),(y x v 在点),(y x 满足..-C R 方程．
定理3
[]()
256P 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充分条件是
（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；
（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程．
并且()u v v u u u v v f z i i i i x x y y x y y x
∂∂∂∂∂∂∂∂'=
+=-=-=+∂∂∂∂∂∂∂∂ 定理4
[]()
2104P 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析， C 为D 内任一条周线，则
⎰
=C
dz z f 0)(．称为柯西积分定理．
判断单值复变函数)(z f 在区域G 中解析，除了用导数的定义及公式外，还可以借助有关定理，
如柯西积分定理的逆定理——摩勒拉定理．
定理5
[]()
2128P 若函数)(z f 在单连通区域D 内连续，且对D 内任一周线C ，有
⎰
=C
dz z f 0)(，
则)(z f 在D 内解析．称为摩勒拉定理．
定理6
[]()
2132P 若函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析，则在区域D 内),(y x v 必为
),(y x u 的共轭调和函数．
定理7
[]()
2132133P -P 设),(y x u 是在单连通区域D 内的调和函数，则存在由
()()
()
00,,,x y x y u u
v x y dx dy C y x
∂∂=-
++∂∂⎰
所确定的函数),(y x v ，使()u iv f x +=是D 内的解析函数． 定理8
[]()
2158159P -P （1）幂级数0
()()
n
n n f z c z a ∞
==
-∑ （1.1）
的和函数)(z f 在其收敛R a z K <-:（0R <≤+∞）内解析． （2）在K 内，幂级数（1.1）可以逐项求导至任意阶，
即()
()()()1!12p p p f
z p c p p
c z a +=++-+
()
()()
11n p
n n n n p c z a -+--+-+
．
()1,2,p = （1.2）
还有，（1.1）和（1.2）的收敛半径R 相同．
(3)()()
()0,1,2,
!
p p f a c p p ==．
在研究解析函数时，幂级数之所以重要，还在于定理8的逆命题也是一个重要定理．即有
定理9
[]()
2159162P -P （泰勒定理） 设函数)(z f 在区域D 内解析， D a ∈，只要
圆R a z K <-:含于D ．则)(z f 在K 内能展成幂级数0
()()
n
n n f z c z a ∞
==
-∑，其中系数
()11()()2()!
n n n f f a c d i a n ρζζπζ+Γ==-⎰ （:a ρζρΓ-=，R <<ρ0；0,1,2,n =）
且展式是惟一的．
3 解析函数的各种等价条件及其应用
3.1 等价条件1及其应用
条件1 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是
（1）二元函数),(),,(y x v y x u 在区域D 内可微； （2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 由定理1和定义2可知该条件成立． 用此条件可以判断函数在某区域是否解析． 例1 判断函数()(
)3
2
23
33f z x xy i x y y
=-+-的解析性． 解 由()()()(
)3
2
2
3
,,33f z u x y v x y x xy i x y y =+=-+-
得到
()()3223,3,,3u x y x xy v x y x y y =-=-在复平面上可微
又因为
222233,33,6,6u v u v
x y x y xy xy x y y x
∂∂∂∂=-=-=-=∂∂∂∂
显然),(),,(y x v y x u 满足..-C R 方程 由条件1可知，函数)(z f 在复平面上解析
例2 证明函数(
)f z 在0z =处不解析 证明 设iy x z +=，),(),()(y x iv y x u z f += 则(
)(),,0u x y v x y =
在点0z =处
()()000
,00,00
lim
lim 0x x z u x u u x x x
∆→∆→=∆-∂===∂∆∆
()()000
0,0,00
lim
lim 0y y z u y u u y x y ∆→∆→=∆-∂===∂∆∆
0,
0z z v v x
y
==∂∂==∂∂
可见函数()f z 在0z =处满足..-C R 方程． 令i z re θ
∆=∆ 则
()(
)00000lim lim lim i i z z z f z f f z z e r e θθ
∆→∆→∆→+∆-∆===∆∆∆极限随θ的不同而不同，故函数()f z 在0z =不可微． 因此函数()f z 在0z =不解析
这个例子也说明了..-C R 方程是函数解析的必要条件而非充分条件． 3.2 等价条件2及其应用
二元函数的可微性可以通过偏导数连续判断出来，因此由条件1出发，再应用解析函数的无穷可微性可得到解析函数的等价条件，也就是根据解析函数任意阶导数存在，可以得到应用起来更方便的条件．
条件2 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是
（1）y x y x v v u u ,,,在D 内连续；
（2）),(),,(y x v y x u 在D 内满足..-C R 方程． 证明 由定理3推出充分性．
必要性 由定理2知，条件（2）的必要性成立，
再由解析函数的无穷可微性，即解析函数的导数还是解析函数， 可知()f z '必在D 内连续．所以y x y x v v u u ,,,必在D 内连续．证毕
由于复变函数的表示法不同，我们可以根据题目中的具体函数而灵活应用．条件2在证明复变函数解析性方面有很广泛的应用，是复变函数论中判断函数是否解析的最重要的方法之一．
例3 判断函数z
z
z f -=
1)(的解析性． 解 令θ
i re z =
则r r i
r r z f θ
θθθ2sin sin 2cos cos )(---=
又因为()cos cos 2,r u r r θθθ-=，()sin sin 2,r v r r
θθ
θ-=-
2cos r u r θ-=，2sin r v r θ=，r r u --=
θ
θθ2sin 2sin ，cos 2cos 2r v r
θθθ+=- 四个偏导数处处不满足..-C R 方程，所以)(z f 在z 平面上处处不解析．
例4 证明函数)sin (cos )(y i y e z f x
-=在z 平面上解析． 证明 因y e y x u x cos ),(=，y e y x v x
sin ),(-=
故y e u x x cos =，y e v x x sin -=，y e u x y sin -=，y e v x
y cos -=
在z 平面上处处连续，
且x y u v =，y x u v -= 所以)(z f 在z 平面上解析． 3.3 等价条件3及其应用
我们知道，复积分的值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关，也就是定理3，这是研究复变函数的钥匙．我们可以利用此定理及其逆定理得出函数解析的一个等价条件．
条件3 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是
（1）)(z f 在D 内连续；
（2）对任一周线C ，只要C 及其内部包含于D 内，就有⎰
=C
dz z f 0)(．
证明 由定理4可知条件3的必要性成立．
充分性 区域ρξ<-0:z K 是D 内任一点0z 的一个邻域．只要ρ充分小． 根据定理5，就知道函数)(z f 在圆K 内解析．
又因为0z 为G 内任一点，所以函数)(z f 在G 内解析．证毕
由条件3可知，如果函数)(z f 在单连通区域D 内解析，那么函数)(z f 在D 内的任何一条封闭曲线
C 的积分值为零．
例5 求积分
⎰-C z dz
3的值，其中C 为正向圆周2=z ．
解 因为被积函数1
()3
f z z =-只有一个奇点3=z ．
而3=z 在2=z 的外部，
所以)(z f 在2z ≤内解析．由条件3得
03C dz
z =-⎰．
由定理4可知，如果在单连通区域D 内函数)(z f 解析，则沿D 内任一曲线L 的积 分
()L
f d ζζ⎰只与其起点和终点有关，而与积分路径无关，因此，结合数学分析中积分基本定理（牛
顿—莱布尼兹公式），若()z Φ为函数()f z 在单连通区域D 内的任意一个原函数， 则
()()()0
z
z f d z z ζζ=Φ-Φ⎰ （z ，0
z
D ∈）
例6 计算积分
()2
sin C
z
z dz +⎰，其中C 为摆线:()()sin ,1cos x a y a θθθθ=-=-从0θ=到
2θπ=的一段．
解 因为被积函数()2
sin f z z z =+在z 平面上解析，所以积分只与路径的起点、终点有关，而
与路径无关．
当0θ=时，0z = 当2θπ=时，2z x a π== 故C 可以简化成沿实轴的路径 所以
()()22
2
sin sin a
C
z
z dz x
x dx π+=+⎰⎰
()23330
18
cos cos 2133
a
x x a a πππ⎡⎤
=-=-+⎢⎥
⎣⎦ 从例题可以看出此条件适合于被积函数实部与虚部的积分比较好计算的情况． 3.4 等价条件4及其应用
复变函数中，满足..-C R 方程是函数解析的一个重要条件，而解析函数与共轭调和函数之间也
存在很多联系．因此，我们可以根据共轭调和函数的定义及定理推导函数解析的等价条件．
定义4
[]()
2131P 如果二元实函数),(y x H 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程
0xx yy
H H H ∆=+=，则称),(y x H 为区域D 内的调和函数，其中22
22x y
∂∂∆≡+∂∂．
定义 5
[]()
2131P 在区域D 内满足..-C R 方程的两个调和函数),(),,(y x v y x u 中，),(y x v 称为
),(y x u 在区域D 内的共轭调和函数．在此，u 与v 不可调换顺序．
根据定理6和定理7我们可以得出解析函数的又一个等价条件
条件4 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是在区域D 内),(y x v 是),(y x u 的共轭调和函数．
由条件4及相关定义，可知，如果已知一个调和函数),(y x u ，我们可求得它的共轭调和函数),(y x v ，从而构成一个解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=．同理，如果已知一个调和函数),(y x v ，我们也可以求出它的共轭调和函数),(y x u ，构成一个解析函数．这类问题，一般是用..-C R 方程去求解．我们看下面的例子
例7 验证2
3
3),(xy x y x u -=是z 平面上的调和函数，求解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=使
0)0(=f ．
解 2
233y x u x -=，xy u y 6-=，x u xx 6=，6yy u x =-
因为0xx yy u u +=
所以 ),(y x u 是z 平面上的调和函数． 由..-C R 方程．2
2
33y x v u x y ==-得出
()()()22,()33x v x y u dy x x y dy x ϕφ=+=-+⎰⎰
所以 ()2
3
,3()v x y x y y x ϕ=-+．
再由..-C R 方程得'
6()6x y v xy x xy u ϕ=+==-
2
3
(,)3v x y x y y c =-+ 所以()()
3
f z i z c =+
因此3
(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3
()f z z =．
但有时此方法较多且繁，我们还可以通过下面这种比较简便的方法来解决．
解 由于),(y x u 为调和函数． 所以c dy y x xydx dy y x xydx y x v y x x x +-++-+=
⎰
⎰
)33(6)33(6),()
,()
0,(22)
0,()
0,0(2
2
c y y x c dy y x y
+-=+-=
⎰
3220
23)33(．
可得3
(0)(0)0f i c =+=,得0=c 所以解析函数为3
()f z z =．
3.5 等价条件5及其应用
综合定理8和定理9可得出刻画解析函数的又一等价条件
条件5 函数)(z f 在区域D 内解析的充要条件是)(z f 在D 内任一点a 的邻域内可展成a z -的幂级数．
例8 将z
e 展成z 的幂级数，并指明其收敛范围． 解 由于()
()
1n z
z
z z e
e ====，0,1,2,
n
=
所以2
11!2!
!
n z z z z e n =+++++ （*）
注意到z
e 在整个z 平面上处处解析，故z
e 的解析区域的边界为∞， 而原点到∞的距离R =+∞
所以（*）式在整个z 平面上处处成立
注意任意一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数．
例9
将函数3)(
z z f ==⎭
按1-z 的幂展开，并指明其收敛范围． 解
3
13
33
)]1(1[1)1(1-+=-+=z z z
])1(!)
131
()131(311[2311
n n z n n i -+--++-=∑∞
=
收敛范围为11<-z
4 总结
综上所述，解析函数的各种等价条件对我们更深刻地理解复变函数提供了很大的帮助.若函数
),(),()(y x iv y x u z f +=在D 内满足..-C R 方程，而且(),u x y 和(),v x y 具有一阶连续偏导数，那
么函数()f z 在D 内解析，也就是利用条件1和条件2可用来判断函数在某区域内的解析性和不解析性；条件3可用来计算某些复变函数的积分，特别是一些被积函数的实部和虚部容易被计算的积分；另外，若已知一个调和函数，求满足特定条件的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的问题，可利用条件4来分析解决；最后条件5则根据函数()f z 在区域D 内任一点是否可以展成z a -形式的幂级数来判断函数的解析性，并根据相关性质为我们求幂级数的收敛区域提供了一种更为简单的方法．在证明和计算过程中，我们可以根据题目的具体要求灵活选择适当的方法解决，使问题简单化．得注意的是，在条件3的应用中都是被积函数在包围积分路径的单连通区域内解析或有一个奇点的情况下进行积分的，解题时应注意．通过刻画解析函数的各种等价条件，使我们知道了解析函数在复变函数中的重要性，它几乎贯穿了复变函数论的始终，因此，更进一步探讨解析函数的各种等价条件是非常必要的．
参考文献：
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