船舶操纵运动一阶微分方程推导

若点 x 偏离点 x1 不远，即 ∆x 是个足够小量， 不远， 是个足够小量， 则可忽略上式中的高阶项，则得： 则可忽略上式中的高阶项，则得：
df ( x1 ) f ( x) = f ( x1 ) + ∆x ⋅ dx
上式即为函数 f (x) 在 x1 处的泰勒展开线性表达式。 可见，用泰勒级数展开需要确定展开点，若计算点与 展开点越接近，则采用线性化表达式就越能取得较高 的精度。
u , v —— O 点速度之动坐标系分量；
ɺ x Gψ
——动坐标系旋转而引起的牵连速度。
在式（5）中 N 为对重心 G 之力矩，现用N G 来表示之，则对 O 点之矩：
ɺ ɺ N = N G + M (v G + u Gψ ) ⋅ x G
船体惯性矩由移轴定理得：
2 I z = I zG + MxG
（8） （9）
将（7）、（8）、（9）式代入式（5）得到：
X = M (u − vψ − xGψ 2 ) ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ （10） Y = M (v + uψ + xGψɺ) N = I ψɺ + Mx (v + uψ ) ɺ ɺ z G ɺ
显然，式（5）是式（10）当 x G = 0 时的实例。
（3）
图2-3 （3）式两边对时间微分，得：
ɺ ɺ ɺ x ɺɺ0G = u cosψ + v sin ψ − (−u sin ψ + v cosψ )ψ ɺ ɺ ɺ y ɺɺ0G = u sin ψ + v cosψ − (u cosψ + v sin ψ )ψ
（4）
（4）式代入（1）式，再代入到（2）式，得：
O0 x 0 ——方向取为船舶总的运动方向上；
O 0 y 0 —— Ox 0 顺旋900方向上；
图2—1
O0 z 0 ——垂直于静水表面，指向地心为正，用右手法则确定；
ψ
——首向角；
O x 0G 、y 0G ——t时刻船舶重心在 O0 x 0 、 0 y 0方向的位移；
根据牛顿关于质心运动的动量和动量矩定理，可得：
ɺ ɺ X = M (u − vψ ) ɺ ɺ Y = M (v + uψ ) N = I ψɺ ɺ z
（5）
ɺ 因为 ψ＝ω， 所以得操纵运动一阶方程：
ɺ X = M (u − vω ) ɺ Y = M (v + uω ) （6） N = I ω ɺ z
考虑到重心在航行过程中是变化的，并不一定是固定的已知位置。又考 虑到船舶对称性，若将动坐标原点 O 点取于船中剖面处，可使流体惯性力 计算简化。因此，在操纵性研究中，普遍采用原点 O 点位于船中剖面处的 O − xyz 坐标系。 根据点 O 和点 的运动方程。
第二节
船舶操纵运动方程推导
一．操纵微分方程的建立
纵向运动 ——船舶在水面运动的特点：复合运动 横移运动 回转运动
固定坐标系 ——复合坐标系 运动坐标系
（一）操纵运动一般方程
1．固定坐标系 ．
O0 ——t=0时，重心 G 所在位置；
G
——船舶重心，坐标为 ( x 0G , y 0G ) ；
ɺ ω, δ ) ɺ ω, δ ) ɺ ω, δ )
（13）
进一步对式（13）按泰勒级数 泰勒级数展开，以求得水动 泰勒级数 力、力矩的解析表达式。 为什么用泰勒级数？有关泰勒级数的数学知识： 有关泰勒级数的数学知识： 有关泰勒级数的数学知识
df ( x1 ) ∆x 2 d 2 f ( x1 ) ∆x 3 d 3 f ( x1 ) ∆x n d n f ( x1 ) f ( x) = f ( x1 ) + ∆x ⋅ + ⋅ + ⋅ +…+ ⋅ +… 2 3 n dx 2! 3! n! dx dx dx
∂X ∂X ∂X ɺ ɺ ɺ ∆u + ∆v + ∆ω X = X (u1 , v1 , ω1 , u1 , v1 , ω1 , δ 1 ) + ∂u ∂v ∂ω ∂X ∂X ∂X ∂X 1 ∂ ∂ ∂ ɺ ɺ ɺ + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ + … + ( ∆u + ∆v + ∆ω ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂δ n! ∂u ∂v ∂ω ∂ ∂ ∂ ∂ ɺ ɺ ɺ + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ ) n ⋅ X + … ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂δ ∂Y ∂Y ∂Y Y = Y (u1 , v1 , ω1 , u1 , v1 , ω1 , δ 1 ) + ɺ ɺ ɺ ∆u + ∆v + ∆ω ∂u ∂v ∂ω ∂Y ∂Y ∂Y ∂Y 1 ∂ ∂ ∂ ɺ ɺ ɺ + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ + … + ( ∆u + ∆v + ∆ω ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂δ n! ∂u ∂v ∂ω ∂ ∂ ∂ ∂ ɺ ɺ ɺ + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ ) n ⋅ Y + … ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂δ N = N (u , v , ω , u , v , ω , δ ) + ∂N ∆u + ∂N ∆v + ∂N ∆ω ɺ1 ɺ1 ɺ1 1 1 1 1 ∂ω ∂u ∂v ∂N ∂N ∂N ∂N 1 ∂ ∂ ∂ ɺ ɺ ɺ + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ + … + ( ∆u + ∆v + ∆ω ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂δ n! ∂u ∂v ∂ω ∂ ∂ ∂ ∂ ɺ ɺ ɺ + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ ) n ⋅ N + … ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂δ
操纵运动流体动力方程式（13）是个多元函数关系，所以需采 用多元函数的泰勒级数展开，与单元情况类同，将式（13）展 开如下：
（14）
ɺ ɺ ɺ 式（14）中： X (u1 , v1 , ω1 , u1 , v1 , ω1 , δ 1 ) 、 ɺ ɺ ɺ Y (u1 , v1 , ω1 , u1 , v1 , ω1 , δ 1 ) 、 ɺ ɺ ɺ N (u1 , v1 , ω1 , u1 , v1 , ω1 , δ 1 ) 分别为展开点 ɺ ɺ ɺ (u1 , v1 , ω1 , u1 , v1 , ω1 , δ 1 ) 处的函数值；
为进一步简化问题，常忽略操纵运动过程中螺旋桨转速这 一因素的作用，即作为对某一特定状态而言；并考虑到操舵过 程短暂，故 δ 影响不大，可以忽略。则得通常的水动力关系 ɺ 式为：
ɺ ɺ X = X (u , v, ω , u , v, ɺ ɺ Y = Y (u , v, ω , u , v, N = N (u , v, ω , u , v, ɺ ɺ
M ——船舶及附连水的质量； O0 x 0 ——作用在船舶的外力合力沿 X 0 轴的分量；
x X 0 = Mɺɺ0G y Y0 = Mɺɺ0G N = I ψɺ ɺ z
O 0 y 0 ——作用在船舶的外力合力沿 Y0 轴的分量；
N ——外力合力对通过船舶重心铅垂轴之矩；
I z ——船舶质量对通过重心铅垂轴的惯性矩；
船体几何特征 船体运动特征 流体特征
N
（11）
仅考虑对某一给定船型、在给定流体中运动的情况。由上式可得：
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ X = X (u , v, ω , u , v, ω , n, n, δ , δ ) ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ Y = Y (u , v, ω , u , v, ω , n, n, δ , δ ) ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ N = N (u , v, ω , u , v, ω , n, n, δ , δ )
X = X 0 cosψ − Y0 sinψ （2） Y = Y0 cosψ + X 0 sinψ
注意：此处将动坐标原点和重心 G 作重合处理。
3．两坐标系速度分量之间的关系 ．
ɺ x0G = u cosψ + v sinψ ɺ y 0G = u sin ψ − v cosψ
对于单变量 x 的函数 f (x) ，如果在点 x = x1 处， 的各阶导数均连续，则 邻域中任何 处的值 x f可以用 (x) 来表征，即： x1 x1
f (x) —— x1 邻域中任意一
f ( x1 ) —— x1 处的函数值；
d n f ( x1 ) dx
n
x 处的函数值；
——在
x = x1 处 n 阶导数之值。
ɺɺ0G ——重心 G 点线加速度沿 O0 x 0 轴的分量； x ɺɺ0G ——重心 y
G 点线加速度沿 O0 y 0轴的分量；
ɺ ψɺ
——重心 G 绕轴 O0 z 0角加速度。
2．运动坐标系 ． 由图2—1、图2—2可得：作 用在船体上的合外力，设其在动坐 标轴上的分量分别为 X 、Y ：
图2—2
（二）线性操纵运动微分方程
1．根据式（10），先探讨等号左侧的作用于船体的水运动 ．根据式（ ）， ），先探讨等号左侧的作用于船体的水运动 和力矩的线性表达式。 和力矩的线性表达式。
X ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ Y = f ( L, m, I z , xG , 船型参数; u , v, ω , u , v, ω , n, n, δ , δ ; ρ , µ , g ,τ , p, p v ⋯)
，…，统称为水动力导数， 分别表示为船舶作匀速直线运动，只改变某一运动参 数，而其他参数皆不变时，所引起的作用于船舶的水 动力（或力矩）对该运动参数的变化率。
∂X Xu = 式中： ∂u
∂Y Yω = ， ∂ω
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（18）
对（18）式考虑到泰勒级数展开点对应于匀速直线 运动，此时船舶运动左右对称，无横向力，故: Y (u 1 ) = 0 ， N ( u 1 ) = 0 ； 为保持匀速直线运动， X 方向的受力应使螺旋桨的 推力与船体阻力相平衡，故 X (u1 ) = 0 ；再考虑到船体几 何形状左右对称， X 方向速度、加速度的变化不会引起 侧向力和偏航力矩，即 Yu = Yuɺ = N u = N uɺ = 0 ； ω 横向运动参数 v 、ɺ 、ω 、 ɺ 、δ 的变化对 X 方向 v 水动力的影响应具有对称性，即 X 可表示为 v 、v 、 ɺ ω ω 、ɺ 、δ 的偶函数，以使原点处的一阶偏导数为零， 即 X v = X vɺ = X ω = X ω = X δ = 0 ； ɺ
（17）
简化为：
ɺ X = X (u1 ) + X u ∆u + X v ∆v + X ω ∆ω + X u ∆u + X v ∆v + X ω ∆ω + X δ ∆δ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ Y = Y (u1 ) + Yu ∆u + Yv ∆v + Yω ∆ω + Yu ∆u + Yv ∆v + Yω ∆ω + Yδ ∆δ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ N = N (u ) + N ∆u + N ∆v + N ∆ω + N ∆u + N ∆v + N ∆ω + N ∆δ ɺ ɺ ɺ ɺ 1 u v ω u ɺ v ɺ ω δ
G 物理量间的关系，根据式（5）写出 O − xyz 系中
设点 G 在 中的坐标为 ( x G ,0,0) ，并将式（5）中的 u 、v 理解为重心 G 点之值，以 u G 、 v G 来区别之，则点 G 与点 O 之速度关系 为：
O − xyz
u = u G ɺ v = vG − xGψ
（7）
u1 = const ɺ ɺ ɺ v1 = ω1 = u1 = v1 = ω1 = δ 1 = 0
（16）
若所计算状态的流体动力、力矩与展开点愈接近， 取式（14）中的线性项可得到足够的精度，则线性表 达式为：
∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ɺ ɺ ɺ ∆u + ∆v + ∆ω + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ X = X (u1 ) + ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂u ∂v ∂ω ∂δ ∂Y ∂Y ∂Y ∂Y ∂Y ∂Y ∂Y ɺ+ ɺ+ ɺ+ ∆u + ∆v + ∆ω + ∆u ∆v ∆ω ∆δ Y = Y (u1 ) + ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂u ∂v ∂ω ∂δ ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N ∂N ɺ ɺ ɺ N = N (u1 ) + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆u + ∆v + ∆ω + ∆δ ɺ ɺ ɺ ∂u ∂v ∂ω ∂u ∂v ∂ω ∂δ
∆u = u − u1 ɺ ɺ ɺ ∆u = u − u1 ∆δ = δ − δ 1 ∆v = v − v1 ɺ ɺ ɺ ∆v = v − v1 ∆ω = ω − ω1 ɺ ɺ ɺ ∆ω = ω − ω1
式（15）
在船舶操纵性研究中，如选取舵位于中间位 置 (δ = 0)，船以匀速沿其中纵剖面方向的定常直线运 动状态为初始状态，即为泰勒级数的展开点，则：