弹簧质量阻尼系统模型

自动控制原理综合训练项目题目：关于MSD系统控制的设计

目录

1设计任务及要求分析3 1.1初始条件3

1.2要求完成的任务4

1.3任务分析4

2系统分析及传递函数求解5 2.1系统受力分析5

2.2 传递函数求解10

2.3系统开环传递函数的求解11

3.用MATLAB对系统作开环频域分析12 3.1开环系统波特图12

3.2开环系统奈奎斯特图及稳定性判断14

4.系统开环频率特性各项指标的计算16

总结19

参考文献20

弹簧-质量-阻尼器系统建模与频率特

性分析

1设计任务及要求分析

1.1初始条件

已知机械系统如图。

b

2

k y

1

p 2k

x 图1.1 机械系统图

1.2要求完成的任务

（1） 推导传递函数)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X ，

（2） 给定m N k m N k m s N b g m /5,/8,/6.0,2.0212==•==，以p 为输入

)(t u

（3） 用Matlab 画出开环系统的波特图和奈奎斯特图，并用奈奎斯特判据

分析系统的稳定性。

（4） 求出开环系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度。

（5） 对上述任务写出完整的课程设计说明书，说明书中必须进行原理分

析，写清楚分析计算的过程及其比较分析的结果，并包含Matlab 源程序或Simulink 仿真模型，说明书的格式按照教务处标准书写。

1.3任务分析

由初始条件和要求完成的主要任务，首先对给出的机械系统进行受力分析，列出相关的微分方程，对微分方程做拉普拉斯变换，将初始条件中给定的数据代入，即可得出)(/)(s X s Y ，)(/)(s P s X

两个传递函数。由于本系统是一个单位负

反馈系统，故求出的传递函数即为开环传函。后在MATLAB 中画出开环波特图和奈奎斯特图，由波特图分析系统的频率特性，并根据奈奎斯特判据判断闭环系统位于右半平面的极点数，由此可以分析出系统的稳定性。最后再计算出系统的截止频率、相角裕度和幅值裕度，并进一步分析其稳定性能。

2系统分析及传递函数求解

2.1系统受力分析

单自由度有阻尼振系的力学模型如图2-1所示，包括弹簧、质量及阻尼器。以物体的平衡位置0为原点，建立图示坐标轴x 。则物体运动微分方程为

kx x c x m －＝－&&&（2-1）

式中 ： x c &-为阻尼力，负号表示阻尼力方向与速度方向相反。

图

2-1

将上式写成标准形式，为

0=++kx x c x m &&& (2-2） 令p 2=

m k , m

c

n =2, 则上式可简化为 022=++p x n x &&&(2-3)

这就是有阻尼自由振动微分方程。它的解可取st e x =，其中

s 是待定常数。代入（2-1）式得 0)2(22=++st e p ns s ，要使所有时间内上式都

能满足，必须0222=++p ns s ，此即微分方程的特征方程，其解为

222,1p n n s -±-=（2-4）

于是微分方程（2-1）的通解为

)(2222212121t

p n t

p n nt

t

s t

s e

c e

c e

e

c e c x ----+=+= （2-5）

式中待定常数c 1与c 2决定与振动的初始条件。振动系统的性质决定于根式

22p n -是实数、零、还是虚数。对应的根s 1与s 2可以是不相等的负实根、相

等的负实根或复根。若s 1与s 2为等根时，此时的阻尼系数值称之为临界阻尼系数，记为c c ，即c c ＝2mp 。引进一个无量纲的量ζ，称为相对阻尼系数或阻尼比。

c c c mp c p n /2//===ζ（2-6）

当n>p 或ζ>1,根式22p n -是实数，称为过阻尼状态，当n

22p n -是虚数，称为弱阻尼状态，当n ＝p ，即ζ＝1，称为临界阻尼状态。现

分别讨论三种状态下的运动特性。

1.过阻尼状态

此时ζ>1，即22p n -

式所表示的是两条指数曲线之和，仍按指数衰减，不是振动。图3-2所示为c 1>c 2,c 1<0时的情况。 图2-2

2.临界阻尼状态

此时ζ＝1，（b ）式中s 1＝s 2＝－n ＝－p ，特征方程的根是重根，方程（2-1）的另一解将为te －pt ，故微分方程（2-1）的通解为

x ＝（c 1＋c 2t ）e －pt （2-7）

式中等号右边第一项c 1e －pt 是一根下降的指数曲线，第二项则可应用麦克劳林级数展开成以下形式：

!

/!3/!2//12322

/22n t p t p t p p t c e c te c n n t pt pt +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++==

-（2-8） 从上式看出，当时间t 增长时，第二项c 2te －pt 也趋近于零。因此（c ）式表示的运动也不是振动，也是一个逐渐回到平衡位置的非周期运动。

3.弱阻尼状态

此时p>n,或ζ<1。利用欧拉公式

t n p i t n p e e t

n p t

p n 2222sin cos 2222-±-==-±

-±

（2-9）

可将（2-2）式改写为

)

sin cos ()(222221212222t n p D t n p D e e

C e

C e

x nt t

n p i t

n p i nt

-+-=+=-----（2-10）

或

)sin(22ϕ+-=-t n p Ae x nt （1-11）

令22n p p d -=

，则

)sin(ϕ+=-t p Ae x d nt （2-12）

式中A 与ϕ为待定常数，决定于初始条件。设t ＝0时，x ＝x 0，0x x &&=，则可求

得

0012002

,)(x nx x p

x tg p nx x A d d +=++=-&&ϕ（2-13）

将A 与ϕ代入（2-4）式，即可求得系统对初始条件的响应，由式（2-13）可知，