2014年北京工业大学865线性代数考研真题【圣才出品】

0 0 2 ， 若 P (1 ,2 ,3 ，)
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Q (1,1 2,3) ，则 QT AQ （ ）。
1 1 0
1
2
0
A． 0ຫໍສະໝຸດ Baidu0 2
1 1 0
1
1
0
B． 0 0 2
1 0 0
0
1
0
C． 0 0 2
，维数是
。
D a 5．设 n
ij nn 是 n 阶行列式，其中 aii 2 , ai,i1 ai1,i 1 , i 1, 2,
,n 1，则
Dn
（写出具体表达式）。
二、选择题（将正确答案的选项填入括号中，本题共 25 分，每小题 5 分）
1 0 0
PT
AP
0
1
0
1 ． 设 A,P 均 为 3 阶 矩 阵 ， 且
六、（本题 18 分）设 A 是实数域上的 n 阶矩阵，且 A2 2A 3E ． （1）证明：矩阵 A 可逆，并用矩阵 A 的多项式表示出 A1 的逆； （2）证明： r(A E) r(A 3E) n ； （3）证明： A 是可对角化矩阵并且可以表示成 2 个可逆的对称矩阵乘积。
七、（本题 24 分）设 A , B 是实数域上 n 阶矩阵， f (x) 是矩阵 B 的特征多项式．令 f (k) (x) 表示 f (x) 的 k 阶导数， C AB BA，假定 C 与 A , B 可交换，证明： （1）对任意正整数 k ，有 ABk Bk A kBk1C ； （2）对每个正整数 k n ，有 f (k) (B)Ck 0 ，特别地有 Ck 0nn ； （3）若 A , B 均为实对称矩阵，则 AB BA。
1 0 0
0
2
0
D． 0 0 2
2．秩为 r 的 n 阶方阵 A 满足 A2 2A ，则行列式 A E （ ）。 A． (1)r 3r
B． 3r C． (1)r 2r D． 2r
a b b
A
b
a
b
3．设 b b a ，且 A 的伴随矩阵 A 的值是1，则 a 和 b 的关系是（ ）。
A． a b
B． a b且a 2b
C． a b且a 2b 0
D． a 2b 0
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4．向量组1 , 2 , 3 线性无关，而2 , 3 , 4 线性相关，则下面论断正确的是（ ）。 A．1 能被2 , 3 , 4 线性表出 B．1 不能被2 , 3 , 4 线性表出 C．1 能被2 , 4 线性表出 D．4 不能被2 , 3 线性表出
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五、（本题 20 分）设V 是数域 P 上的 n 维线性空间， 是V 的线性变换， (1) 21 ，I 为V 上恒等变换，向量组1,2, ,n 满足 ( 2I )i1 i , (i 1, 2, , n 1) ． （1）证明1,2, ,n 为V 的一组基； （2）求 在1,2, ,n 下的矩阵．
5．设V ,U 分别是 n 维、 m 维线性空间 m n ， :V U 的线性映射，则（ ）。
A． dim ker dim Im n B． dim ker dim Im m C． dim ker dim Im m n D． dim ker dim Im m n
三、（本题 18 分）已知线性方程组
x1 x2 x3 1 2x1 (a 2)x2 (a 1)x3 a 3 x1 2x2 ax3 3 有无穷多解；设 A 是三阶方阵，1 (1, a, 0)T ,2 (a,1, 0)T ,3 (0, 0, a)T 分别为 A 的属
于特征值 λ1 1, λ2 2, λ3 1的特征向量。
。
1 2 1 x1
x1
,
x2
,
x3
4
2
2
x2
3．二次型
1 2a 0 x3 的秩 2 ，则 a
（写出具体数字）。
1 1 0
A
0
1
1
4．设 0 0 1 ，T B | AB BA ，其中 B 为 3 阶实方阵，T 关于矩阵加法和
数乘构成 R 线性空间，则T 的一组基为
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2014 年北京工业大学 865 高等代数考研真题
一、填空题（写出正确答案，本题共 25 分，每小题 5 分）
1 1 1
A 1 1 1
1．如果实方阵 1 1 1 ，则 An
。
2．已知 3 阶矩阵 A 的特征值是方程 x3 1的三个不同根，则 A E
（1）求所给线性方程组的通解；
（2）求矩阵 A ；
A 3E
（3）求行列式
的值。
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四、（本题 20 分）设 是欧氏空间中一个单位向量，定义 (a) a 2(, a) ．证明： （1） 是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射； （2）如果 n 维欧式空间中正交变换 以1作为一个特征值，且属于特征值1的特征子空间V1 的维数为 n 1，则 一定是镜面反射。