第九章控制系统的分析-1
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•绘制曲线，输入为LTI数学模型的属性。
impulse (num,den) impulse (num,den,t) 使用方法和step函数相同
•带有输出变量的调用格式，此时不绘图。 [y,t] = impulse (sys) [y,t,x] =impulse (sys) y = impulse (sys,t)
例9.1.5 二阶系统的传递函数为
16 G( s) 2 s 3s 16
当系统的输入信号是幅值为1，周期为8秒 的方波时，绘制系统的输出响应曲线。
9.2 线性系统的根轨迹
根轨迹绘制 计算根轨迹增益
根轨迹绘制 格式 rlocus(sys) rlocus(sys,k) 绘制系统的根轨迹 rlocus(sys1,sys2,...) [R,K] = rlocus(sys) R = rlocus(sys,k) %指定的根轨迹增益K值来 %绘制多个系统的根轨迹 %不绘制，带参数 %不绘制，带参数
例9.1.1 典型二阶系统传递函数为
2 n Gc (s) 2 2 s 2 n s n
试分析不同参数下的系统单位阶跃响应。 1 假设将自然频率固定为wn=1, ζ＝ 0,0.1,0.2,0.3,…1,2,3,5。 2 将阻尼比ζ的值固定在ζ＝0.55, wn=0.1~1。
编写函数求取SISO系统的单位阶跃响应特征量。 格式 [pos,tr,ts,tp]=stepchar(g0,delta) 说明 g0为SISO系统的数学模型，delta为稳态误 差带宽度，pos为超调量，tr为上升时间， ts为调整时间，tp为峰值时间。
•带有输出变量的调用格式，此时不绘图。 [y,t] = step(sys) [y,t,x] = step(sys) y = step(sys,t) 仅适用于状态空间模型
说明
•输入可以是LTI数学模型，也可以是LTI数学模型的 属性值。输入变量sys为任意LTI数学模型，a，b， c，d和num，den为模型的属性值。 •t为一维向量，其元素是单调递增的离散时间；也 可以不指定绘图时间区间，此时系统自动选取绘图 时间自变量t的区间。 •可以指定绘图的格式字符串，格式串的定义同plot 函数。 •当采用无输出变量的调用方式时，将绘制函数的 响应曲线；当采用带输出变量的调用方式时，不绘 制响应曲线，只将响应数据放入输出变量。
第九章 控制系统的数学模型
内容简介
9.1 线性系统的时域响应 9.2 线性系统的根轨迹 9.3 线性系统的频域响应 9.4 线性系统的稳定性分析 9.5 离散系统的分析
9.1 线性系统的时域响应
单位阶跃响应 编写函数求取SISO系统的单位阶跃响应特征量 单位脉冲响应 任意输入响应
单位阶跃响应 格式
•re和im是三维矩阵。如果系统有NU个输入量， NY个输出量，LW＝length（w），re和im的维 数为（NY×NU×LW）。 •对于MIMO系统，re(i,j,:)和im(i,j,:)表示第i个输 出变量针对第j个输入变量的频率响应实部和虚 部。对于SISO系统，实部和虚部分别由re(:)和 im(:)给出。
例9.3.4 系统的开环传递函数为
100( s 5) 2 G( s) ( s 1)(s 2 s 9)
求系统的幅值裕度与相角裕度。
9.4 线性系统的稳定性分析
直接判定方法 间接判定方法
直接判定方法 •调用roots（den）函数或eig（A）函数，得出 传递函数（num，den）描述的系统或状态方 程（A,B,C,D）描述的系统的所有极点； •根据所有极点实部的特征判定系统闭环稳定性。
例9.3.2 二阶系统传递函数为
2 n G( s) 2 2 s 2 n s n
试用MATLAB绘制出不同wn和 ζ 的伯德图。 •wn 为固定值， ζ变化 时； •ζ为固定值， wn 变化 时。
幅值裕度和相角裕度 格式 margin（sys） [Gm,Pm, Wcg , Wcp]=margin（mag,phase,w） [Gm,Pm, Wcg, Wcp]=margin（sys） 说明 •当不带输出参数时，margin在当前图形窗口中 绘制出Bode图，并在Bode上标出幅值裕度和相 角裕度的值。
•输出变量Gm为幅值裕度，Wcg为相穿频率， Pm为相角裕度，Wcp为幅穿（截止）频率。 •mag，phase和w频率响应的幅值、相角及频率 采样值。 例9.3.3 系统的开环传递函数为
3.5 G ( s) 3 s 2 s 2 3s 2
求系统的幅值裕度和相角裕度，并求其 闭环单位阶跃响应。
Exercise 7
Modify the above code as follows. If a third argument of true is passed, as in is_planar_embedding(V, E, true), it should also draw purple triangles at any points of intersection. It should continue to work if only two arguments are passed (Hint: look up "nargin").
习
9.1 系统的传递函数为
题
2 s 2 5s 1 G ( s) 2 s 2s 3
绘制出其根轨迹、bode图和nyquist图。 9.2 系统的传递函数为
5( s 5s 6) G( s) 3 s 6s 2 10s 8
2
绘制系统的单位阶跃响应和单位冲激响应曲线。
带出参数 使用方法和参数定义与step函数基本相同 不绘图 [y,t] = lsim(sys,u,t)
说明 •输入可以是LTI数学模型，也可以是LTI数学模 型的属性值，但是当带有初始条件的时候，只 能为状态空间模型。 •要构造输入信号的离散值，其中t为离散的时间 值，u为和t一一对应的输入信号幅值。
9.5 系统的开环传递函数为
7( s 5) G( s) H ( s) 2 s ( s 10)(s 1)
计算系统的幅值裕度和相角裕度。
Exercise 5 Write a function is_planar_embedding(V, E) which returns true if the graph is drawn without intersecting edges. If at least one edge intersects another, return false. We call this a planar embedding. More correctly, it is a “planar straight-line graph”.
•当sys是单输入单输出（SISO）系统时，y是一 个列向量；当sys是多输入多输出（MIMO）系统 时，y是一个三维数组，y(:,i,j)表示的是第i个输出 分量对第j个输入分量的单位阶跃响应。 •x为系统的状态值，当sys是SISO系统时，x是一 个列向量，当sys是MIMO系统时，x是一个三维 数组，x(:,i,j)表示的是第i个状态分量对第j个输入 分量的单位阶跃响应过程中的状态值。
说明
•函数rlocfind可计算出与根轨迹上极点相对应的 根轨迹增益。 •rlocfind既适用于连续系统，也适用于离散时间 系统。 •P为给定的闭环极点，可以给定多个闭环极点， 此时P为列向量。向量K的第m项是根据极点位置 P（m）计算的增益，矩阵poles的第m列poles(m) 是相应的闭环极点。
说明 •rlocus函数绘制以K为参数的SISO系统的轨迹图。 •不带输出变量的调用方式将绘制系统的根轨迹。 •带有输出变量的调用方法将不绘制根轨迹，只计 算根轨迹上各个点的值。 •K中存放的是根轨迹增益向量； •矩阵R的列数和增益K的长度相同，它的第m列元 素是对于增益K（m）的闭环极点。
计算根轨迹增益 格式 [K,poles]=rlocfind(sys) %计算鼠标拾取点 处的根轨迹增益和闭环极点 [K,poles]=rlocfind(sys,P) %计算最靠近给定 闭环极点P处的根轨迹增益
例9.2.1
负反馈系统的开环传递函数为
K G (s) s ( s 2 4 s 5)
绘制系统的根轨迹图，并求使系统 稳定和使系统无超调的K值范围。
9.3 线性系统的频域响应
奈奎斯特图 伯德图 幅值裕度和相角裕度
奈奎斯特图
格式 nyquist(sys) [ re,im]=nyquist(sys,w) 间w内的频率响应 %求取指定频率区
例9.4.1系统的闭环传递函数为
s 3 7 s 2 24s 24 ( s) 4 s 10s 3 35s 2 50s 24
判断系统的稳定性。
直接判定方法
•Hurwitz判据（自行编写的库函数）
格式 H＝hurwitz(den) 说明
H为构造的Hurwitz矩阵，den为系统的分 母多项式。
例9.4.2 考虑例9.4.1中的系统模型使用Hurwitz判 据判定系统的稳定性。
•Routh判据
格式
[rtab,msg]=routh(den)
说明
其中den是系统的分母多项式向量，rtab 是构造的Routh表矩阵，此程序有错误 msg变量为字符 串型变量，返回有关信息。 例9.4.3 同例9.4.1中给出系统，应用Routh阵列表判 断系统的稳定性。
任意输入响应
格式
lsim(sys,u,t) lsim(sys,u,t,x0) % 带有初始条件x0 lsim(sys1,sys2,...,sysN,u,t) lsim(sys1,sys2,...,sysN,u,t,x0) lsim(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN',u,t) 绘图
例9.1.3 系统的传递函数为
1 G(s) 2 s 0.6s 1
如果闭环增 益不为1时， 该函数还能 用吗？
试求取其单位阶跃响应的特征量：超调 量，上升时间，调整时间，峰值时间。
1、利用stepchar函数。
2、通过绘图，由图中读出所求数据。
单位脉冲响应
格式 •绘制曲线，输入为LTI数学模型。 impulse (sys) impulse (sys,t) impulse (sys1,sys2,...,sysN) impulse (sys1,sys2,...,sysN,t) impulse (sys1,'PlotStyle1)
说明 •当不带输出变量时，nyquist函数会在当前图形窗 口中直接绘制出Nyquist曲线。 •如果输入变量中没有指定频率范围，其频率范围 由函数自动选取并用w变量返回，而且在响应快速 变化的位置自动选取更多的取样点。 •输出变量re，im分别为系统Nyquist阵列的实部 和虚部。如果只给出一个返回变量，则返回的变量 为复数阵列，其实部和虚部可以用来绘制系统的 Nyquist图。
例9.3.1 系统开环传递函数为
1000 G( s) 2 ( s 3s 2)(s 5)
绘制系统的Nyquist图，并讨论其稳 定性。
伯德图 格式 使用方法与nyquist函数相同。
bode (sys) [mag,phase,w]= bode (sys) [mag,phase]= bode (sys,w) 说明 bode函数返回的输出变量mag，phase分 别为系统Bode图数据阵列的幅值（dB）和 相角（degrees）。
•绘制单位阶跃响应曲线，输入为LTI数学模型。
step(sys) step(sys,t) 指定时间内 step(sys1,sys2,...,sysN) 多个系统同图绘制 step(sys1,sys2,...,sysN,t) 制定绘图格式 step(sys1,„PlotStyle1)
•绘制单位阶跃响应曲线，输入为LTI数学模型的属性。 step(num,den) step(num,den,t) 输入变量为传递函数模型
•绘制曲线，输入为LTI数学模型的属性。
impulse (num,den) impulse (num,den,t) 使用方法和step函数相同
•带有输出变量的调用格式，此时不绘图。 [y,t] = impulse (sys) [y,t,x] =impulse (sys) y = impulse (sys,t)
例9.1.5 二阶系统的传递函数为
16 G( s) 2 s 3s 16
当系统的输入信号是幅值为1，周期为8秒 的方波时，绘制系统的输出响应曲线。
9.2 线性系统的根轨迹
根轨迹绘制 计算根轨迹增益
根轨迹绘制 格式 rlocus(sys) rlocus(sys,k) 绘制系统的根轨迹 rlocus(sys1,sys2,...) [R,K] = rlocus(sys) R = rlocus(sys,k) %指定的根轨迹增益K值来 %绘制多个系统的根轨迹 %不绘制，带参数 %不绘制，带参数
例9.1.1 典型二阶系统传递函数为
2 n Gc (s) 2 2 s 2 n s n
试分析不同参数下的系统单位阶跃响应。 1 假设将自然频率固定为wn=1, ζ＝ 0,0.1,0.2,0.3,…1,2,3,5。 2 将阻尼比ζ的值固定在ζ＝0.55, wn=0.1~1。
编写函数求取SISO系统的单位阶跃响应特征量。 格式 [pos,tr,ts,tp]=stepchar(g0,delta) 说明 g0为SISO系统的数学模型，delta为稳态误 差带宽度，pos为超调量，tr为上升时间， ts为调整时间，tp为峰值时间。
•带有输出变量的调用格式，此时不绘图。 [y,t] = step(sys) [y,t,x] = step(sys) y = step(sys,t) 仅适用于状态空间模型
说明
•输入可以是LTI数学模型，也可以是LTI数学模型的 属性值。输入变量sys为任意LTI数学模型，a，b， c，d和num，den为模型的属性值。 •t为一维向量，其元素是单调递增的离散时间；也 可以不指定绘图时间区间，此时系统自动选取绘图 时间自变量t的区间。 •可以指定绘图的格式字符串，格式串的定义同plot 函数。 •当采用无输出变量的调用方式时，将绘制函数的 响应曲线；当采用带输出变量的调用方式时，不绘 制响应曲线，只将响应数据放入输出变量。
第九章 控制系统的数学模型
内容简介
9.1 线性系统的时域响应 9.2 线性系统的根轨迹 9.3 线性系统的频域响应 9.4 线性系统的稳定性分析 9.5 离散系统的分析
9.1 线性系统的时域响应
单位阶跃响应 编写函数求取SISO系统的单位阶跃响应特征量 单位脉冲响应 任意输入响应
单位阶跃响应 格式
•re和im是三维矩阵。如果系统有NU个输入量， NY个输出量，LW＝length（w），re和im的维 数为（NY×NU×LW）。 •对于MIMO系统，re(i,j,:)和im(i,j,:)表示第i个输 出变量针对第j个输入变量的频率响应实部和虚 部。对于SISO系统，实部和虚部分别由re(:)和 im(:)给出。
例9.3.4 系统的开环传递函数为
100( s 5) 2 G( s) ( s 1)(s 2 s 9)
求系统的幅值裕度与相角裕度。
9.4 线性系统的稳定性分析
直接判定方法 间接判定方法
直接判定方法 •调用roots（den）函数或eig（A）函数，得出 传递函数（num，den）描述的系统或状态方 程（A,B,C,D）描述的系统的所有极点； •根据所有极点实部的特征判定系统闭环稳定性。
例9.3.2 二阶系统传递函数为
2 n G( s) 2 2 s 2 n s n
试用MATLAB绘制出不同wn和 ζ 的伯德图。 •wn 为固定值， ζ变化 时； •ζ为固定值， wn 变化 时。
幅值裕度和相角裕度 格式 margin（sys） [Gm,Pm, Wcg , Wcp]=margin（mag,phase,w） [Gm,Pm, Wcg, Wcp]=margin（sys） 说明 •当不带输出参数时，margin在当前图形窗口中 绘制出Bode图，并在Bode上标出幅值裕度和相 角裕度的值。
•输出变量Gm为幅值裕度，Wcg为相穿频率， Pm为相角裕度，Wcp为幅穿（截止）频率。 •mag，phase和w频率响应的幅值、相角及频率 采样值。 例9.3.3 系统的开环传递函数为
3.5 G ( s) 3 s 2 s 2 3s 2
求系统的幅值裕度和相角裕度，并求其 闭环单位阶跃响应。
Exercise 7
Modify the above code as follows. If a third argument of true is passed, as in is_planar_embedding(V, E, true), it should also draw purple triangles at any points of intersection. It should continue to work if only two arguments are passed (Hint: look up "nargin").
习
9.1 系统的传递函数为
题
2 s 2 5s 1 G ( s) 2 s 2s 3
绘制出其根轨迹、bode图和nyquist图。 9.2 系统的传递函数为
5( s 5s 6) G( s) 3 s 6s 2 10s 8
2
绘制系统的单位阶跃响应和单位冲激响应曲线。
带出参数 使用方法和参数定义与step函数基本相同 不绘图 [y,t] = lsim(sys,u,t)
说明 •输入可以是LTI数学模型，也可以是LTI数学模 型的属性值，但是当带有初始条件的时候，只 能为状态空间模型。 •要构造输入信号的离散值，其中t为离散的时间 值，u为和t一一对应的输入信号幅值。
9.5 系统的开环传递函数为
7( s 5) G( s) H ( s) 2 s ( s 10)(s 1)
计算系统的幅值裕度和相角裕度。
Exercise 5 Write a function is_planar_embedding(V, E) which returns true if the graph is drawn without intersecting edges. If at least one edge intersects another, return false. We call this a planar embedding. More correctly, it is a “planar straight-line graph”.
•当sys是单输入单输出（SISO）系统时，y是一 个列向量；当sys是多输入多输出（MIMO）系统 时，y是一个三维数组，y(:,i,j)表示的是第i个输出 分量对第j个输入分量的单位阶跃响应。 •x为系统的状态值，当sys是SISO系统时，x是一 个列向量，当sys是MIMO系统时，x是一个三维 数组，x(:,i,j)表示的是第i个状态分量对第j个输入 分量的单位阶跃响应过程中的状态值。
说明
•函数rlocfind可计算出与根轨迹上极点相对应的 根轨迹增益。 •rlocfind既适用于连续系统，也适用于离散时间 系统。 •P为给定的闭环极点，可以给定多个闭环极点， 此时P为列向量。向量K的第m项是根据极点位置 P（m）计算的增益，矩阵poles的第m列poles(m) 是相应的闭环极点。
说明 •rlocus函数绘制以K为参数的SISO系统的轨迹图。 •不带输出变量的调用方式将绘制系统的根轨迹。 •带有输出变量的调用方法将不绘制根轨迹，只计 算根轨迹上各个点的值。 •K中存放的是根轨迹增益向量； •矩阵R的列数和增益K的长度相同，它的第m列元 素是对于增益K（m）的闭环极点。
计算根轨迹增益 格式 [K,poles]=rlocfind(sys) %计算鼠标拾取点 处的根轨迹增益和闭环极点 [K,poles]=rlocfind(sys,P) %计算最靠近给定 闭环极点P处的根轨迹增益
例9.2.1
负反馈系统的开环传递函数为
K G (s) s ( s 2 4 s 5)
绘制系统的根轨迹图，并求使系统 稳定和使系统无超调的K值范围。
9.3 线性系统的频域响应
奈奎斯特图 伯德图 幅值裕度和相角裕度
奈奎斯特图
格式 nyquist(sys) [ re,im]=nyquist(sys,w) 间w内的频率响应 %求取指定频率区
例9.4.1系统的闭环传递函数为
s 3 7 s 2 24s 24 ( s) 4 s 10s 3 35s 2 50s 24
判断系统的稳定性。
直接判定方法
•Hurwitz判据（自行编写的库函数）
格式 H＝hurwitz(den) 说明
H为构造的Hurwitz矩阵，den为系统的分 母多项式。
例9.4.2 考虑例9.4.1中的系统模型使用Hurwitz判 据判定系统的稳定性。
•Routh判据
格式
[rtab,msg]=routh(den)
说明
其中den是系统的分母多项式向量，rtab 是构造的Routh表矩阵，此程序有错误 msg变量为字符 串型变量，返回有关信息。 例9.4.3 同例9.4.1中给出系统，应用Routh阵列表判 断系统的稳定性。
任意输入响应
格式
lsim(sys,u,t) lsim(sys,u,t,x0) % 带有初始条件x0 lsim(sys1,sys2,...,sysN,u,t) lsim(sys1,sys2,...,sysN,u,t,x0) lsim(sys1,'PlotStyle1',...,sysN,'PlotStyleN',u,t) 绘图
例9.1.3 系统的传递函数为
1 G(s) 2 s 0.6s 1
如果闭环增 益不为1时， 该函数还能 用吗？
试求取其单位阶跃响应的特征量：超调 量，上升时间，调整时间，峰值时间。
1、利用stepchar函数。
2、通过绘图，由图中读出所求数据。
单位脉冲响应
格式 •绘制曲线，输入为LTI数学模型。 impulse (sys) impulse (sys,t) impulse (sys1,sys2,...,sysN) impulse (sys1,sys2,...,sysN,t) impulse (sys1,'PlotStyle1)
说明 •当不带输出变量时，nyquist函数会在当前图形窗 口中直接绘制出Nyquist曲线。 •如果输入变量中没有指定频率范围，其频率范围 由函数自动选取并用w变量返回，而且在响应快速 变化的位置自动选取更多的取样点。 •输出变量re，im分别为系统Nyquist阵列的实部 和虚部。如果只给出一个返回变量，则返回的变量 为复数阵列，其实部和虚部可以用来绘制系统的 Nyquist图。
例9.3.1 系统开环传递函数为
1000 G( s) 2 ( s 3s 2)(s 5)
绘制系统的Nyquist图，并讨论其稳 定性。
伯德图 格式 使用方法与nyquist函数相同。
bode (sys) [mag,phase,w]= bode (sys) [mag,phase]= bode (sys,w) 说明 bode函数返回的输出变量mag，phase分 别为系统Bode图数据阵列的幅值（dB）和 相角（degrees）。
•绘制单位阶跃响应曲线，输入为LTI数学模型。
step(sys) step(sys,t) 指定时间内 step(sys1,sys2,...,sysN) 多个系统同图绘制 step(sys1,sys2,...,sysN,t) 制定绘图格式 step(sys1,„PlotStyle1)
•绘制单位阶跃响应曲线，输入为LTI数学模型的属性。 step(num,den) step(num,den,t) 输入变量为传递函数模型