流体中的扩散
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C A t D AB C
2
此即菲克第二定律，又称为扩散方程。 适用于研究固液体中的缓慢扩散过程。
质量、动量、能量传递方程的比较：
对流率＝扩散率＋生成率（源项）
相似性
封闭
独立求解
14
控制方程与初边条件 ：
初始条件：
C A |t 0 C A 0 , A |t 0 A 0
u
C A y
w
C A z z
[ D AB C A
x
u 'C 'A ]
[ D AB
C A
y
y
v'C 'A ]
[ D AB
z
z
w'C 'A ] R A
R A k 1 ( C A C ' A ) k 1C A
定义单位面积湍流摩尔流量在x方向的分量为
[ [
D AB
t t
]
]
1/ 2
AS
20
AS A (s)
D AB
1/ 2
积分上式得t时间内的盐层厚度变化：
L
dL
AS A (s)
[
[
D AB
0
t
]
]
1/ 2
t
dt t
0
L
AS A (s)
D AB t
1/ 2
t
21
§11.5 湍流扩散方程 例：污染物在大气中的扩散 §11.6 层流与湍流的浓度边界层方程 例 §11.7 雷诺类比 §11.8 沿半无穷平板的层流与湍流浓度边界层 例 §11.9 质量积分关系 例
22
§11.5 湍流扩散方程
C A t C A t y y u C A x v C A y z w C A z x ] C A
x
[ D AB
C A
x
x
]
[ D AB C A x
C A
y
y v
]
[ D AB
C A
z
z x
.( n A n B ) - (r A r B ) 0
. v 0
用摩尔为单位写出方程： 组分连续方程： C
A B B' D
y
A
A'
[n A,x
x
n A,x x
.N
A
-R
A
0
dx ] dydz
n A , x dydz
C
o
z
D' C'
(C A C B ) t N .( N
C A
y
y
]
z
[ D AB
C A
z
z
]
x, y, z , C y 0 , D AB x 0, Q s
0 0 U C A dydz
C A
y
y
U改写为dU/dx,t=0,y,z>0, CA=0
CA Qs 2 U y
y
[
y
2
e
e
qy
(2) 求盐层的表面溶解率dL/dt，由质量守恒原理：
D AB A t
2
|y0
d [ A (s)L] dt
y
2
0
对小的y，展开误差函数erf可得：
erf y y
[y 2
...] 2 3 .1
3 .1
erf y
[1
...]
d [ A (s)L] dt dL dt
z
2
2 y
z
2
2
2 z
]
2 y
2 D AB t 2 D AB ,
y
2 z
2 D AB t 2 D AB
z
z
C A ( x, y, z )
Qs 2 U y
z
exp [
z 2
2 2 z
][ exp
(y H ) 2
2 z
2
exp
J
(t )
Ax
u 'C 'A
23
各向同性湍流时，
J
D AB C
x
(t )
Ax
D AB
(t )
C A t C A
x
A
x
Ax
u ' C ' A D AB
(t )
Ax
x
D AB
(t )
C A t
[ J C A t
J
] J
(s)
Ax
v . C A J A R A
0
C .v v . C ( R
A
RB) 0
12
现在推导其简化形式，设混合物浓度C，扩散 系数DAB为常数：
.v
*
R
A
RB C CA C
C A t
A x
v . C A D AB C A R
* 2
A
(R
A
RB) 0
考虑质量密度表示的连续方程：
常见边界条件有三种： 1、表面浓度和单位面积的质量流量给定；
y 0 , C A C A1 J A J A1 or or
A A0
jA jA0
2、 流体流过一具有扩散物质的表面时，流体与壁面 之间有对流传质；
N A1 h m ( C A1 C A ) or n A1 h m ( A1 A )
A
4
2、速度
质量平均速度：
v
Av A B vB A B
B
ivi
i A
摩尔平均速度：
v
*
C Av A C B vB CA CB
Cv
i
B
i
i A
C
扩散速度：各组分相对于 或 的速度， 而不是相对于固定坐标系的速度。
v v
*
5
3、单位面积的流量：矢量
6
jA A (v A v )
* *
§11.2 Fick第一扩散定律
扩散物质单位面积质量流量与浓度之间的定量关系。 适用范围： 1） 双组分混合系统是在等温等压条件下，或混合物质 量或摩尔浓度为常数 2）相对于质量平均速度或摩尔浓度速度坐标系，而不
是固定坐标系。
x方向分量的数学表达式:
j A x D AB x J A x D AB x d A dx dC dx
C A ( y ) C A 0 [ chmy thmLshmy ] C A ( L ) C A0[ J A ( 0 ) D AB ch mL th mL
2 2
]
C A0 chmL
chmL dC dy
A
| y 0 D AB C A 0 m .thmL ( mol )
17
A源自文库
N B ) - (R
*
A
RB) 0
11
x
A
N B C A v A C B v B Cv
C t
.( Cv ) - (R
*
A
RB) 0
n A A v D AB A N A C A v D AB C A
*
A x C A x C A x C x
3、 无穷远，浓度为常数。
C A C A or
A A
15
§11.4 扩散方程的应用举例
例11.1 考虑一开口容器，内有液体B，液面外是能够 溶于B的气体A，可在液体重进行以及化学反映和定 常扩散。已知气体与液体界面处的浓度为 假定容器底部的气体A是不可渗透的，液体B是稀释 的，化学反应使A减少。 求：1) 容器底面A的浓度；2） 界面组分A 解： d C
A'
[n A,x n A,x x dx ] dydz
n A , x dydz
C
o
z
D' C'
流入量－流出量＋生成量＝ 变化量
n A, y x n A,z x rA 0
x
A x
n A,x x
A x
.n A - r A 0
10
( A B ) t t
例11.2 厚度L，密度 A ( s ) 的固体盐层， 其上为一半无穷深 的静止水层，当盐层与水层接触后，盐溶于水。假定（1）盐 在水中扩散过程是一维不定常的；（2）扩散系数为常数且无 ) 化学反应；（3）盐水界面处，盐保持一定质量浓度 A ( y , t； （4）初始时刻，水中盐浓度处处为零。 求（1）盐层与水接触后，水中盐的浓度函数？ （2）盐层的表面溶解率随时间怎样变化？
0
y
2 pt
2
dt
1 D AB
e
pt
A y
pt
dt 0 A
2
0
e
A y
2
dt
2 2
0
y
0
Ae
0
dt
y
pt
2
e
pt
A y
0
dt [ A e
A
2
pt
] p Ae
0
dt p A
第十一章
传质理论初步
§11.1 质量传递理论基本概念与它的主要传递 的方式
§11.2 混合物系统中的浓度、速度和流量概念.
例
§11.2 Fick第一扩散定律
§11.3双组分混合物的连续性方程 . 推导 §11.4 扩散方程的应用 例
1
§11.5 湍流扩散方程
§11.7 层流与湍流的浓度边界层方程 §11.8 雷诺类比 §11.9 沿半无穷平板的层流浓度边界层 §11.10 质量积分关系 §11.11 沿半无穷平板的湍流浓度边界层
相对固定坐标系：
单位面积的质量流量： n A A v A 单位面积的摩尔流量： N A C Av A
相对于质量平均速度v:
单位面积的质量流量： 单位面积的摩尔流量：
jA A (v A v) J A C A (v A v)
相对于摩尔平均速度v*:
单位面积的质量流量： 单位面积的摩尔流量： J A * C A ( v A v * )
A
D AB
的单位为m2/s
7
矢量表达式为：
j A D AB A J A D AB C A
同理有：
j A x D AB x J A x D AB x
* * *
d A dx dC dx
A
j A D AB A J A D AB C A
解： （1）
A t D AB A
2
y
2
t 0, y 0, A 0 t 0 , y 0 , A ( 0 , t ) As t 0, y , A ( , t ) 0
18
利用拉普拉斯变换求解。
e
pt
A
2
D AB
y
2
p A
t 0, y 0, A
0
Ae
qt
dt
As
p
其中 的解为：
2
q
p D AB
，拉普拉斯变换方程和边界条件
A As
p e
qy
19
利用拉普拉斯逆变换得到浓度分布：
A As erfc
y 2 ( D AB t )
1/ 2
C A0
2
D AB
A
dy
2
kC A 0
y 0, y L,
C A (0) C A0 dC dy
A
|yL 0
16
若速度，生成率为零，各向扩散系数相同，则组分A 的以摩尔浓度表达的连续方程可以简化为：
C A ( y ) C 1e
my
C 2e
1/ 2
my
m ( k 1 / D AB )
2
§11.1 质量传递理论的基本概念和 质量传递的主要方式 一、概述
二、质量传递到方式： 分子扩散： 湍流（涡）扩散： 对流传质
3
三、混合物系统中的浓度、速度和流量概念 1、浓度 质量浓度：
T A B
摩尔浓度：
CT C A C B
质量浓度与摩尔浓度的关系:
CA
A
M
(s)
应用：污染物在大气中的扩散。 R 0 条件：
A
u U ,v w 0 D ABy U
(t )
C A y
|y0 0 x
(t )
重力和分子扩散效应 忽略不计。
C A x ]
24
C A x
[ D ABx
扩散方程简化为：
U C x
A
y
[ D AB
A
*
D AB
的单位为m2/s
8
质量扩散系数D的讨论：
1） 与压强、温度有关；
2）Fick定律适用于气体，液体的扩散更加复
杂；
3） 液体的扩散系数依赖于浓度与粘性；
4） 固体中存在两类扩散；
5）从气体到固体，扩散系数D的量级依次减小。
9
§11.3 双组分混合物的连续性方程 . 推导
A B B' D
y
. A v ）－ . D AB A） r A 0 （ （ . C A v ）－ . D AB C A） R （ （ *
A
0
现在推导其简化形式。上式改写为：
C A .v v . C A . D AB C A） R （ * * * * A
A .v v . A . D AB A） r A 0 （ -
各项除以组分A的分子量的组分A的以摩尔浓度 表达的连续方程
C A x v . C A . D AB C A） R A （
RA rA M
A
其中
13
若速度，生成率为零，各向扩散系数相同，则组分A 的以摩尔浓度表达的连续方程可以简化为：
2
此即菲克第二定律，又称为扩散方程。 适用于研究固液体中的缓慢扩散过程。
质量、动量、能量传递方程的比较：
对流率＝扩散率＋生成率（源项）
相似性
封闭
独立求解
14
控制方程与初边条件 ：
初始条件：
C A |t 0 C A 0 , A |t 0 A 0
u
C A y
w
C A z z
[ D AB C A
x
u 'C 'A ]
[ D AB
C A
y
y
v'C 'A ]
[ D AB
z
z
w'C 'A ] R A
R A k 1 ( C A C ' A ) k 1C A
定义单位面积湍流摩尔流量在x方向的分量为
[ [
D AB
t t
]
]
1/ 2
AS
20
AS A (s)
D AB
1/ 2
积分上式得t时间内的盐层厚度变化：
L
dL
AS A (s)
[
[
D AB
0
t
]
]
1/ 2
t
dt t
0
L
AS A (s)
D AB t
1/ 2
t
21
§11.5 湍流扩散方程 例：污染物在大气中的扩散 §11.6 层流与湍流的浓度边界层方程 例 §11.7 雷诺类比 §11.8 沿半无穷平板的层流与湍流浓度边界层 例 §11.9 质量积分关系 例
22
§11.5 湍流扩散方程
C A t C A t y y u C A x v C A y z w C A z x ] C A
x
[ D AB
C A
x
x
]
[ D AB C A x
C A
y
y v
]
[ D AB
C A
z
z x
.( n A n B ) - (r A r B ) 0
. v 0
用摩尔为单位写出方程： 组分连续方程： C
A B B' D
y
A
A'
[n A,x
x
n A,x x
.N
A
-R
A
0
dx ] dydz
n A , x dydz
C
o
z
D' C'
(C A C B ) t N .( N
C A
y
y
]
z
[ D AB
C A
z
z
]
x, y, z , C y 0 , D AB x 0, Q s
0 0 U C A dydz
C A
y
y
U改写为dU/dx,t=0,y,z>0, CA=0
CA Qs 2 U y
y
[
y
2
e
e
qy
(2) 求盐层的表面溶解率dL/dt，由质量守恒原理：
D AB A t
2
|y0
d [ A (s)L] dt
y
2
0
对小的y，展开误差函数erf可得：
erf y y
[y 2
...] 2 3 .1
3 .1
erf y
[1
...]
d [ A (s)L] dt dL dt
z
2
2 y
z
2
2
2 z
]
2 y
2 D AB t 2 D AB ,
y
2 z
2 D AB t 2 D AB
z
z
C A ( x, y, z )
Qs 2 U y
z
exp [
z 2
2 2 z
][ exp
(y H ) 2
2 z
2
exp
J
(t )
Ax
u 'C 'A
23
各向同性湍流时，
J
D AB C
x
(t )
Ax
D AB
(t )
C A t C A
x
A
x
Ax
u ' C ' A D AB
(t )
Ax
x
D AB
(t )
C A t
[ J C A t
J
] J
(s)
Ax
v . C A J A R A
0
C .v v . C ( R
A
RB) 0
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现在推导其简化形式，设混合物浓度C，扩散 系数DAB为常数：
.v
*
R
A
RB C CA C
C A t
A x
v . C A D AB C A R
* 2
A
(R
A
RB) 0
考虑质量密度表示的连续方程：
常见边界条件有三种： 1、表面浓度和单位面积的质量流量给定；
y 0 , C A C A1 J A J A1 or or
A A0
jA jA0
2、 流体流过一具有扩散物质的表面时，流体与壁面 之间有对流传质；
N A1 h m ( C A1 C A ) or n A1 h m ( A1 A )
A
4
2、速度
质量平均速度：
v
Av A B vB A B
B
ivi
i A
摩尔平均速度：
v
*
C Av A C B vB CA CB
Cv
i
B
i
i A
C
扩散速度：各组分相对于 或 的速度， 而不是相对于固定坐标系的速度。
v v
*
5
3、单位面积的流量：矢量
6
jA A (v A v )
* *
§11.2 Fick第一扩散定律
扩散物质单位面积质量流量与浓度之间的定量关系。 适用范围： 1） 双组分混合系统是在等温等压条件下，或混合物质 量或摩尔浓度为常数 2）相对于质量平均速度或摩尔浓度速度坐标系，而不
是固定坐标系。
x方向分量的数学表达式:
j A x D AB x J A x D AB x d A dx dC dx
C A ( y ) C A 0 [ chmy thmLshmy ] C A ( L ) C A0[ J A ( 0 ) D AB ch mL th mL
2 2
]
C A0 chmL
chmL dC dy
A
| y 0 D AB C A 0 m .thmL ( mol )
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A源自文库
N B ) - (R
*
A
RB) 0
11
x
A
N B C A v A C B v B Cv
C t
.( Cv ) - (R
*
A
RB) 0
n A A v D AB A N A C A v D AB C A
*
A x C A x C A x C x
3、 无穷远，浓度为常数。
C A C A or
A A
15
§11.4 扩散方程的应用举例
例11.1 考虑一开口容器，内有液体B，液面外是能够 溶于B的气体A，可在液体重进行以及化学反映和定 常扩散。已知气体与液体界面处的浓度为 假定容器底部的气体A是不可渗透的，液体B是稀释 的，化学反应使A减少。 求：1) 容器底面A的浓度；2） 界面组分A 解： d C
A'
[n A,x n A,x x dx ] dydz
n A , x dydz
C
o
z
D' C'
流入量－流出量＋生成量＝ 变化量
n A, y x n A,z x rA 0
x
A x
n A,x x
A x
.n A - r A 0
10
( A B ) t t
例11.2 厚度L，密度 A ( s ) 的固体盐层， 其上为一半无穷深 的静止水层，当盐层与水层接触后，盐溶于水。假定（1）盐 在水中扩散过程是一维不定常的；（2）扩散系数为常数且无 ) 化学反应；（3）盐水界面处，盐保持一定质量浓度 A ( y , t； （4）初始时刻，水中盐浓度处处为零。 求（1）盐层与水接触后，水中盐的浓度函数？ （2）盐层的表面溶解率随时间怎样变化？
0
y
2 pt
2
dt
1 D AB
e
pt
A y
pt
dt 0 A
2
0
e
A y
2
dt
2 2
0
y
0
Ae
0
dt
y
pt
2
e
pt
A y
0
dt [ A e
A
2
pt
] p Ae
0
dt p A
第十一章
传质理论初步
§11.1 质量传递理论基本概念与它的主要传递 的方式
§11.2 混合物系统中的浓度、速度和流量概念.
例
§11.2 Fick第一扩散定律
§11.3双组分混合物的连续性方程 . 推导 §11.4 扩散方程的应用 例
1
§11.5 湍流扩散方程
§11.7 层流与湍流的浓度边界层方程 §11.8 雷诺类比 §11.9 沿半无穷平板的层流浓度边界层 §11.10 质量积分关系 §11.11 沿半无穷平板的湍流浓度边界层
相对固定坐标系：
单位面积的质量流量： n A A v A 单位面积的摩尔流量： N A C Av A
相对于质量平均速度v:
单位面积的质量流量： 单位面积的摩尔流量：
jA A (v A v) J A C A (v A v)
相对于摩尔平均速度v*:
单位面积的质量流量： 单位面积的摩尔流量： J A * C A ( v A v * )
A
D AB
的单位为m2/s
7
矢量表达式为：
j A D AB A J A D AB C A
同理有：
j A x D AB x J A x D AB x
* * *
d A dx dC dx
A
j A D AB A J A D AB C A
解： （1）
A t D AB A
2
y
2
t 0, y 0, A 0 t 0 , y 0 , A ( 0 , t ) As t 0, y , A ( , t ) 0
18
利用拉普拉斯变换求解。
e
pt
A
2
D AB
y
2
p A
t 0, y 0, A
0
Ae
qt
dt
As
p
其中 的解为：
2
q
p D AB
，拉普拉斯变换方程和边界条件
A As
p e
qy
19
利用拉普拉斯逆变换得到浓度分布：
A As erfc
y 2 ( D AB t )
1/ 2
C A0
2
D AB
A
dy
2
kC A 0
y 0, y L,
C A (0) C A0 dC dy
A
|yL 0
16
若速度，生成率为零，各向扩散系数相同，则组分A 的以摩尔浓度表达的连续方程可以简化为：
C A ( y ) C 1e
my
C 2e
1/ 2
my
m ( k 1 / D AB )
2
§11.1 质量传递理论的基本概念和 质量传递的主要方式 一、概述
二、质量传递到方式： 分子扩散： 湍流（涡）扩散： 对流传质
3
三、混合物系统中的浓度、速度和流量概念 1、浓度 质量浓度：
T A B
摩尔浓度：
CT C A C B
质量浓度与摩尔浓度的关系:
CA
A
M
(s)
应用：污染物在大气中的扩散。 R 0 条件：
A
u U ,v w 0 D ABy U
(t )
C A y
|y0 0 x
(t )
重力和分子扩散效应 忽略不计。
C A x ]
24
C A x
[ D ABx
扩散方程简化为：
U C x
A
y
[ D AB
A
*
D AB
的单位为m2/s
8
质量扩散系数D的讨论：
1） 与压强、温度有关；
2）Fick定律适用于气体，液体的扩散更加复
杂；
3） 液体的扩散系数依赖于浓度与粘性；
4） 固体中存在两类扩散；
5）从气体到固体，扩散系数D的量级依次减小。
9
§11.3 双组分混合物的连续性方程 . 推导
A B B' D
y
. A v ）－ . D AB A） r A 0 （ （ . C A v ）－ . D AB C A） R （ （ *
A
0
现在推导其简化形式。上式改写为：
C A .v v . C A . D AB C A） R （ * * * * A
A .v v . A . D AB A） r A 0 （ -
各项除以组分A的分子量的组分A的以摩尔浓度 表达的连续方程
C A x v . C A . D AB C A） R A （
RA rA M
A
其中
13
若速度，生成率为零，各向扩散系数相同，则组分A 的以摩尔浓度表达的连续方程可以简化为：