宇宙速度与重力势能推导

一: 第一宇宙速度 当物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动时

物体绕地半径为r 地球半径为R R r ≈ 于是有如下推论

gR v gR v r R R M

G g r M G v m g R Mm G r v m r Mm G =⇒=⇒≈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2222

22由 二: 物体的重力势能等于地球引力对物体所做的功 即:重力势能=地球引力⨯物体相对地心的位移

设引力2x

GMm F -= 说明: 规定从地心向空中的方向为正方向,

因为地球的引力向下,故为负值

x 是物体从地心向空中的位移,方向为正

现在研究物体远离地心移动时势能的变化

设: 1r OA = 2r OB = 物体从21r r → 当物体向上移动时引力做功

=∆=∆x F W x x x GMm ∆-

2 (注:地球引力作负功) ⎰∆-=212r r x x G M m W x r r G M m 112=)11(1

2r r G M m -= 物体增加的势能W E -=∆(物体克服地心引力所做的功)

所以物体增加的势能)11(2

1r r GMm E -=∆ 讨论1: 以任意高度1

r 所在的平面作0势面 物体从任意高度1r 处移动到另一高度2r 处势能增加

)11(2

112r r GMm E E E r r -=-=∆ 当∞→2r ,

即将物体从1

r 移到无穷远(脱离地球引力时), 物体增加势能为E ∆

)11(

112∞-=-=∆r GMm E E E r r 1

r G M m E =∆⇒ 讨论2: 以无穷远处(脱离地球引力时)作0势面,即物体势能为0.

现在把上面情况反过来,以无穷远处(脱离地球引力时)物体势能为0

由 ⎪⎩⎪⎨⎧==-=∆02

121r r r E r GMm E E E 移项得 11r GMm E r -=⇒

1

1r GMm E r -= 这一结论很重要, 它是在规定无穷远处势能为0得到的,这种理解下可以简化运算.

讨论3: 以地球表面作参考面(0势面)

设: R r =1(R 为地球半径) 物体位移高度h h R r +=2

一: 物体位移高度0=h

0)11()11(21=-=-=∆R

R GMm r r GMm E 结论:当物体相对参考面位移为0时, 势能变化为0.

二: 当物体相对地球表面升高某一高度h 时,且h R >>, 即h R r +=2, 其势能变化E ∆ )11()11

(2h

R R G M m r R G M m E +-=-=∆h R R m g h += (注:2R GM g =) h R >> 1≈+⇒

+≈∴h

R R h R R mgh E =∆⇒ 结论: 当物体相对参考面位移h 且h R >>, 势能变化为mgh E =∆⇒

三: 当物体升高到恰好脱离地球引力时,此时有位移高度R h >>, R h r +=2且1≈+h

R h h

R h mgR h R R GMm r R GMm E +=+-=-=∆)11()11(2mgR = 结论当物体恰好脱离地球引力时

1: 地球引力不再对物体做功.

2: 物体的重力势能不再变化(不增也不减)

3: 此前地球引力对物体做功总值 m g R W -=总

4: 此前物体的势能总共增加 mgR E =∆

四: 关于物体离地心无穷远(脱离地心引力时)势能为0的理解

1: 如下图所示, 以地面和无穷远处相互参考

将地面作0势面(0=地面E ), 物体从地面趋向无穷远时势能逐渐增加, (脱地地

球引力), 由mgR E E +=-地面远穷远, mgR E +=无穷远, 此后势能不再变化.

2: 将物体脱离地球引力(无穷远处)作0势面, 由于从地面趋向无穷远时势能逐渐

增加直到为0. 且mgR E E +=-地面远穷远, 所以mgR E -=地面

三: 第二宇宙速度

由上面的讨论(三,三)入手

当物体恰好脱离地球引力时,即进第二宇宙速度

因为物体从地面进入太空时只受重力作用,所以其总机械能守恒 假设物体离开地球表面时初动能为22

1mv E =动 物体恰好脱离地球引力时的势能为mgR E =势

由于整个过程中机械能守恒,而恰好说明物体的初动能恰好全部转为势能.

所以: 势动E E =

于是可得: mgR mv =⇒22

1 gR v 2=