2006考研数一真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 0ln(1)

lim

1cos x x x x

→+=

-. (2) 微分方程(1)

y x y x

-'=的通解是 .

(3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑

++-=⎰⎰

.

(4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = .

(5) 设矩阵2112A ⎛⎫

=

⎪-⎝⎭

，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A B

E =+，则B = .

(6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则

{}

max{,}1P X Y ≤= .

二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy <<

(D)0.dy y <<

(8) 设(,)f x y 为连续函数，则

1

40

(cos ,sin )d f r r rdr π

θθθ⎰

⎰等于( )

(A)

(,).x

f x y dy ⎰⎰

(B)

(,).dx f x y dy ⎰

⎰

(C)

(,).y

f x y dx ⎰

⎰

(D)

(,).f x y dx ⎰

⎰

(9) 若级数

1n

n a

∞

=∑收敛，则级数( )

(A)

1

n

n a

∞

=∑收敛. (B)

1

(1)

n

n n a ∞

=-∑收敛.

(C)

11

n n n a a ∞

+=∑收敛.

(D)

1

1

2n n n a a ∞

+=+∑收敛. (10) 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.

(11) 设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关. (B)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.

(C)若12,,,s a a a 线性无关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关. (D)若12,,

,s a a a 线性无关，12,,

,s Aa Aa Aa 线性无关.

(12) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2

列得C ，记110010001P ⎛⎫

⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

，则( )

(A)1

.C P AP -= (B)1

.C PAP -=

(C).T C P AP =

(D).T

C PAP =

(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A)()().P A B P A ⋃> (B)()().P A B P B ⋃>

(C)()().P A B P A ⋃=

(D)()().P A B P B ⋃=

(14) 设随机变量X 服从正态分布2

11(,)N μσ，Y 服从正态分布2

22(,)N μσ，且

12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则必有( )

(A)1 2.σσ< (B)1 2.σσ>

(C)1 2.μμ<

(D)1 2.μμ>

三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分10分)

设区域(){}

2

2,1,0D x y x

y x =

+≤≥,计算二重积分22

11D

xy

I dxdy x y +=++⎰⎰

.

(16)(本题满分12分)

设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . (I)证明lim n n x →∞

存在,并求该极限 ；

(II)计算2

1

1lim n x n n n x x +→∞

⎛⎫ ⎪⎝⎭

.

(17)(本题满分12分)

将函数()2

2x

f x x x

=

+-展开成x 的幂级数 .

(18)(本题满分12分)

设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，

且z f

=满足等式22220z z

x y

∂∂+=∂∂

(I) 验证()()

0f u f u u

'''+

=. (II) 若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.

(19)(本题满分12分)

设在上半平面(){},0D x y y =>内,函数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0

t >都有()()2

,,f tx ty t

f x y -=.

证明: 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有

()(),,0L

yf x y dx xf x y dy -=⎰