2006考研数一真题及解析

2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题：1-6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(1) 0ln(1)lim1cos x x x x→+=-. (2) 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 .(3) 设∑是锥面z =(01z ≤≤)的下侧，则23(1)xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰.(4) 点(2,1,0)到平面3450x y z ++=的距离d = .(5) 设矩阵2112A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2B A BE =+，则B = .(6)设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则{}max{,}1P X Y ≤= .二、选择题：9-14小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(7) 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x 为自变量x 在0x 处的增量，y 与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x >，则( ) (A)0.dx y << (B)0.y dy << (C)0.y dy <<(D)0.dy y <<(8) 设(,)f x y 为连续函数，则140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰等于( )(A)(,).xf x y dy ⎰⎰(B)(,).dx f x y dy ⎰⎰(C)(,).yf x y dx ⎰⎰(D)(,).f x y dx ⎰⎰(9) 若级数1nn a∞=∑收敛，则级数( )(A)1nn a∞=∑收敛. (B)1(1)nn n a ∞=-∑收敛.(C)11n n n a a ∞+=∑收敛.(D)112n n n a a ∞+=+∑收敛. (10) 设(,)f x y 与(,)x y ϕ均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠. 已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是( ) (A)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B)若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=. (D)若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.(11) 设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ⨯矩阵，下列选项正确的是( ) (A)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关. (B)若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.(C)若12,,,s a a a 线性无关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关. (D)若12,,,s a a a 线性无关，12,,,s Aa Aa Aa 线性无关.(12) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则( )(A)1.C P AP -= (B)1.C PAP -=(C).T C P AP =(D).TC PAP =(13) 设,A B 为随机事件，且()0,(|)1P B P A B >=，则必有( ) (A)()().P A B P A ⋃> (B)()().P A B P B ⋃>(C)()().P A B P A ⋃=(D)()().P A B P B ⋃=(14) 设随机变量X 服从正态分布211(,)N μσ，Y 服从正态分布222(,)N μσ，且12{||1}{||1},P X P Y μμ-<>-<则必有( )(A)1 2.σσ< (B)1 2.σσ>(C)1 2.μμ<(D)1 2.μμ>三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设区域(){}22,1,0D x y xy x =+≤≥,计算二重积分2211DxyI dxdy x y +=++⎰⎰.(16)(本题满分12分)设数列{}n x 满足()110,sin 1,2,...n x x x n ππ+<<== . (I)证明lim n n x →∞存在,并求该极限 ；(II)计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.(17)(本题满分12分)将函数()22xf x x x=+-展开成x 的幂级数 .(18)(本题满分12分)设函数()f u 在()0,+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂(I) 验证()()0f u f u u'''+=. (II) 若()()10,11,f f '==求函数()f u 的表达式.(19)(本题满分12分)设在上半平面(){},0D x y y =>内,函数(),f x y 是有连续偏导数,且对任意的0t >都有()()2,,f tx ty tf x y -=.证明: 对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有()(),,0Lyf x y dx xf x y dy -=⎰(20)(本题满分9分)已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩有3个线性无关的解(I) 证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =; (II) 求,a b 的值及方程组的通解. (21)(本题满分9分)设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()121,2,1,0,1,1T Tαα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解.(I) 求A 的特征值与特征向量(II) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.(22)(本题满分9分)随机变量x 的概率密度为 ()1,1021,0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩其他()2,,y X F x y =令为二维随机变量(,)X Y 的分布函数.求(I) Y 的概率密度()Y f y ; (II) 1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(23)(本题满分9分)设总体X 的概率密度为()(),01,01,12010,x f x x θθθθ<<⎧⎪=-≤<<<⎨⎪⎩其中是未知参数其它.12n ,...,X X X 为来自总体X 的简单随机样本,记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数,求θ的最大似然估计.2006年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题 (1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0x →时，21ln(1),1cos 2x x xx +-， 2002ln(1)lim lim 11cos 2x x x x x x x →→+=-=2 (2)【答案】xCxe-.【详解】分离变量，(1)dy y x dx x-=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dx y x =-⎰⎰⎰ ⇒ln ln y x x c =-+ ⇒ln ln yx x cee-+= ⇒xy Cxe-=(3)【答案】2π【详解】补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1,取上侧，则1∑+∑组成的封闭立体Ω满足高斯公式，1()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I x y z Ω∑+∑∂∂∂++=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰设 ,2,3(1)P x Q y R z ===-，则1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂ ∴I =6dxdydz Ω⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I 623ππ=⨯=(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便) 而 123(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰(在1∑上：1,0z dz ==)方法2：先二重积分，后定积分.因为1V Sdz =⎰，r =222r x y =+，22r z =，22S r z ππ==，所以1122001133V z dz z πππ===⎰ .从而6623I V ππ==⨯=方法3：利用球面坐标. 1z =在球坐标下为：1cos ρθ=， 1224cos 06sin I d d d ππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰243002sin cos d d ππϕθϕϕ=⎰⎰ 2430cos (2)cos d d ππϕθϕ=-⎰⎰422001(2)()cos 2d ππθϕ-=--⎰202d πθπ==⎰方法4：利用柱面坐标 .21106rI d dr rdz πθ=⎰⎰⎰216(1)d r rdr πθ=-⎰⎰122300116()23d r r πθ=-⎰202d πθπ==⎰(4)【详解】代入点 000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式d ===(5)【答案】 2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=⇒()2B A E E -=, 两边取行列式, 得()244B A E E E -===其中，2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦， 222E 4E == 因此，2422E B A E ===-.(6)【答案】19【详解】根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =事件{}{}{}{}max{,}11,111X Y X Y X Y ≤=≤≤=≤≤，而随机变量X 与Y 均服从区间[0,3]上的均匀分布，有{}1011133P X dx ≤==⎰和{}1011133P Y dy ≤==⎰. 又随机变量X 与Y 相互独立，所以，{}{}{}{}max(,)11,111P x y P x Y P x P Y ≤=≤≤=≤⋅≤1133=⨯19=二、选择题. (7)【答案】A 【详解】方法1： 图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''> 则()f x 是凹函数，又0x >，画2()f x=结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y <<. 方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+--(前两项用拉氏定理)0()()f x f x x ξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'', 其中000,x x x x ξηξ<<+<<由于()0f x ''>，从而0y dy ->. 又由于0()0dy f x x '=>，故选[]A 方法3： 用拉格朗日余项一阶泰勒公式. 泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+，其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+. 此时n 取1代入，可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆> 又由0()0dy f x x '=∆>，选()A .(8)【答案】()C【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰，则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤ ，04πθ≤≤. 题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意 y x = 与 221x y +=在第一象限的交点是)，于是:0D y y x ≤≤≤≤所以，原式0(,)ydy f x y dx =. 因此选 ()C(9) 【答案】D 【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1n n a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.选D. 方法2：记n n a =1n n a ∞=∑收敛.但1n n n a ∞∞===∑(p 级数，12p =级数发散)；111n n n n a a ∞∞+===∑(p 级数，1p =级数发散)均发散。