第三章 平面与曲面立体相交、两曲面立体相交

2’ 5’6’ 3’4’
7’8’
2” 6”
4”
8”
5” 3”
7”
1’
1” 4 6 2
7
Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线 1 3 5
8
Ⅰ
正平线
图 3-6
已知立体的正面投影，试完成H 两面投影。 例3-4 已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影。
1’ (2)’ (8)’
(4)’ 3’
2”
4”
3”
1”
(12)’
7’ 11’
第三章
平面与曲面立体相交、 平面与曲面立体相交、 两曲面立体相交
第一节
平面与曲面立体相交 曲面立体相交
第二节
三、回转体的截交线
回转体的截交线一般是封闭的平面曲线， 回转体的截交线一般是封闭的平面曲线，特殊情况下为圆或 直线。作图时，从截平面有积聚性的那个投影入手， 直线。作图时，从截平面有积聚性的那个投影入手，先找出截交 线上的特殊点（最上、最下、最左、最右、最前、 线上的特殊点（最上、最下、最左、最右、最前、最后及转向轮 廓线上的点等) 的投影，再求出若干个一般点的投影， 廓线上的点等 的投影，再求出若干个一般点的投影，并判别可见 最后用曲线板把各点光滑地连接起来，即为截交线的投影。 性，最后用曲线板把各点光滑地连接起来，即为截交线的投影。
截交线
截平面
截平面
截 面
图 3-1
截交线
1.平面与圆柱体的截交线 1.平面与圆柱体的截交线
根据圆柱体与截平面不同的相对位置，截交线有三种形状，如下所示： 根据圆柱体与截平面不同的相对位置，截交线有三种形状，如下所示： PV PV PV
P
P
P
与轴线垂直
与轴线倾斜
与轴线平行
圆
椭圆
图 3-2
两平行直线
例3-1 求正垂面斜截圆柱体的投影 5’
Ⅴ Ⅳ Ⅲ Ⅷ Ⅰ Ⅱ
Ⅵ
5
Ⅶ
图3-3 斜截圆柱的截交线
例3-2 求出带切口圆柱套筒的投影
分 析：
该立体是在圆柱筒的上部 开出一个方槽后形成的 。构成 方槽的平面为垂直于轴线的水 平P和两个平行于轴线的侧平面 Q 。它们与圆柱体和孔的表面 都有交线，平面P与圆柱的交线 都有交线，平面P 为圆弧，平面Q与圆柱的交线为 为圆弧，平面Q 直线，平面Ｐ和Q彼此相交于直 直线，平面Ｐ 线段。 线段。
2’ 3’4’ 5’ 1’ 6’ 3’4’ 5’ 1’ 6’ 1 6 1 5
图3-17
具体步骤如下：
2’ 2 4 3
4 2 3
6 1 5
4 2 3
平面与球相交
附：题 8:
求作顶尖的俯视图。 求作顶尖的俯视图。
●
●
●
●●
●●
●
Fra Baidu bibliotek
● ●
● ●
●
●
●
●
图3-18
首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关 然后分别求出这些基本回转体的截交线 并依次将其连接。 分别求出这些基本回转体的截交线， 系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。
相贯线
相贯线
圆柱与圆柱相交 圆柱与圆锥相交
图3-19
2.
★ 表面性
性
质
相贯线位于两立体的表面上 相贯线位于两立体的表面上。 表面 ★ 封闭性 相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成） 相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和曲线组成）或空 封闭的空间折线 间曲线。 间曲线。 ★ 共有性 相贯线是两立体表面的共有线。也是两立体的分界线。 两立体表面 相贯线是两立体表面的共有线。也是两立体的分界线。 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影。 实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影
最前点 1
最后点 2 最左点 3 最右点 4 2.适当求一般点 适当求一般点 3.连线 连线
最低点 最高点
2 3 1
图3-21 表面取点法求相贯线
4
－－辅助平面法 二、相贯线的求法一－－辅助平面法 例3-8 求圆柱与圆锥正交 的相贯线。 的相贯线。
◆ 空间及投影分析： 空间及投影分析： 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线 它的侧面投影有积聚性， 光滑的封闭的空间曲线。 相贯线为一光滑的封闭的空间曲线。它的侧面投影有积聚性， 正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 正面投影、水平投影没有积聚性，应分别求出。 解题方法： ◆ 解题方法：辅助平面法
图3-4 斜截圆柱的截交线
作图步骤如下：
（1）先作出完整基本形体的三面投影图。 （2）然后作出槽口三面投影图。 ( 3) 作出穿孔的三面投影图。
Q
P
图3-5 斜截圆柱的截交线
2.平面与圆锥体的截交线 2.平面与圆锥体的截交线
当平面与圆锥体相交时， 当平面与圆锥体相交时，根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状（见下页表3 置不同，截交线有五种形状（见下页表3-1）。 当截交线为圆和直线时，其投影图可直接作出； 当截交线为圆和直线时，其投影图可直接作出；当截交线 为其余的三种曲线时， 为其余的三种曲线时，可用辅助平面法先求得截交线上的若干 个点，然后用曲线板光滑连接起来便得到截交线的投影。 个点，然后用曲线板光滑连接起来便得到截交线的投影。为了 作图方便，通常选择特殊位置的平面作为辅助平面， 作图方便，通常选择特殊位置的平面作为辅助平面，并使其与 立体表面的交线为圆或直线。 立体表面的交线为圆或直线。
附：题1:
补画左视图。 补画左视图。
例5：求左视图
虚实分界点
图3-11
附：题2:
补画左视图。 补画左视图。
●
●
●
●
图3-12
附：题 3:
补画左视图。 补画左视图。
3’ (10)’ 2’ (11)’ 11’’ (10)’’ 3’’ 2’’
1’
1’’
7’
(8)’ 6’ (9)’ 5’
8’’
9’’
7’’
分析:截交线的正面投影为双曲线 分析 截交线的正面投影为双曲线. 截交线的正面投影为双曲线 作图: 求特殊点。 作图 1 求特殊点。 最高点 2 求一般点。 求一般点。 3 连线。 连线。 最低点
图3-15
附：题 6:
求圆球被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆球被截切后的水平投影和侧面投影。
轮廓线怎 样处理? 样处理
5’ (6)’
12” 6” 8”
5” 7”
11”
9’ (10)’
10”
9”
10 8
12 1
6 4
2 7 9 11
3 5
图 3-7
已知立体的正面投影，试完成H 两面投影。 例3-5 已知立体的正面投影，试完成H、W两面投影。
10
9
12 1
3 2 11 图 3-8
3.平面与圆球体的截交线 3.平面与圆球体的截交线
3.
相贯线的表现形式
(a)两外表面相交 两外表面相交 图3-20
(b)两内表面相交 两内表面相交 相贯线的三种表现形式
(c)内、外表面相交 内
－－表面取点法 二、相贯线的求法一－－表面取点法 求正交两圆柱的相贯线。 例3-7 求正交两圆柱的相贯线。 相贯线侧面投影不用求 相贯线水平投影不用求 作图: 作图 3 ‫׳‬ 1 ‫׳ 2׳‬ 4 ‫׳‬ 2‫״‬ ‫״‬ 3 ‫4״‬ 1‫״‬ 1.求特殊点 求特殊点
第二节
曲面立体相交
一、相贯线的性质 二、相贯线的求法 三、相贯线的特殊情况 四、影响相贯线形状的因素 五、相贯线画法举例
一、相贯线的性质 1.概念 概念 两立体相交称为 相贯， 相贯，其表面的交线 称为相贯线 相贯线。 称为相贯线。机件上 常见的相贯线， 常见的相贯线，大多 是回转体相交而成， 是回转体相交而成， 本章主要介绍这类相 贯线的性质及画法 性质及画法。 贯线的性质及画法。 相贯线
求作半圆头螺钉的投影。 例3-6 求作半圆头螺钉的投影。
水平面截圆球的截交线的投影 两个侧平面截圆球的截交线的 ，在俯视图上为部分圆弧，在侧视 投影，在侧视图上为部分圆弧， 投影，在侧视图上为部分圆弧，在 俯视图上积聚为直线。 俯视图上积聚为直线。 图上积聚为直线。
图 3-9
图3-10
附典型例题（三） 附典型例题（
分析: 分析:球面被侧平面截切
侧面投影为圆； ，侧面投影为圆；球面被 水平面截切， 水平面截切，水平面投影 为圆。 为圆。
轮廓线 要不要?
图3-16
附：题 7:
如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 如图所示，球被正垂面截切，求截交线的水平投影。 （2）确定截交线与转向轮廓线的交点。 （3）依次连接各点的水平投影。 （1）先求特殊点。
能 是 直 线 或 椭 圆 。 但 是 截 交 线 的 投 影 可 能 是 圆 ， 也 可 平 面 截 圆 球 体 ， 其 截 交 线 都 是 圆 ， 当截平面为 平面时， 平面时，其 面投影 圆 当截平面为投影面平行面时，截交线（ 当截平面为投影面平行面时，截交线（圆） 在该投影面上的投影反映实形， 在该投影面上的投影反映实形，其余两 面投影积聚为直线段； 面投影积聚为直线段； 当截平面为投影面的垂直面时，截交线在该 当截平面为投影面的垂直面时， 投影面上的投影积聚为直线段， 投影面上的投影积聚为直线段，其余两面 圆； 投影为 圆；
表3-1
截平 面的 位置 形 状 立 体 图 与轴线倾斜 与轴线垂直 过锥顶 与所有素线 相 交 椭圆 平行于一条 素 线 抛物线加 直线段 与轴线平行 双曲线加 直线段
圆
三角形
投 影 图
求正垂面P与圆锥的截交线。 例3-3 求正垂面P与圆锥的截交线。 可以看出， 可以看出，此种截交线为 具体步骤如右图： 具体步骤如右图：
图3-23 辅助平面法求相贯线b 辅助平面法求相贯线
● ● ● ●
●
● ● ●
解题步骤： 解题步骤：
●
●
★ 求特殊点 ★ 用辅助平面法求中间点 ★ 光滑连接各点
● ●
●
图3-23
表面取点法求相贯线
图3-24
表面取点法求相贯线
三、相贯线的特殊情况
1.等径正交两圆柱的相贯线
图3-25
蒙日定理----如下图所示，圆柱与圆柱相交并共切于球； 蒙日定理----如下图所示，圆柱与圆柱相交并共切于球；圆柱与圆锥 ----如下图所示 相交，也共切于球， 即都属于两回转体相交并共切于球 两回转体相交并共切于球， 相交，也共切于球， 即都属于两回转体相交并共切于球，则它们的相贯线 都是平面曲线----椭圆 因为两回转体的轴线都平行于正投影面为直线， 椭圆。 都是平面曲线 椭圆。因为两回转体的轴线都平行于正投影面为直线，其 水平投影为圆或椭圆
图3-22
辅助平面法求相贯线a 辅助平面法求相贯线
动画
● ● ● ●
P
假想用水平面P截切立体， 面与圆柱体的截交线为两条直线 面与圆柱体的截交线为两条直线， 假想用水平面 截切立体，P面与圆柱体的截交线为两条直线， 截切立体 与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。 与圆锥面的交线为圆，圆与两直线的交点即为交线上的点。
6”
5” 4”
4’ 3’ 2’ 1’ 8 1 2 3 4 7 6
7” (7)’
8”
2” 1”
具体步骤如下： 由于平面与圆柱的轴线斜交， 具体步骤如下： 由于平面与圆柱的轴线斜交， 因此截交线为一椭圆。 因此截交线为一椭圆。截交线的正面 （2）再作出适当数量的一 4 补全侧面投影中的转 投影重影为一直线， （1）先作出截交线上的特殊 3 将这些点的投影依次 3” 投影重影为一直线，水平投影与圆柱 般点。 向轮廓线。 般点。 。 向轮廓线 点。 面的投影重影为圆。 面的投影重影为圆。侧面投影可根据 光滑的连接起来。 光滑的连接起来。 圆柱表面取点的方法求出。 圆柱表面取点的方法求出。
一椭圆。 由于圆锥前后对称， 一椭圆。 由于圆锥前后对称， 依次光滑连接各点， （3）依次光滑连接各点，即得 故椭圆也前后对称。 故椭圆也前后对称。椭圆的长轴 先作出截交线上的特殊点。 （1）先作出截交线上的特殊点 截交线的水平投影和侧面投影。 截交线的水平投影和侧面投影 。 为截平面与圆锥前后对称面的交。 正平线， 线——正平线，椭圆的短轴是垂 正平线 再作一般点。 （4）补全侧面转向轮廓线。 2 补全侧面转向轮廓线。 再作一般点。 直与长轴的正垂线。 直与长轴的正垂线。
图3-26
2．两同轴回转体的相贯线 ．
相贯线为 水平圆 相贯线为 侧平圆
相贯线为 水平圆
图3-27
3．两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的圆锥相交，其相贯线为直线 ．两个轴线平行的圆柱相交及两共顶的圆锥相交，
5’’
6’’
(8) 11 10 (9)
1 (7)
3 (5) (6) 2
图3-13
附：题 4:
求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影。 求圆锥被截切后的水平投影和侧面投影
分析: 分析 截平面过锥顶,截交线 截平面过锥顶 截交线 为三角形. 为三角形
图3-14
附：题 5:
求圆锥被正平面截切后的正面投影。 求圆锥被正平面截切后的正面投影。