概率论与数理统计 第四版 第五章

≈１ － Φ
６０ － ３００ × ０畅 ２ ３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
＝ １ － Φ（０） ＝ ０畅 ５ ．
8 ． 一复杂的系统由 １００ 个相互独立起作用的部件所组成 ，在整个运行期间
＝ １ － ０畅 ９２１ ３ ＝ ０畅 ０７８ ７畅 5 ． 有一批建筑房屋用的木柱 ，其中 ８０ ％ 的长度不小于 ３ m ，现从这批木柱 中随机地取 １００ 根 ，求其中至少有 ３０ 根短于 ３ m 的概率 ． 解 按题意 ，可认为 １００ 根木柱是从为数甚多的木柱中抽取得到的 ，因而可 当作放回抽样来看待 ．将检查一根木柱看它是否短于 ３ m 看成是一次试验 ，检查 １００ 根木柱相当于做 １００ 重伯努利试验 ．以 X 记被抽取的 １００ 根木柱中长度短于 ３ m 的根数 ，则 X ～ b（１００ ，０畅 ２） ．于是由教材第五章 § ２ 定理三得 P｛ X ≥ ３０｝ ＝ P｛３０ ≤ X ＜ ∞ ｝
≈ １－ Φ
１５
－Φ
－ １５
１ ５００ １ １２
１ ５００ １ １２
＝ １ － ２Φ
１５
－ １ ＝ １ － ［２ Φ（１畅 ３４２） － １］
１ ５００ １２
＝ ２［１ － ０畅 ９０９ ９］ ＝ ０畅 １８０ ２ ． 即误差总和的绝对值超过 １５ 的概率近似地为 ０畅 １８０ ２ ．
n
钞 （２） 设最多有 n 个数相加 ，使误差总和 Y ＝ Xk 符合要求 ，即要确定 n ，使 k＝１ P｛ Y ＜ １０｝ ≥ ０畅 ９０ ．
120
概率论与数理统计习题全解指南
＝P
３０ － １００ × ０畅 ２ ≤ １００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
X－ １００
１００ × × ０畅 ２
０畅 ２ × ０畅 ８
＜
∞ － １００ × ０畅 ２ １００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
≈
Φ（ ∞ ） －
Φ
３０ － ２０ １６
＝ １ － Φ（２畅 ５） ＝ １ － ０畅 ９９３ ８ ＝ ０畅 ００６ ２畅
立的） ．
解 （１） 记第 i 人的索赔金额为 X i ，则由已知条件
E（ Xi ） ＝ ２８０ ， D（ Xi ） ＝ ８００２ ．
要计算
１０ ０００
钞 p１ ＝ P
Xi ＞ ２ ７００ ０００ ，
i＝ １
因各投保人索赔金额是独立的 ，n ＝ １０ ０００ 很大 ．故由中心极限定理 ，近似地有
解 设修理第 i （ i ＝ １ ，２ ，… ，２０） 台机器 ，第一阶段耗时 Xi ，第二阶段为 Y i ，
则共耗时 Zi ＝ Xi ＋ Y i ，今已知 E（ Xi ） ＝ ０畅 ２ ，E（ Y i ） ＝ ０畅 ３ ，故 E（ Zi ） ＝ ０畅 ５ ．
D（ Zi ） ＝ D（ Xi ） ＋ D（ Y i ） ＝ ０畅 ２２ ＋ ０畅 ３２ ＝ ０畅 １３畅 ２０ 台机器需要修理的时间可认
因 n 为正整数 ，因而所求的 n 为 ４４３ ．故最多只能有 ４４３ 个数加在一起 ，才能使得
误差总和的绝对值小于 １０ 的概率不小于 ０畅 ９０ ．
4 ． 设各零件的重量都是随机变量 ，它们相互独立 ，且服从相同的分布 ，其数
学期望为 ０畅 ５ kg ，均方差为 ０畅 １ kg ，问 ５ ０００ 个零件的总重量超过 ２ ５１０ kg 的概
即不大可能在 ８ 小时内完成全部工作 ．
7 ． 一食品店有三种蛋糕出售 ，由于售出哪一种蛋糕是随机的 ，因而售出一
只蛋糕的价格是一个随机 变量 ，它 取 １ 元 、１畅 ２ 元 、１畅 ５ 元 各 个值的 概 率分 别为
０畅 ３ 、０畅 ２ 、０畅 ５畅 若售出 ３００ 只蛋糕 ．
第五章 大数定律及中心极限定理
３００
钞 Xi － ３００ × １畅 ２９
＝ P ４００ － ３００ × １畅 ２９ ≤ i ＝ １
３００ ０畅 ０４８ ９
３００ ０畅 ０４８９
＜
∞ － ３００ × １畅 ２９ ３００ ０畅 ０４８ ９
≈ １ － Φ（３畅 ３９） ＝ １ － ０畅 ９９９ ７ ＝ ０畅 ０００ ３ ．
（２） 以 Y 记 ３００ 只蛋 糕 中售价 为 １畅 ２ 元 的 蛋糕的 只 数 ，于是 Y ～ b（３００ ，
≈
Φ（ ∞ ） －
Ф
３０ － ２０ １６
＝ １ － Φ（２畅 ５） ＝ ０畅 ００６ ２畅
6 ． 一工人修理一台机器需两个阶段 ，第一阶段所需时间（小时） 服从均值为
０ ．２ 的指数分布 ，第二阶段服从均值为 ０畅 ３ 的指数分布 ，且与第一阶段独立 ．现有
２０ 台机器需要修理 ，求他在 ８ 小时内完成的概率 ．
１６ １００２
１６ １００２
≈１ －
Ф
１ ９２０ － １ ６００ ４００
＝ １ － Ф（０ ．８）
＝ １ － ０畅 ７８８ １ ＝ ０畅 ２１１ ９ ． 2 ． （１） 一保险公司有 １０ ０００ 个汽车投保人 ，每个投保人索赔金额的数学期 望为 ２８０ 美元 ，标准差为 ８００ 美元 ，求索赔总金额超过 ２ ７００ ０００ 美元的概率 ． （２） 一公司有 ５０ 张签约保险单 ，各张保险单的索赔金额为 Xi ，i ＝ １ ，２ ，… ， ５０（以千美元计） 服从韦布尔（Weibull） 分布 ，均值 E（ Xi ） ＝ ５ ，方差 D（ Xi ） ＝ ６ ， 求 ５０ 张保险单索赔的合计金额大于 ３００ 的概率（设各保险单索赔金额是相互独
本题也可以这样做 ，引入随机变量 ：
１ ， 若第 k 根木柱短于 ３ m ，
Xk ＝
０ ，
若第
k 根木柱不短于 ３
m，
k
＝
１ ，２ ，…
，１００畅
于是 E（ Xk ） ＝ ０ ．２ ，D（ Xk ） ＝ ０畅 ２ × ０畅 ８ ．以 X 表示 １００ 根木柱中短于 ３ m 的根
１００
钞 数 ，则 X ＝
第五章 大数定律及中心极限定理
1 ． 据以往经验 ，某种电器元件的寿命服从均值为 １００ h 的指数分布 ，现随 机地取 １６ 只 ，设它们的寿命是相 互 独立的 ．求 这 １６ 只元 件 的寿命 的 总和 大于
１ ９２０ h 的概率 ．
解 以 Xi （ i ＝ １ ，２ ，… ，１６） 记第 i 只元件的寿命 ，以 T 记１６ 只 元件寿命的
钞１０ ０００
—
X
＝
１ １０ ０００ i ＝ １
Xi
～
N
２８０
，１８
００２ ００２
，
故
p１
＝
—
P（ X ＞ ２７０）
≈ １－
Φ
２７０ － ２８０ ８
＝
１－
Φ
－
５ ４
＝
Φ
５ ４
＝ Φ（１畅 ２５） ＝ ０畅 ８９４ ４ ．
118
概率论与数理统计习题全解指南
（２） E（ Xi ） ＝ ５ ，D（ Xi ） ＝ ６ ，n ＝ ５０ ．故
Xk ．由中心极限定理有
k＝ １
P ｛ X ≥ ３０｝ ＝ P｛３０ ≤ X ＜ ∞ ｝
１００
钞 Xk － １００ × ０畅 ２
＝ P ３０ － １００ × ０畅 ２ ≤ k ＝ １
１００ ０畅 ２ × ０畅 ８
１００ ０畅 ２ × ０畅 ８
＜
∞ － １００ × ０畅 ２ １００ ０畅 ２ × ０畅 ８
n １２
n １２
n １２
因而 n 需满足
２ Φ １０ － １ ≥ ０ ．９０ ， n／１２
亦即 n 需满足 Φ １０ ≥ ０畅 ９５ ＝ Φ（１畅 ６４５） ， n／１２
即 n 应满足
１０ ≥ １畅 ６４５ ， n／１２
由此得
n ≤ ４４３畅 ４５ ．
０畅 ９０ ？
解 设第 k 个 加 数 的 舍 入 误 差 为 X k （ k ＝ １ ，２ ，… ，１ ５００） ，已 知 Xk 在
（ － ０畅 ５ ，０畅 ５） 上服从均匀分布 ，故知
E（ Xk ）
＝
０ ，D（ Xk ）
＝
１ １２
．
１ ５００
钞 （１） 记 X ＝ Xk ，由中心极限定理 ，当 n 充分大时有近似公式 k＝ １
１ ５００
钞 Xk － １ ５００ × ０
P k＝ １
≤ x ≈ Φ（ x） ．
１ ５００ １ １２
于是
P｛ X ＞ １５｝ ＝ １ － P｛ X ≤ １５｝ ＝ １ － P｛ － １５ ≤ X ≤ １５｝
＝ １－ P
－ １５ － ０ ≤ １ ５００ １ １２
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X－０
≤
１ ５００ １ １２
１５ － ０ １ ５００ １ １２
由中心极限定理 ，当 n 充分大时有近似公式
P Y － ０ ≤ x ≈ Φ（ x） ． n １ １２
第五章 大数定律及中心极限定理
119
于是 P｛ Y ＜ １０｝ ＝ P｛ － １０ ＜ Y ＜ １０｝
＝ P － １０ ＜
Y
＜
１０
n １ １２ n １ １２ n １ １２
≈ Φ １０ － Φ － １０ ＝ ２ Φ １０ － １ ．
０畅 ２） ．E（ Y） ＝ ３００ × ０畅 ２ ，D（ Y） ＝ ３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８ ，由棣莫弗 拉普拉斯定理得
P｛ Y ＞ ６０｝ ＝ １ － P｛ Y ≤ ６０｝
＝１ － P
Y － ３００ × ０畅 ２ ≤ ６０ － ３００ × ０畅 ２
３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
３００ × ０畅 ２ × ０畅 ８
P ｛ W ＞ ２５１０｝ ＝ １ － P｛ W ≤ ２ ５１０｝
＝ １ － P W － ５ ０００ × ０畅 ５ ≤ ２ ５１０ － ５ ０００ × ０畅 ５
５ ０００ × ０畅 １
５ ０００ × ０畅 １
≈ １ － Ф ２ ５１０ － ５ ０００ × ０畅 ５ ＝ １ － Ф（ ２） ５ ０００ × ０畅 １
５０
钞 p ＝ P
Xi ＞ ３００ ≈ １ － Φ ３００ － ５０ × ５
i＝ １
５０ × ６
＝ １ － Φ ５０ ＝ １ － Φ（２畅 ８９） ＝ ０畅 ００１ ９ ． ３００
这与情况（１） 相反 ．（１） 的概率为 ０畅 ８９４ ４ 表明可能性很大 ．而（２） 表明可能性太 小了 ，大约 ５００ 次索赔中出现 ＞ ３００ 的只有一次 ．
１６
钞 总和 ：T ＝
Xi ，按 题 设 E（ Xi ） ＝ １００ ，D（ Xi ） ＝ １００２ ，由 中 心 极 限 定 理 知
i＝ １
T － １６ × １００ 近似地服从 N（０ ，１） 分布 ，故所求概率为 １６ １００２
P｛ T ＞ １ ９２０｝ ＝ １ － P｛ T ≤ １ ９２０｝
＝ １ － P T － １６ × １００ ≤ １ ９２０ － １６ × １００
率是多少 ？
解 以 Xi （ i ＝ １ ，２ ，… ，５ ０００） 记第 i 个零件的重量 ，以 W 记 ５ ０００ 个零件
５ ０００
钞 的总重量 ：W ＝ Xi ．按题设 E（ Xi ） ＝ ０ ．５ ，D（ Xi ） ＝ ０畅 １２ ，由中心极限定理 ，可 i＝ １
知 W － ５ ０００ × ０畅 ５ 近似地服从 N（０ ，１） 分布 ，故所求概率为 ５ ０００ × ０畅 １
121
（１） 求收入至少 ４００ 元的概率 ； （２） 求售出价格为１畅 ２ 元的蛋糕多于 ６０ 只的概率 ． 解 设第 i 只蛋糕的价格为 X i ，i ＝ １ ，２ ，… ，３００ ，则 Xi 有分布律为
Xi １ １畅 ２ １畅 ５ pk ０畅 ３ ０畅 ２ ０畅 ５
由此得
E（ Xi ） ＝ １ × ０畅 ３ ＋ １畅 ２ × ０畅 ２ ＋ １畅 ５ × ０畅 ５ ＝ １畅 ２９ ，
为近似服从正态分布 ，即有
２０
钞 Zi ～ N（２０ × ０畅 ５ ，２０ × ０畅 １３） ＝ N（１０ ，２畅 ６） ．
i＝ １
钞 所求概率 p ＝
P
２０
Zi ≤ ８
i＝ １
≈
Φ
８
－ ２０ × ０畅 ５ ２０ × ０畅 １３
＝
Φ
－
２ １畅 ６１２
５
＝
Φ（ － １畅 ２４） ＝ ０畅 １０７ ５ ，
3 ． 计算器在进行加法时 ，将每个加数舍入最靠近它的整数 ，设所有舍入误 差相互独立且在（ － ０畅 ５ ，０畅 ５） 上服从均匀分布 ．
（１） 将 １ ５００ 个数相加 ，问误差总和的绝对值超过 １５ 的概率是多少 ？ （２） 最多可有几 个 数 相 加 使 得 误 差 总 和 的 绝 对 值 小 于 １０ 的 概 率 不 小 于
E（
X２ i
）
＝
１２
×
０畅 ３
＋
１畅 ２２
×
０畅 ２
＋
１畅 ５２
×
０畅 ５
＝
１畅 ７１３ ，
故
D（ Xi ）
＝
E（
X２ i
）
－
［ E（ Xi ）］２
＝
０畅 ０４８ ９畅
３００
钞 （１） 以 X 表示这天的总收入 ，则 X ＝ Xi ，由中心极限定理得 i＝ １
P｛ X ≥ ４００｝ ＝ P｛４００ ≤ X ＜ ∞ ｝