不等关系与不等式 知识点总结

不等关系与不等式 知识点总结

1、不等式的基本性质

①（对称性）a b b a >⇔>

②（传递性）,a b b c a c >>⇒>

③（可加性）a b a c b c >⇔+>+

（同向可加性）d b c a d c b a +>+⇒>>,

（异向可减性）d b c a d c b a ->-⇒<>,

④（可积性）bc ac c b a >⇒>>0,

bc ac c b a <⇒<>0,

⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒>

（异向正数可除性）0,0a b a b c d c d

>><<⇒>

⑥（平方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦（开方法则）

0,1)a b n N n >>∈>且

⑧（倒数法则）b

a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒

>> 2、几个重要不等式 ①()22

2a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22

.2a b ab +≤

②（基本不等式） 2

a b +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.

变形公式： a b +≥ 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭

用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.

③（三个正数的算术—几何平均不等式）3

a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.

④()222

a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）.

⑤3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>>

（当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b

>+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b

<+≤-若则（当仅当a=b 时取等号）

⑦b

a n

b n a m a m b a b <++<<++<1 其中(000)a b m n >>>>，，

规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或

22.x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式.a b a b a b -≤±≤+

3、几个著名不等式

①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+()a b R +

∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. （即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.

变形公式：

2

22;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭ 2

22

().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式：

222212121...(...).n n a a a a a a n

+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：

≥1122(,,,).x y x y R ∈

④二维形式的柯西不等式： 22222

()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时，等号成立.

⑤三维形式的柯西不等式：

2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++

⑥一般形式的柯西不等式：2222221212(...)(...)

n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++

⑦向量形式的柯西不等式：

设,αβ是两个向量，则,αβαβ⋅≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.

⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++（反序和≤乱序和≤顺序和）

当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和. ⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有 12121212()()()()()().2222

x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或 则称f(x)为凸（或凹）函数.