数理金融学 张永林编著 练习题参考答案

第一章练习参考答案

1. 解：给定状态价格和他的禀赋，他的总财富是

011

a a

b b

w e e e

φφ

=++。他的最优化问题是011

011

,,

011

011

1

max log(log log)

2

s.t.()0

,,0

a b

a b

c c c

a a

b b

a b

c c c

w c c c

c c c

φφ

++

-++=

≥

其一阶条件为：

00

1

1

011

1/

1

(1/)

2

1

(1/)

2

0,0,,

a a a

b b b

a a

b b

i i

c

c

c

c c c w

c i a b

λμ

λφμ

λφμ

φφ

μ

=+

=+

=+

++=

==

给定效用函数的形式，当消费水平趋近于0时，边际效用趋近于无穷。因此，参与者选择的最优消费在每一时期每一状态都严格为正，即所有状态价格严格为正。在这种情况下，我们可以在一阶条件中去掉这些

约束(以及对应的乘子)而直接求解最优。因此，0(0,,)

i i

c i a b

μ==。对于c我们立即得到如下解：

1

c

λ

=,

1

1

11

2

a

a

c

λφ

=,

2

1

11

2

b

b

c

λφ

=

把c的解代人预算约束，我们可以得到λ的解：

2

λ

ω

=

最后，我们有

1

2

c w

=,

1

1

4

a

a

w

c

φ

=,

1

1

4

b

a

w

c

φ

=

可以看出，参与者把一半财富用作现在的消费，把另外一半财富作为未来的消费。某一状态下的消费与对应的状态价格负相关。状态价格高的状态下的消费更昂贵。结果，参与者在这些状态下选择较低的消费。

2.解：考虑一个经济，在1期有两个概率相等的状态a和b。经济中有参与者1和2，他们具有的禀

赋分别为：

1

:100

e

-

-

-2

200

:0

50

e

-

-

-

两个参与者都具有如下形式的对数效用函数：

1

()l o g(l o g l o g)

2a b

U c c c c

=++

在市场上存在一组完全的状态或有证券可以交易。因为有两个状态，因而只有两个状态或有证券。

现在我们开始分析这个经济的均衡。从给定交易证券价格下参与者的最优化问题开始。记[;]

a a

φφφ

=为状态价格(向量)，即两个状态或有证券的价格。我们可以定义每个参与者的财富为

T

w e

φ

=，这里 [1;]

φφ

=；

而e是他的禀赋。这时，最优化问题变成了：

1

m a x l o g(l o g l o g)

2

s.t.

a b

c

a a

b b

c c c

c c c w

φφ

++

++=

该问题的解为

,0

1

2

k k

c w

=,

,

1

4

k

k a

a

w

c

φ

=,

,

1

4

k

k b

a

w

c

φ

=

这里

1

100

w=而

2

20050

a b

wφφ

=+。

均衡由市场出清决定。有两个交易证券，每一市场都应该出清：

1,2,

1,2,

20050

11001

200

44

20050

11001

50

44

a b

a a

a a

a b

b b

b b

c c

c c

φφ

φφ

φφ

φφ

+

+=+=

+

+=+=

均衡价格的解为1/4

a

φ=和1

b

φ=。参与者2的财富为

2

200(1/4)(50)(1)100

w=+=。因此，参与者2

和参与者1的财富相同，尽管他们的禀赋非常不同。均衡配置是

12

[50;[100;25]]

c c

==。这并不奇怪。给定他们具有相同的偏好和财富，他们的消费计划也应该相同。

现在让我们来看看均衡配置。对于每个参与者，他的相对边际效用为

,

,0

0,0,

1

(1/)1/4,

()/2

2

1,

()(1/)22/(4)

k w

k

w k k k

w

k k k k w k w

c a

c

U c w

b

U c c c w

ω

φ

ω

φ

=

?

?

=====?

=

??

这对于两个参与者来说是一样的。

3．解：设投入金额是ax，01

a

≤≤，投资者的投资结果记为X，它等于x ax

+或x ax

-，出现这两种结果的概率分别是p，1p

-，它们的期望效用为：

l o g((1))(1)l o g((1

p a x p a x

++--

log(1)log()(1)log(1)(1)log()

p a p x p a p x

=+++--+-

log()log(1)(1)log(1)

x p a p a

=+++--。

为求出a的最优值，对上式关于a求导

log(1)(1)log(1)

p a p a

++--

得：

1

(log(1)(1)log(1))

11

d p p

p a p a

da a a

-

++--=-

+-

。

令上式等于0，得：1

p ap p a ap

-=-+-或21

a p

=-。

所以投资者每次都应投资他现有财富的100(21)%p -。例如，如果获利的概率0.6p =，则投资者应该投资全部财富的20%。如果0.7p =，他应该投资40%。（当1/2p ≤时，容易证明最优投资数量为0。）

第二章练习参考答案

1.解：由于 2

0.05

1.25(0.20)

β=

=， 所以 0.06 1.25(0.100.06)0.11i r =+-=。 即股票的期望回报率为11%。

第三章练习参考答案

1． 解：设1w y =，2100w y =-，由式 1

[]n

i i i E W w w r ==+

∑

得： []1000.150.18(100)1180.03E W y y y =++-=-。 又由于12(1,2)0.02c v v ρ==-，由式 221

1()(,)n n

i i

i

j

i i j i

Var W w v w w c i j ====

+∑∑∑

得： 22

()(0.04)(100)(0.0625)2(100)(0.02)Var W y y y y =+---

2

0.142516.56

25y y =-

+。 所以我们应该选择y ，使下式的值达到最大：

21180.030.005(0.142516.5625)/2y y y ---+

或等价的，最大化 20.011250.0007125/2y y -。 简单计算后得知y 取下值时，上式达到最大：

0.01125

15.7890.0007125

y =

=。

即，当投资15.789于证券1，投资84.211于证券2时，期末财富的期望效用达到最大。将15.789y =代入前面等式，得[]117.526E W =，()400.006Var W =，最大期望效用等于：

1exp{0.005(117.5260.005(400.006)/2)}0.4416--+=。

这可以和下述投资组合的效用比较一下：将100全部投资到证券1时，期望效用为0.3904；当100全部

投资到证券2时，期望效用为0.4413。

2.解：为了回答这一问题，必须以10％的折现率计算6年之后收到的20 000美元的现值。6F 为20 000，

i 为10％，即0．1，n 为6年。10,6PVIF 为0．564。

1美元的现值(PVIF)

()10,661

$20000$20000(PVIF )$20000(0.564)$1128010.1P ??=?=?=?= ? ?+??

既然这两个值在考虑了时间因素后是等价的，那么这意味着对能够从她的投资中取得10％的回报来说，选择现在收到11 280美元还是选择6年之后得到20 000美元并没什么不同。换句话说，投资人可以在今天以10％的利率投资11 280美元，那么在6年之后就会得到20 000美元。

3. 解：因为750,0.04P r ==，且1

2

t =

。于是 1

2

Pr 750(0.04)$15I t ==?=

并且 75015$765S P I =+=+=

4.解： 每季度计息一次的8%的年复合利率，等价于每个季度以2%的单利利率支付一次利息，而每个季度索要的利息，不仅要考虑原有的本金，而且还要加上累计到该时刻的利息。因此，一个季度后你的欠款为：

1000(1+0.02)；

两个季度后你的欠款为： 21000(1+0.02)(1+0.02)1000(1+0.02)=； 三个季度后你的欠款为： 231000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)+=；

四个季度后你的欠款为： 341000(1+0.02)(10.02)1000(1+0.02)1082.40+==。

5．解：这样的复合利率相当于每个月以月利率1812%1.5%=支付利息，而累计的利息将加到下一个月所欠的本金中。因此，一年后你的欠款为：

12P(1+0.015)1.1956P =。

6．解：有效利率应为： 0.05

0.05

eff Pe P r e 10.05127P

-=

=-≈。 即有效利率是每年5.127%。

7．解：这家公司可以在第1、2、3、4年的年初购买新机器，其对应的六年现金流如下（以1000美元为单位）：

● 在第一年的年初购买新机器：22，7，8，9，10，-4； ● 在第二年的年初购买新机器：9，24，7，8，9，-8；

● 在第三年的年初购买新机器：9，11，26，7，8，-12； ● 在第四年的年初购买新机器：9，11，13，28，7，-16。

为了验证上面所列现金流的正确性，假设公司将在第三年的年初购买新机器，则公司在第一年的成本为旧机器9000美元的运转成本；在第二年的成本为旧机器11000的运转成本；在第三年的成本为新机器22000的购买成本，加上6000美元的运转成本，再减去从替换机器中得到的2000美元；在第四年的成本是7000美元的运转成本；在第五年的成本是8000美元的运转成本；在第六年的成本是-12000美元，它是已经使用了三年的机器价值的负值。其他的三个现金流序列可以通过相似的方法推得。

对于年利率r=0.10，第一个现金流序列的现值为 2345789104

22+

46.0831.1(1.1)(1.1)(1.1)(1.1)

+++-=。 其他现金流的现值可用同样的方法计算出。这四个现金流的现值分别是 46.083，43.794，43.760，45.627． 因此，公司应在两年后购买新机器。 8．解：r=0.0612=0.005是月利率。令1

1r

β=+，他所有存款的现值为 240

2

239

1A A A A A

1ββββ

β

-++++=- 。 类似地，如果W 是在随后的360个月中每月的提款额，那么所有的提款额的现值为 360

240

241

599

240

1W W W W 1ββ

β

β

β

β

-+++=- 。

这样，如果满足以下等式，他就可以实现所有的提款（同时他的账户中也不再有任何钱）：

240360

24011A W 11βββββ

--=--。 对于W 1000=，11.005β=，可以得到 A 360.99=。 这就是说，在240个月中每月存款361美元，就

360个月中每月提取1000美元。

9．解：该现金流可以被复制为初始时刻在银行存入本金c r ，并在每一年的年末提取所得的利息（保留本金不动），但是在初始阶段存入任何少于c r 的金额都无法复制这个现金流，因此这个无限期现金流的现值为c r 。这个结论可以由下式推得：

()2

2311

11(1)(1)11111111c c c c PV r r r r r r c c r r

r

??=+++=+++??++++++????

==+-+

第四章参考答案

1. 解：首先，市场组合的风险溢价是0.120.048%M F r r -=-=。我们有

(0)(0.08)0(1.5)(0.08)12%( 1.5)(0.08)12%

A F

B F

C F r r r r r r -==-==-=-=-

尽管资产A 有相对较高的波动率，但它全是剩余风险，因而没有溢价。它的期望收益将和无风险利率一样，都是4％。资产B 和C 的资产收益波动率有很大一部分来自市场风险。特别地，市场回归的2

R 都是

222(1.5)(0.2)/(0.5)0.36=。然而，它们的溢价却不相同。资产A 有正的12％的溢价，而资产B 有负的12％

的溢价。

如用收益的方差来度量，尽管三个资产有完全相同的总风险，但是风险的构成是不一样的。资产A 的风险与市场风险完全无关。因此，它没有风险溢价。资产B 和C 都有很大的市场风险。但是，它们的风险溢价不同。资产B 的β值为正，因而它的收益与市场收益正相关。给定参与者都持有市场组合，资产B 的风险是不受欢迎的。因此，它有正的溢价。资产C 的β值为负，即它的收益与市场收益负相关。也就是说，当市场表现好时它的收益较低，但市场表现差时它的收益反而较高。对于一个持有市场组合的参与者来说，资产C 实际上提供了一个保险。因此，它有负的溢价。也就是说，参与者愿意为了持有它而付出一个溢价。事实上，资产C 的期望收益是4%12%8%C r =-=-，它是负的。也就是说，排除了不确定性，资产C 得到的平均回报是每年8%-，而市场中的无风险收益率是4％。如果理解了资产C 提供的实质上是对市场风险的一个保险，那么这个结论就不足为奇了。

2. 解：股利的现值

1212%,112%,2122

$2.50$3.125

$2.05(PVIF )$3.125(PVIF )(1)(1)(10.12)(10.12)$2.50(1.25)$3.125(0.797)$2.23$2.49$4.72D D r r =

+=+=?+?++++=?+?=+= 因为股票的价格为： 32$3.28

$46.860.120.05

D P r g =

==--

所以股票价格的现值

12%,2

$46.86(PVIF)$46.86(0.797)$37.35

=?=?=

将得到的这两个现值相加得到普通股的价值：

$4.72$37.35$42.07

P=+=。

3．解：应用证券市场线性方程

11

2

()

()cov(,)

()

M

M

M

E X r

E X r X X

X

σ

-

=+

0.200.10

0.100.0450.15$

0.09

-

=+?=。

即普通股所需的收益率为15%，这就意味着市场将以15%的贴现

1

[(2)]

E V，以确定股票在时期1的市场价格，于是我们有

1

11

[(2)]1000800900$

22

E V=?+?=。

以15%贴现，(1)900/1.15$

V

I

=，因有100股，故每股价值为7.83$。