材料力学单辉祖第三章轴向拉压变形
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o x
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
F2 l l C A
F1
B
60
0
D
42
Example-Bracket
等截面直杆，沿杆长有均布载 荷q及端部集中力P的作用， 求杆中的最大应力和总伸长 解 : 建立坐标系 轴力分析
P
o x
FN q
q L
FN ( x) P q(l x)
P
x
21
Example-变轴力杆
横截面上的正应力
FN ( x) P q(l x) ( x) A A
FN ( x) P q(l x)
q FN+ dFN
直杆总伸长为
d
0 l l 0
x
FN ( x) 1 1 2 dx Pl ql EA EA 2
23
几何叠加法
Example-变截面变轴力
横截面为正方形的砖柱 分为上、下两段，其横 截面尺寸如图所示，已 知P=50kN，材料的弹 性模量E=3GPa， 确定砖柱顶端的位移
1
P
3l P P
14
FN2=P−2P= − P
Example-多力杆
利用胡克定律，杆件1段的伸长为 FN1 L 3Pl 2 l1 () EA EA
杆件2段的伸长为
FN 2 L Pl l2 EA EA ()
方向的标注
15
2P
1
P
l
3l
因此，杆的总伸长为 2 Pl l l1 l2 () EA
2 0 2
FN
Ri O
w2r
6E
3 (2 R0 3R02 Ri Ri3 )
31
Example-动变形
构件作等加速直线运动或等速转动时，构 件产生的动应力分析，一般采用静动法。 即
除外载荷外，构件内各质点处加上相应惯 性力，然后按静载荷问题进行分析和计算
32
Example---等轴力任意变截面 课堂作业P85 3-6
B
F2 l C l
F1 A
解 设斜撑杆CD的轴力 为FN，则刚梁AB受力 MB=0
600
D
FNl sin 30 F1 2l F2 l 0
0
F2 A C
F1 B
轴力FN为
FN
2 F1 F2 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN 4 . 0 10 N 0 sin 30
平衡关系
43
Example-Bracket
P A 240
P
B
P 3000
4000 C
370
24
Example-变截面变轴力
解 如果基础无沉陷， 则砖柱顶端的位移A等 于全柱的缩短量l 砖柱横截面上的轴力N
P A 50kN
P
B
P 3000
50 kN FN 150 kN
轴力图为
在AB段 在BC 段
C
4000
⊖
150kN
叠加原理
通常，由于问题的控制方程是线性的， 因此，可利用叠加原理进行求解
叠加原理：杆件(结构)在几个外力作用下 的总响应(位移、应力等)等于杆件(结构) 在每个力单独作用下的响应的总和 叠加原理成立的条件
① 小变形、小位移 ② Hooke定理成立
16
Example-多力杆
等截面直杆受多力的 作用，其横截面面积 为A，材料的拉(压)弹 性模量为E， 求杆的总变形
2P P
l
3l
17
Example-多力杆
解法二: 载荷叠加法 当杆件在外力F1=P作 用下，整个杆中内力为 FN1=P
l 2P P
3l P
此轴力产生的伸长为
FN1 L 4 Pl lP EA EA
2P
18
Example-多力杆
杆件在外力F2=−2P作 用下，左部分杆件内力 FN2=−2P 右面部分不受力，所以 内力为零。
近似定位：切线法B´´
小变形假设：切线代替弧线
40
桁架位移
d x lBC
Pl BB2 EA tan a ()
d y BE BD DE
l AB lBC Pl Pl 2 sin a tan a EA cos a sin a EA tan 2 a
2 d d x2 d y
各向同性材料独立材料常数只有2个
12
Example-多力杆
等截面直杆受多力的 作用，其横截面面积 为A，材料的拉(压)弹 性模量为E，求杆的 总变形
2P
P
l
3l
13
Example-多力杆
解法一： 几何叠加法(分段叠加法) 轴力分析 FN1=P
l FN1 FN2 2P
F b l l1 b1 F
2
2P
47
Example-杆两段均为动点
画出节点A的位移 B
B
a
A F C
A
C
平移+变形(伸长或缩短)+ 转动(切线代圆弧)
48
Example-刚柔结合
画节点A的位移
1
B
2
3
A
B
A
F
杆2不受力，只转动
49
叠加原理不成立---材料非线性
F
F
F
F1 F2
F1
l1
F2
l
l2
l
第三章 轴向拉压变形
主 讲人： 张能辉
1
3-2 拉压杆的变形与叠加原理
2
变形分析
F
b
b1 l1
F
l
实验发现，拉(压)直杆变形主要是 轴向变形(纵向变形)
当杆拉伸时，杆沿轴向伸长，同时伴随着横 向尺寸略有缩短 当杆压缩时，其轴向尺寸缩短，而横向尺寸 略有增大
3
变形分析
轴向变形
F b l l1 b1 F
0.5意味着是不
可压缩材料橡胶 大多数各向同性材料 0≤ ≤ 0.5 理论上 −1≤ ≤ 0.5
9
变形分析
<0?材料有无？
母一 牛百 乳年 头前
1987年Lakes 0.7 泡沫结构材料
10
空间展开折叠桁架结构
太阳帆
11
变形分析
E G 的关系
E G 理论与实验均已证实 2(1 )
7
变形分析
F
b l
b1 l1
F
横向变形
横向正应变
b b1 b b b
实验和理论发现，在比例极限范围内， 杆的横向变形和轴向变形满足
E
负号???
8
变形分析
一个无量纲的量
E G
比例常数 称为泊松比(Poisson’s Ratio)
l AB lBC
FN1 P / sin a (拉) FN2 P / tan a (压)
FN1 LAB Pl (伸长) EA EA sin a cos a FN 2 LBC Pl (缩短) EA EA tan a
本构关系
39
桁架位移
B点位置的确定
精确定位：弧线法B´
B´
解 轴力分析 设杆AB和BC轴力为FN1和 FN2，以节点为研究对象， 由B点的平衡条件得
FN1 P / sin a (拉）
FN2 FN 1 cos a P / tan a （压）
FN1
y B x
FN2
P
小变形假设：在变形前位置 上建立 平衡关系
38
桁架位移
B点位移分析—几何关系
先假想去掉节点，由 本构关系计算各杆伸长
25
Example-变截面变轴力
砖柱的缩短量为 几何叠加法
FN ABl AB FN BC lBC l AB BC EAAB EABC
(50 1000) 3 (3 109 ) 240 240 106 (150 1000) 4 9 6 (3 10 ) (370 370 10 ) 0.0023 m 2.3 mm
P
A P B 4000 C P 3000
26
Example-变截面变轴力
由于砖柱下端固定，根据 变形的几何相容性条件， 砖柱顶端的位移A等于整 个砖柱的变形l，即
A l 2.3 mm ()
C
P
A P B 4000 P 3000
27
Example-动变形-变载荷集度
图示涡轮叶片以角速度w 匀速 旋转，叶片的横截面面积为A， 弹性模量为E，单位体积的质 量为r，分析叶片的正应力及 其轴向变形。
35
桁架位移
桁架的变形通常用其 节点位移来表示 由于桁架中所有杆件 的受力均为轴向力， 所以，利用拉压杆件 的变形和桁架的几何 约束特征，可分析桁 架的变形
36
桁架位移
图示桁架由AB和BC夹角 为a，两杆的截面积均为A， 弹性模量为E，节点B处受 载荷P的作用，
求桁架在B点处的总位移
37
桁架位移
x
w
q R0
解 如图建立坐标系。由于叶 片以角速度w 匀速旋转，叶片 上 x处单位长度的离心力为
x
Ri O
q ma r A w x
2
28
Example-动变形
利用截面法，在x处假象的将 叶片截开，利用x方向的平衡 条件，该处的轴力为
x q dx x q R0
w
FN w x rAdx
l1 l FN 轴向正应力: 轴向正应变： l A
Hooke’s Law
FN l E A l
FN l 轴向变形 l EA
4
变形分析
FN l l EA
胡克定律反映了在比例极限范围内，轴向 伸长和轴力的线性关系
杆件的轴向伸长l与轴力FN, 杆件长度l 成正比，而EA成反比 由于EA越大，杆件的变形越小；EA越小， 变形越大，称EA为杆件的(抗拉)刚度
F2
斜撑杆CD的轴向变形
CD FN lCD EA FN l 0 EA cos 30 0.0015 m (缩短)
l B
60
0
F1 l A
C
D
本构关系
44
Example-Bracket
近似位置的确定
在斜撑杆CD上取CC´´ 的长度为CD，过C´´点 作CD的垂线； 与过C点AB的垂线交于 点C´； 连接BC´线，与过A点 AB的垂线交于点A´。
5
变形分析---胡克定律
Robert Hooke，1635-1703年, 英国博物学家、发明家 物 理 学: 胡克定律，万有引 力的平方反比关系。 机械制造: 真空泵、显微镜和 望远镜 生 物 学: cell一词由他命名
6
变形分析---郑玄-胡克定律
早胡克1500年 东汉郑玄(公元127-200) 《考工记· 马人》“量其 力,有三钧”注解:“假设 弓力胜三石,引之中三尺, 驰其弦,以绳缓擐之,每 加物一石,则张一尺。”
2 x
R0
1 2 w rA( R02 x 2 ) 2
叶片的正应力为
FN
Ri O
FN 1 2 2 2 ( x) w r ( R0 x ) A 2
29
Example-动变形
q
x
最大正应力发生在叶片底部
w
q x R0
max ( Ri )
w2r
2
( R02 Ri2 )
板厚d b1 b2
F
F
弹性模量E l 求板的轴向变形
33
Example---问题：变截面、变载荷、变材料梁
dx
FN ( x) d l dx E ( x) A( x)
FN ( x) l d l dx 0 0 E ( x) A( x)
l l
34
3.3 桁架的节点位移 与小变形概念
FN
Ri O
在x处取出一个长为dx单元体， 根据胡克定理，单元体的伸长
FN +dFN dx
FN dx w r 2 d ( R0 x 2 )dx EA 2E
2
FN
30
Example-动变形
叶片的轴向伸长为
d
Ri R0
x q q x R0
w
R0
w r
2
Ri
2E
( R x )dx
FN q
q
L
最大正应力发生在x = 0处
P
max
FN (0) P ql (0) A A
P
x
22
Example-变轴力杆
取长度为dx的微元体 由胡克定理知，微元体伸长为
FN ( x) d dx EA
FN ( x) P q(l x)
o x
FN
dx dFN对微段变形忽略
杆件在外力F2作用下 的伸长为
l
2P
P
3l P
2P
l2 P
FN 2 L 2 Pl EA EA
19
Example-多力杆
杆件的总伸长为
l l P l2 P
方法一答案
2 Pl l l1 l2 EA ()
2 Pl EA
2P
P
l
3l
20
Example-变轴力杆
B
60 0
F2 l
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
45
Example-Bracket
利用几何关系， 得A点垂直位移AA´
A 2CC CD 2 6.0 mm 0 sin 30
l B
600
F2
F1
l
C A
C"
D
C´ A´
几何关系
46
Example-零力杆
求A点的位移
*AB杆不受力不伸长，只转动
()
41
Example-Bracket
图示托架，AB为刚梁，CD为支撑杆，已知 F1=5kN，F2=10kN，l=1m，斜支撑CD为铝 管，弹性模量为E=70GPa，横截面面积为 A=440mm2，求刚梁AB端点A的铅垂位移。
F2 l l C A
F1
B
60
0
D
42
Example-Bracket
等截面直杆，沿杆长有均布载 荷q及端部集中力P的作用， 求杆中的最大应力和总伸长 解 : 建立坐标系 轴力分析
P
o x
FN q
q L
FN ( x) P q(l x)
P
x
21
Example-变轴力杆
横截面上的正应力
FN ( x) P q(l x) ( x) A A
FN ( x) P q(l x)
q FN+ dFN
直杆总伸长为
d
0 l l 0
x
FN ( x) 1 1 2 dx Pl ql EA EA 2
23
几何叠加法
Example-变截面变轴力
横截面为正方形的砖柱 分为上、下两段，其横 截面尺寸如图所示，已 知P=50kN，材料的弹 性模量E=3GPa， 确定砖柱顶端的位移
1
P
3l P P
14
FN2=P−2P= − P
Example-多力杆
利用胡克定律，杆件1段的伸长为 FN1 L 3Pl 2 l1 () EA EA
杆件2段的伸长为
FN 2 L Pl l2 EA EA ()
方向的标注
15
2P
1
P
l
3l
因此，杆的总伸长为 2 Pl l l1 l2 () EA
2 0 2
FN
Ri O
w2r
6E
3 (2 R0 3R02 Ri Ri3 )
31
Example-动变形
构件作等加速直线运动或等速转动时，构 件产生的动应力分析，一般采用静动法。 即
除外载荷外，构件内各质点处加上相应惯 性力，然后按静载荷问题进行分析和计算
32
Example---等轴力任意变截面 课堂作业P85 3-6
B
F2 l C l
F1 A
解 设斜撑杆CD的轴力 为FN，则刚梁AB受力 MB=0
600
D
FNl sin 30 F1 2l F2 l 0
0
F2 A C
F1 B
轴力FN为
FN
2 F1 F2 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱN 4 . 0 10 N 0 sin 30
平衡关系
43
Example-Bracket
P A 240
P
B
P 3000
4000 C
370
24
Example-变截面变轴力
解 如果基础无沉陷， 则砖柱顶端的位移A等 于全柱的缩短量l 砖柱横截面上的轴力N
P A 50kN
P
B
P 3000
50 kN FN 150 kN
轴力图为
在AB段 在BC 段
C
4000
⊖
150kN
叠加原理
通常，由于问题的控制方程是线性的， 因此，可利用叠加原理进行求解
叠加原理：杆件(结构)在几个外力作用下 的总响应(位移、应力等)等于杆件(结构) 在每个力单独作用下的响应的总和 叠加原理成立的条件
① 小变形、小位移 ② Hooke定理成立
16
Example-多力杆
等截面直杆受多力的 作用，其横截面面积 为A，材料的拉(压)弹 性模量为E， 求杆的总变形
2P P
l
3l
17
Example-多力杆
解法二: 载荷叠加法 当杆件在外力F1=P作 用下，整个杆中内力为 FN1=P
l 2P P
3l P
此轴力产生的伸长为
FN1 L 4 Pl lP EA EA
2P
18
Example-多力杆
杆件在外力F2=−2P作 用下，左部分杆件内力 FN2=−2P 右面部分不受力，所以 内力为零。
近似定位：切线法B´´
小变形假设：切线代替弧线
40
桁架位移
d x lBC
Pl BB2 EA tan a ()
d y BE BD DE
l AB lBC Pl Pl 2 sin a tan a EA cos a sin a EA tan 2 a
2 d d x2 d y
各向同性材料独立材料常数只有2个
12
Example-多力杆
等截面直杆受多力的 作用，其横截面面积 为A，材料的拉(压)弹 性模量为E，求杆的 总变形
2P
P
l
3l
13
Example-多力杆
解法一： 几何叠加法(分段叠加法) 轴力分析 FN1=P
l FN1 FN2 2P
F b l l1 b1 F
2
2P
47
Example-杆两段均为动点
画出节点A的位移 B
B
a
A F C
A
C
平移+变形(伸长或缩短)+ 转动(切线代圆弧)
48
Example-刚柔结合
画节点A的位移
1
B
2
3
A
B
A
F
杆2不受力，只转动
49
叠加原理不成立---材料非线性
F
F
F
F1 F2
F1
l1
F2
l
l2
l
第三章 轴向拉压变形
主 讲人： 张能辉
1
3-2 拉压杆的变形与叠加原理
2
变形分析
F
b
b1 l1
F
l
实验发现，拉(压)直杆变形主要是 轴向变形(纵向变形)
当杆拉伸时，杆沿轴向伸长，同时伴随着横 向尺寸略有缩短 当杆压缩时，其轴向尺寸缩短，而横向尺寸 略有增大
3
变形分析
轴向变形
F b l l1 b1 F
0.5意味着是不
可压缩材料橡胶 大多数各向同性材料 0≤ ≤ 0.5 理论上 −1≤ ≤ 0.5
9
变形分析
<0?材料有无？
母一 牛百 乳年 头前
1987年Lakes 0.7 泡沫结构材料
10
空间展开折叠桁架结构
太阳帆
11
变形分析
E G 的关系
E G 理论与实验均已证实 2(1 )
7
变形分析
F
b l
b1 l1
F
横向变形
横向正应变
b b1 b b b
实验和理论发现，在比例极限范围内， 杆的横向变形和轴向变形满足
E
负号???
8
变形分析
一个无量纲的量
E G
比例常数 称为泊松比(Poisson’s Ratio)
l AB lBC
FN1 P / sin a (拉) FN2 P / tan a (压)
FN1 LAB Pl (伸长) EA EA sin a cos a FN 2 LBC Pl (缩短) EA EA tan a
本构关系
39
桁架位移
B点位置的确定
精确定位：弧线法B´
B´
解 轴力分析 设杆AB和BC轴力为FN1和 FN2，以节点为研究对象， 由B点的平衡条件得
FN1 P / sin a (拉）
FN2 FN 1 cos a P / tan a （压）
FN1
y B x
FN2
P
小变形假设：在变形前位置 上建立 平衡关系
38
桁架位移
B点位移分析—几何关系
先假想去掉节点，由 本构关系计算各杆伸长
25
Example-变截面变轴力
砖柱的缩短量为 几何叠加法
FN ABl AB FN BC lBC l AB BC EAAB EABC
(50 1000) 3 (3 109 ) 240 240 106 (150 1000) 4 9 6 (3 10 ) (370 370 10 ) 0.0023 m 2.3 mm
P
A P B 4000 C P 3000
26
Example-变截面变轴力
由于砖柱下端固定，根据 变形的几何相容性条件， 砖柱顶端的位移A等于整 个砖柱的变形l，即
A l 2.3 mm ()
C
P
A P B 4000 P 3000
27
Example-动变形-变载荷集度
图示涡轮叶片以角速度w 匀速 旋转，叶片的横截面面积为A， 弹性模量为E，单位体积的质 量为r，分析叶片的正应力及 其轴向变形。
35
桁架位移
桁架的变形通常用其 节点位移来表示 由于桁架中所有杆件 的受力均为轴向力， 所以，利用拉压杆件 的变形和桁架的几何 约束特征，可分析桁 架的变形
36
桁架位移
图示桁架由AB和BC夹角 为a，两杆的截面积均为A， 弹性模量为E，节点B处受 载荷P的作用，
求桁架在B点处的总位移
37
桁架位移
x
w
q R0
解 如图建立坐标系。由于叶 片以角速度w 匀速旋转，叶片 上 x处单位长度的离心力为
x
Ri O
q ma r A w x
2
28
Example-动变形
利用截面法，在x处假象的将 叶片截开，利用x方向的平衡 条件，该处的轴力为
x q dx x q R0
w
FN w x rAdx
l1 l FN 轴向正应力: 轴向正应变： l A
Hooke’s Law
FN l E A l
FN l 轴向变形 l EA
4
变形分析
FN l l EA
胡克定律反映了在比例极限范围内，轴向 伸长和轴力的线性关系
杆件的轴向伸长l与轴力FN, 杆件长度l 成正比，而EA成反比 由于EA越大，杆件的变形越小；EA越小， 变形越大，称EA为杆件的(抗拉)刚度
F2
斜撑杆CD的轴向变形
CD FN lCD EA FN l 0 EA cos 30 0.0015 m (缩短)
l B
60
0
F1 l A
C
D
本构关系
44
Example-Bracket
近似位置的确定
在斜撑杆CD上取CC´´ 的长度为CD，过C´´点 作CD的垂线； 与过C点AB的垂线交于 点C´； 连接BC´线，与过A点 AB的垂线交于点A´。
5
变形分析---胡克定律
Robert Hooke，1635-1703年, 英国博物学家、发明家 物 理 学: 胡克定律，万有引 力的平方反比关系。 机械制造: 真空泵、显微镜和 望远镜 生 物 学: cell一词由他命名
6
变形分析---郑玄-胡克定律
早胡克1500年 东汉郑玄(公元127-200) 《考工记· 马人》“量其 力,有三钧”注解:“假设 弓力胜三石,引之中三尺, 驰其弦,以绳缓擐之,每 加物一石,则张一尺。”
2 x
R0
1 2 w rA( R02 x 2 ) 2
叶片的正应力为
FN
Ri O
FN 1 2 2 2 ( x) w r ( R0 x ) A 2
29
Example-动变形
q
x
最大正应力发生在叶片底部
w
q x R0
max ( Ri )
w2r
2
( R02 Ri2 )
板厚d b1 b2
F
F
弹性模量E l 求板的轴向变形
33
Example---问题：变截面、变载荷、变材料梁
dx
FN ( x) d l dx E ( x) A( x)
FN ( x) l d l dx 0 0 E ( x) A( x)
l l
34
3.3 桁架的节点位移 与小变形概念
FN
Ri O
在x处取出一个长为dx单元体， 根据胡克定理，单元体的伸长
FN +dFN dx
FN dx w r 2 d ( R0 x 2 )dx EA 2E
2
FN
30
Example-动变形
叶片的轴向伸长为
d
Ri R0
x q q x R0
w
R0
w r
2
Ri
2E
( R x )dx