不等式证明 比较法

a ?1
b
当b<0 时，a ? b ?
2、利用比较法证明不等式的基本步骤：
a ?1
b
作差法：作差—变形—定号. 变形常用因式分解，分组配方等 作商法：作商——变形（化简）——判断（商值与实数1的大小关系）
对商的变形常有约分化简，合并等 .
3、一般情况下，多项式比较用作差法，而积商的形式用作商法 .
2.不等式 a ? m ? a (;a, b, m ? R? ) 给出了真分数的一个重要性质即真分数分子
b? m b
分母，同时加上一个正数，分数的值变大 .
3. 观察不等式（3）左右两边的指数特征，可将其推广到一般情
形：已知a,b 是正数，m, n ? N ? 且m<n , 求证 an ? bn ? an? mbm ? ambn?m
说明：作商比较法是将问题转化为商与 1 的关系，故变形时要注意1 的几种情 形，如1=a 0=log aa=a/a 等，对商的变形目的常为an,log an等形式，以利于利用 指数函数和对数函数的单调性作出判断
例4.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有 一半 时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以 速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。如果m≠n ，问甲、乙 两人谁先到达指定地点。
根据前一节学过的知识，我们如何用实数运
a 算来比较两个实数 与 b 的大小？
a?b>0? a>b，a?b<0? a<b，a?b=0? a=b
1、作差比较法的依据： （实数的运算性质）
a?b? a?b? 0 a?b? a?b? 0 a? b? a?b?0
作差比较法的步骤：作差 ——变形（化简） ——定号 （差值 的符号）
析：设甲，乙两人走完全程所用的时间分别为 t1 ,t 2，则将问题转化为判断时 间的大小即可.
解这类题的步骤是：分析题意，设未知量，找出数量关系（正数关系，相等 关系，不等关系）列出函数关系式，求解，作答 .
练习：
1. 求证：a2 ? b2 ? 2 ? 2a ? 2b
2. 已知
a?
2
求证： 4a
4 ? a2
例2.
已知a,b
都是负数，试比较
a2 a2? ?源自b2 b2与a a
? ?
b b
的大小关系
说明：本题作差变形后符号不确定，因而得用分类讨论得思想方法
来确定符号，再分类讨论时要作到不重不漏，作商比较法时要注意
除以 a ? b 的符号对结果的影响 a? b
例3、已知a>b>0, 求证：aabb>a bba
?1
3. 已知c>a>b>0,
求证：c
a ?
a
?
c
b ?
b
4. 已知a,b,c,d 都是正数，且bc>ad ，求证
a a?c c
?
?
b b? d d
1、作差比较法的依据： （实数的运算性质）
a ? b? a?b ? 0 a? b? a?b? 0 a? b? a?b? 0
作商比较法的原理：
当b>0 时，a ? b ?
a?m ? a b? m b
（3）已知 a, b都是正数，并且 a ? b，求证：a5 ? b5 ? a2b3 ? a3b2
注意：1. 用作差比较法证明不等式得步骤为作差 —变形—定号. 常用的变形方法有：配 方法，通分法，因式分解法，有时把差变形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形
式或变形为几个因式积的形式 . 变形到可判断符号为止.
2、作商比较法的原理及步骤：
a ,b ? a? b a? b a? b
R?
?
a
b
a ?
b
a ?
b
?1 ?1 ?1
步骤：作商 ——变形（化简） ——判断 （商值与实数 1的大小关系 ）——得出结论
例1：求证下列不等式
（1）求证：x2 ? 3 ? 3x
（2）已知 a, b, m 都是正数，并且a ? b, 求证