三角函数专题练习(含答案)

三角函数

1.已知函数()2sin 2

x f x x =-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间20,

3π⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最小值．

【答案】（1）2π；（2）

考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值. 2.已知

． 求

的值；

求的值．

【答案】（1）；（2）．

考点：1、两角和的正切公式；2、特殊角的三角函数值；3、二倍角的正、余弦公式；4、同角三角函数的基本关系.

3.已知函数 （1）求最小正周期；

（2）求在区间上的最大值和最小值.

【答案】（1） ；（2）最大值为

2

()(sin cos )cos 2f x x x x =++()f x ()f x [0,

]2

π

π1+

考点：1.三角函数的性质；2.三角函数的最值. 4.（15年福建文科）若，且为第四象限角，则的值等于（ ） A ．

B ．

C ．

D ． 【答案】D 【解析】

试题分析：由，且为第四象限角，则，则

，故选D ． 考点：同角三角函数基本关系式．

5

sin 13

α=-

αtan α125125-512512

-5sin 13α=-

α12cos 13

α==sin tan cos α

αα

=

5

12

=-

5.已知函数． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）将函数的图象向右平移

个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2． （ⅰ）求函数的解析式；

（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）；（ⅱ）详见解析． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将化为

，然后利用求周期；（Ⅱ）由函数的解析式中给减

，再将所得解析式整体减去得的解析式为，当取1的时，取最大值，列方程求得，从而的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，可解不等式，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数

．

试题解析：（I ）因为

．

所以函数的最小正周期．

(

)2cos 10cos 222

x x x f x =+()f x ()f x 6

π

a 0a >()g x ()g x ()g x 0x ()00g x >2π()10sin 8g x x =-()f x ()10sin 56f x x π⎛

⎫=++ ⎪⎝⎭

2T πω=()f x x

6

π

a ()g x ()10sin 5g x x a =+-sin x ()g x 105a +-13a =()g x 0x ()00g x >()00g x >0x (

)2cos 10cos 222

x x x

f x =

+5cos 5x x =++10sin 56x π⎛

⎫=++ ⎪⎝

⎭()f x 2πT =

（II ）（i ）将的图象向右平移

个单位长度后得到的图象，再向下平移（）个单位长度后得到的图象． 又已知函数的最大值为，所以，解得． 所以．

（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数，使得，即． 由

知，存在，使得． 由正弦函数的性质可知，当时，均有． 因为的周期为，

所以当（）时，均有． 因为对任意的整数，，

所以对任意的正整数，都存在正整数，使得． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式．

6.如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin (x ＋Φ)＋k ，据此

函数可知，这段时间水深(单位：m )的最大值为____________.

()f x 6

π

10sin 5y x =+a 0a >()10sin 5g x x a =+-()g x 21052a +-=13a =()10sin 8g x x =-0x ()00g x >0x 010sin 80x ->04sin 5

x

>

45<003πα<<04sin 5

α=()00,x απα∈-4

sin 5

x >sin y x =2π()002,2x k k παππα∈++-k ∈Z 4sin 5

x >

k ()()00022213

k k π

ππαπαπα+--+=->

>k ()002,2k x k k παππα∈++-4sin 5

k x >0x ()00g x >6

π

【答案】8 【解析】

试题分析：由图像得，当时，求得，

当时，，故答案为8.

考点：三角函数的图像和性质. 7.已知函数

()()sin cos 0,,

f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调

递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ．

【解析】

试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得

π

2ωω

≤

,且(

)2

2

2πsin cos sin 14f ωωωω⎛

⎫=+=

⇒+= ⎪⎝

⎭,

所以2

ππ42ωω+

=⇒= 考点：三角函数的性质.

8.已知tan 2α=-，()1

tan 7

αβ+=，则tan β的值为_______. 【答案】3 【解析】

sin(

)16

x π

+Φ=-min 2y =5k =sin(

)16

x π

+Φ=max 3158y =⨯+=