数列通项公式及求和公式几种常用方法

课题 数列通项公式及求和公式几种常用方法

通项公式的常用方法如下：

（1）定义法（适用于等差数列、等比数列）；

例1、已知数列{}n a 中，2,841==a a ，且满足)(,212*++∈-=N n a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式。

练习：在数列{}n a 中，)(,21*+∈=-N n a a n n ，若2210=a ，求3a

（2）作差法（适用于已知n S ，求n a ）

n S 与n a 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-)2(,)1(,11n S S n S a n n

n 例2、已知数列{}n a 的前n 项和为22-+=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式。

练习1：已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n 322-=，求数列{}n a 的通项公式。

（3）叠加法（适用于)(1n f a a n n =-+型）；

例3、数列{}n a 满足11a =，n a a n n =-+1，求数列{a n }的通项公式．

练习2：在数列{}n a 中，)11ln(,211n a a a n n +

+==+，求数列{}n a 的通项公式．

（4）叠乘法（适用于)(1n f a a n

n =+型）； 例4、数列{}n a 满足31=a ，

11-=+n n a a n n ，求数列{a n }的通项公式．

练习3：在数列{}n a 中，1

,111+=

-=+n a a a a n n n ，求数列{}n a 的通项公式．

（5）构造法（b ka a n n +=+1型）； 例5、已知数列{}n a 满足11a =，121n n a a +=+（1）求证：数列{}1+n a 成等比数列；（2）n a 的表达式

数列求和的常用方法如下：

⑴公式法：利用已知的求和公式来求和，如等差数列与等比数列求和公式；

（2）分组求和法：所谓分组求和法，即将一个数列中的项拆成几项，转化成特殊数列求和。

例2、求数列Λ,1614

,813,412,211的前n 项和；

（3）倒序相加法：将一个数列倒过来排序（倒序），当它与原数列相加时，若有因式可提，并且剩余的项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和。如等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=

的推导。 例3、已知)(x f 满足R x x ∈21,，当121=+x x 时，2

1)()(21=+x f x f ，

求*∈+-++++N n f n

n f n f n f f ),1()1(

)2()1()0(Λ的值；

练习：求οοοοΛ89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 202222+++++的值。

（4）裂项相消法：若数列}{n a 能裂项成)()1(n f n f a n -+=，即所裂两项具有传递性（即关于n 的相邻项，使展开后中间项能全部消去）。

例4、已知数列}{n a 满足)1(1+=

n n a n ，求数列}{n a 的前n 项和n S

练习：1、求数列n

+++++++ΛΛ3211,,3211,211,

1的前n 项和n S

2、已知数列}{n a 的通项公式为11n a n n =

++，求前n 项的和n S ．

总结规律：裂项相消求和就是将数列的每一项拆成两项或多项，使数列中的项出现有规律的抵消项，从而达到求和的目的。常见的拆项公式有： )1(1+=n n a n = ；)13)(23(1+-=n n a n = ；)

2)(1(1++=n n n a n = ； （5）错位相减法：这是推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ⋅的前n 项和，其中}{n a 、}{n b 分别是等差数列和等比数列。

例5、求数列}2{n n ⋅的前n 项和n S 。

练习：求和：n n n S 2

12854321-++++=

Λ