3.从开普勒定律到万有引力定律

从开普勒定律到牛顿万有引力定律的推导过程
高中阶段，由于缺少数学知识，从开普勒定律到万有引力的推导只能在简化之后的圆轨道上进行。

甚至大学阶段，普通物理的教材中，也采用了这个方法。

本文力图从原始的椭圆轨道入手，导出万有引力定律。

当然，这个过程不可能不涉及高等数学的知识。

首先我们做一个准备工作，然后再集中考虑推导的过程。

如果“准备”中的知识已完全清楚，则可以直接考虑定律的推导了。

第一部分 准备
一、极坐标中的椭圆方程
椭圆定义为到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的集合。

如图1所示，在极坐标中，Ox 为极轴l 是垂直于极轴的定直线，它与O 点的距离为p 。

由椭圆的定义可知：
e r p r
=+θ
cos
整理可得：
θ
cos 1e pe
r -=
(1)
二、极坐标中的位置矢量
极坐标中，r 表示从原点到曲线上一点的距离，如果我们以原点O 为参考，则r 实际上只表示出了位置矢量的大小。

为了明确其方向，我们沿着r 所在的直线做出单位矢量i 作为径向单位向量。

另外，将i 旋转
2
π
得到j 作为横向单位向量。

显然物体的位置矢量可表示为： ri =r (2)
上式中等号右边的r 表示的是位矢的大小，i 表示的位矢的方向。

但是应当注意的是，
x
O θ
图1
l
r
不管是r 还是i ，都不一定是常量。

这和直角坐标系中的单位向量是常量是有区别的。

另外，r 和i 都是θ的函数，在运动学中θ又是时间t 的函数。

所以，r 和i 都是时间t 的函数，所以我们也可以说位置矢量r 是时间的函数。

在这里，我们必须清楚的是，极坐标中的矢量表示和用极坐标表示函数关系并不完全是一回事。

若用极坐标表示数量关系，我们只需要用标量式()θr r =即可，在表示矢量时，我们不得不在这个基础上加上了单位向量i 。

三、极坐标中的速度和加速度
下面我们先求单位向量对时间的导数。

在图3中，以Ox 方向为x 轴，O 为原点，垂直Ox 向上为y 轴建立直角坐标系，用ξ、
η表示沿x 轴、y 轴的单位向量，则i 、j 可分别表示为：
θηθξsin cos +=i ，θηθξηπθξπθcos sin 2sin 2cos +-=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=j
因此
()()()dt
d dt d d d dt d dt di θ
θηθξθθθηθξθηθξcos sin sin cos sin cos +-=⋅+=+= 对比j 的表达式有，
j dt
di θ
=……………………………………………（3） x
图3
r
i
j
θd θ
O Δi
θd x
O θ
图2
r
i
j
其中θ 表示θ对时间的导数dt
d θ。

同理可知：
i dt
dj θ -=……………………………………………（4） 下面我们对位矢函数ri =r 求导，这样可以得到在极坐标系中的速度公式。

j r i r dt
di r i r dt d θ +=+==
r v ……………………………………………（5） 将上面得到的速度公式再次求导可以得到加速度的表达式：
()()
()(
)
j r r i r r i r j r j r j r i r dt dj r j r j r dt di r i r dt
j dr dt i r
d dt d θθθ
θθθθθθθθ 222++-=-+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+
==v a 其中
2θ
r r a r -=……………………………………………（6） θθ
θ r r a 2+=……………………………………………（7） 分别表示径向加速度和横向加速度。

第二部分 推导
开普勒定律的内容是：
开普勒第一定律，也称椭圆定律：每一个行星都沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。

开普勒第三定律，也称调和定律：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

由（7）式可知：
()
()
dt
r d r r r r r r r a θθθθθθ 221212=+=+=
由开普勒第二律可知：
常数=θ
2r 故上式中
()
02=dt
r d θ
这就是说，
02=+θθ
r r ……………………………………………（8） 由椭圆方程θcos 1e pe
r -=
可得：
θcos 1e r
pe
-=……………………………………………（9） 对时间t 求导可得：
θθ sin 2=-
r
p r ……………………………………………（10） 由（10）式可得：
θθ sin 2
p
r r
-=……………………………………………（11） 再次对时间求导可得：
()()
(
)
θ
θθ
θθθθθθθθθθθcos cos sin 2cos sin cos sin 222222
2p
r r p r r r r p
r r p r p r p r p r r r -=-=+--=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=
即：
θθ
cos 22p
r r -= (12)
由椭圆方程θ
cos 1e pe
r -=
可知
r
p e -=
1cos θ 代入（12）式可知：
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=12pe r r r θ (13)
由（6）可知：
pe r r pe r r r r a r 2222
2
1θθθθ -=-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-= 对上式右边分数线上下同乘以2
r 有
()22
21
r
pe
r a r
⋅
-
=θ ……………………………………………（14） 由开普勒第二定律知，对于一个确定的行星来说2θ
r 为一常数，pe 也是常数。

这就是说（14）式的意义是：对于一个确定的行星，它的加速度（等于它的径向加速度）与它到太阳的距离r 的二次方成反比。

但是，对于不同的行星，2θ
r 与pe 未必是相同。

也就是说我们只得到了对于一个确定的行星成立的规律，对于所有的行星来说，还不一定成立。

虽然我们可以肯定的说，引力的大小与行星与太阳的距离的二次方成反比，但是我们不能保证两颗行星的比例系数是相同的。

但幸运的是，到目前为止，我们还没有应用开普勒第三定律。

下面我们接着进行没有完成的讨论。

由开普勒第三定律知：
k T
a =23
……………………………………………（14） 而单位时间内行星与太阳的连线扫过的面积，即面积的变化率为：
T
ab r πθ= 221……………………………………………（15） 其中，a 、b 分别表示椭圆的长轴与短轴，而ab π表示的是椭圆的面积。

因此有：
()
2
2
222
2
4T b a r πθ= (16)
由（14）式有a
k
T a =22，代入（16）式有：
()
a
k b r 2222
4πθ= (17)
将（17）式代入（14）式有：
222
1
4r
pea b k a r ⋅⋅-=π (18)
在上式中，除了pea b 2外，都是与轨道无关的量，因此我们只需要证明pea
b 2
也与轨道无
关。

下面我们的主要思想是想办法替换p 。

对椭圆方程θ
cos 1e pe
r -=
来说，
当0=θ时，e pe
r -=11 (19)
当πθ=时，e
pe
r +=12 (20)
如图4所示，1r 用红色的线段来表示，2r 用绿色的线段来表示。

可知：
a r r 221=+ (21)
（19）（20）代入（21）可得：
()
21e a pe -= (21)
因此
x
O θ 图4
l
r 1r
2r
()
1112222222
22
222
2==-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=-=b b c
a b a c a b e
a b pea b 代入（18）式可得：
2
21
4r k a r ⋅
-=π……………………………………………（23） 上式中，k 2
4π是与轨道无关的量，负号的含义是r a 的方向与矢径r 的方向相反。

至此，我们由开普勒定律推导出了引力的距离平方反比关系。

在（23）的基础上乘以行星的质量m ，就可以得到：
2
24r m k F ⋅
-=π 即：
2
r m
F ∝
……………………………………………（24） 这正是我们想要的结果。