特勒根定理

~ N
~ ，若满足： N
具有相同的拓扑结构；
2）如果内部支路（独立电源以外的支路 ）具 有阻 抗表达形式，并满足 ~ ~ T T Z b Z b 或 Yb Yb
其中 3） N
Zb
和
~端口以外的支路，即独立电源支路具 N
有相同的性质（电压源或电流源） 和
和
Yb
分别是支路阻抗矩阵和支路导纳矩阵；
网络N参数变化后的变量
~ ~T (Vb Vb ) I b Vb ( I b I b ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ (Vb I b VbT I b ) VbT I b VbT I b VbT I b VbT I b
＝０
T
~ ~T (Vb Vb ) I b Vb ( I b I b )
由于
Vb Z b I b
Vb Zb I b Zb I b ZbI b Vb ZbI b Zb I b
则有：
上式略去二阶小量后，得
2015-1-15
第6章 特勒根定理
18
~ 设网络N的伴随网络为 N
~ ~ VbT I b VbT I b 0
T
则有：
网络N参数变化前的变量
k 1 b
k 1
~ Vk I k 0
非独立源支路
b
np np nb ~ ~ ~ ~ ( V j I j V j I j ) ( Vk I k Vk I k ) 0 独立源支路 j 1
np np ~T ~ ~ I b Z b I b ( Vk I k Vk I k ) 0 k 1
从而
~ Yn YnT
~T Zm Zm
同理可得
2015-1-15
第6章 特勒根定理
15
网络的互易性是交互互易性的特例
若网络N由互易元件构成 ~T ~ T~ T~ T~ T T~ T Vb Ib Vb Ib Vb Ib Ib Vb I b Zb Ib Ib Zb Ib
T~ Vb I b
第6章 特勒根定理
3
二、特勒根定理2（不同网络）： 对于两个网络，若拓扑结构完全相同，且支路标定方向完全一致， 必有: ~T T~ Vb I b 0 V b Ib 0 ~ ~ Vb , I b 和 V 分别属于两个不同网络的电压和电流 b , Ib
~ Vk I k 0
k 1 b
~ Vk I k 0
T~ Vb Ib
~ Ka Ib 0
0
故必有
~ ~ T~ VbT Ib VbT ( Kb Im ) ( KbVb )T Im
由基尔霍夫电压定律 KbVb 0 故必有
2015-1-15
~ VbT Ib 0
第6章 特勒根定理 5
三、 物理意义
特勒根定理1 反映了网络能量守恒关系，称之为功率守恒定理。 特勒根定理2 是两个不同网络支路电压和电流的乘积，具有功率 量纲，没有实际意义，称之为拟（似）功率守恒定律
JS

R1
计算 Vo 对电阻元件的灵敏度
R3
R4
V0
J S 1A
伴随网络
(a)
R2
R2
JS

R1
R3
R4
Jo 0 V0
~ JS 0

R1
R3
R4
~ Jo 1
~ V0
(b) (c)
I R1, I R2 , I R3 , I R4
2015-1-15 第6章 特勒根定理
由于网络有互易元件组成，故
~ ~ (V j I j V j I j ) 0
j
b
得到 p
k
~ ~ (Vk I k Vk I k ) 0
互易定理：同一个网络的两种不同的状态
2015-1-15 第6章 特勒根定理 11
5.4 交互互易定理 (两个网络)
1. 伴随网络(两个网络) 对于网络 N 和 1） N 和
~T Vb I b ) 0
~ ~ ~ I bT Vb VbT I b I bT Z b I b
第6章 特勒根定理 19
2015-1-15
~T ~ ~T Ib ΔVb VbT Δ I b I b Δ Zb I b
非独立源支路
~ V k Ik 0
k 1 b
由基尔霍夫电流定律 Ka I b 0
故必有
T Vb I b
0
K b：回路－支路关联矩阵
功率守恒
T 由网络的关联性可知 Ib Kb Im
T VbT Ib VbT ( Kb Im ) ( KbVb ) Im
T
由基尔霍夫电压定律 故必有
2015-1-15
KbVb 0
VbT I b 0
在稳态情况下，线性电容及电感为互易元件
~ ~ ~ ~ V1I1 V1I1 ZI1I1 ZI1I1 0
不是所有元件都是互易元件， 如晶体管，回转器，独立电源等等
2015-1-15 第6章 特勒根定理 9
互易定理：由互易元件组成的P端口网络一定是互易的
I1

Ip
V1


~ I1
Vp
~ Ip
第6章
5.1 引言
特勒根定理
特勒根定理是关于电网络拓扑结 构的定理 它脱离了元件具体的物理性态 因而具有更普遍的意义。
2015-1-15
第6章 特勒根定理
1
5.2 特勒根定理
一、 特勒根定理1（同一个网络）： 对n个节点b条支路的电网络，在标定支路的参考方向后， 必有：
T Vb Ib
0
Vb I b
S x T / x
工程中，灵敏度定义
2015-1-15
T Sx
T / x
17
第6章 特勒根定理
若网络N的支路参考数发生了变化 Z b 其电压的变化为 Vb 其电流的变化为 I b 其支路约束方程应为:
(Vb Vb ) ( Zb Zb )( I b I b ) Zb I b Zb I b Zb I b Zb I b
np
若网络独立源由电压源组成，则
k 1
~ ~T V I I k k b Zb Ib
若求第j支路灵敏度，可设
~ Vk 0 ~ Vj 1 (k 1 ~ np, k j )
np
~T I j I b Z b I b
2015-1-15
第6章 特勒根定理
21
R2
第6章 特勒根定理
j 1
k 1
k 1
2015-1-15
k 1
20
k 1
np ~ ~ ~T Vk I k Vk I k I b Z b I b k 1
np
灵敏度计算
若网络独立源由电流源组成，则
~ ~T Vk I k I b Z b I b
k 1
p ~ ~ V j I j Vk I k 0 b k
第6章 特勒根定理 10
~T Vb I b 0
~ p ~ V j I j Vk I k 0
b j k
p ~ ~ V j I j Vk I k 0 b j k
两式相减，有
p ~ ~ ~ ~ (V j I j V j I j ) wk.baidu.comVk I k Vk I k ) 0 b j k
由特勒根定理得：
b
~ V I k k 0
k 1
b
所有支路（变化前） 所有支路（变化后）
k 1 b
~ (Vk Vk ) I k 0
~ V I k k 0
k 1
~ Vk ( I k I k ) 0
b
k 1
nb
b ~ ~ V I V I k k k k 0 k 1
2015-1-15
第6章 特勒根定理
6
5.3 互易定理
互易定理是特勒根定理应用的一个范例。 一、 互易定义1 (二端口网络互易) 设有一个二端口网络，观察它的响应，如果将源与负载交换 后响应一样，则网络是互易的。
1
I1 I2
3
1

JS
N
V 2

~ V1

2

~ I1
N
~ I2
3
JS
2
4
4
(a)
(b)
T T ( I b Zb T T ~ I b Zb ) I b
Vb ZbI b Zb I b
~T Vb I b ~T T T~ T~ I b Z b I b ( I b Vb Vb I b ) T T~ I b Zb I b
T~ ( I b Vb
分别是支路电压和支路电流向量
b
I1 I2 (V1,V2 ,,Vb ) 0 I b
Vk I k 0
k 1
2015-1-15
第6章 特勒根定理
2
证明
由网络的关联性可知
T Vb Ka Vn
K a ：节点－支路关联矩阵
T T VbT Ib ( Ka Vn )T Ib Vn Ka Ib
k 1
b
拟功率守恒

JS

ES

ES

(a)
(b)
图 同型网络
2015-1-15 第6章 特勒根定理 4
证明：
由于两个网络拓扑结构完全相同，并且支路标定方向一 致，故在节点、支路及回路编号一致时，两者必然具有 相同的关联矩阵 K a 和 K b ~ T T~ T T~ Vb Ib ( Ka Vn ) Ib Vn Ka Ib 由基尔霍夫电流定律
P端口时不变网络，或者一个P+1端元件的两种状态
I1

2015-1-15
Ip
V1


~ I1
Vp
~ Ip
~ V1



~ Vp
8

第6章 特勒根定理
线性电阻为互易元件

电阻 元件


V1
I1
~ V1
电阻 元件

~ I1
~ ~ V1I1 V1I1 ~ ~ RI1I1 RI1I1 0
~ V1
证明：
T~ Vb I b
k
k 1
~ ~ (Vk I k Vk I k ) 0
P



~ Vp

组成网络N的元件可以用支路表示，设端口支路用k表示，内 部支路用j表示，则由特勒根定理2，有
0
j
~ p ~ V j I j Vk I k 0
b j
2015-1-15
第6章 特勒根定理 14
2015-1-15
伴随网络的性质1和2等价为节点导纳矩阵或回路 阻抗矩阵互为转置。
由于拓扑结构相同
~ 由于 YbT Yb
Yn
T K aYb K a
~ ~ T Yn K a Yb K a
~T T Yn K aYb K a ~T T ~T ~ T T Yn (KaYb Ka ) KaYb Ka
2015-1-15 第6章 特勒根定理 16
交互互易定理在灵敏度分析中的应用 ~ 相互伴随， 若网络 N 和 N
则对于非独立电源支路集合b，必有：
l 1
~ ~ (Vl I l Vl I l ) 0
b
或写作矩阵形式
T~ Vb I b
~T Vb I b 0
灵敏度定义: 一个网络函数T对某一参数x的灵敏度是该网络函数 对此参数的相对变化率。即 T
~T Vb I b 0

T T Ib (Zb
~ 0 Zb )Ib
上式恒为零，只有
Zb
T Zb
1）互易性也存在着伴随网络，只不过伴随网络就是网络N本身
2）交互互易性意义更广泛，它可以应用于任意网络，只需构 造出伴随网络。（由节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵看，若是 互易元件组成的，由于是对称矩阵，伴随网络的矩阵就是原 网络相应矩阵本身），（若含非互易元件，伴随网络的矩阵 取相应矩阵的转置即可）。因此伴随网络的选择非常容易。
T~ Vb I b
~T Vb I b 0
证明： ~~ T ~T T~ T~ Vb Ib Vb Ib Vb Ib (Zb Ib ) Ib
T~ Vb Ib
~T ~T ~T ~T T~ Ib Zb Ib Vb Ib Ib Zb I Zb Zb ~T T~ T~ T~ Vb Ib Ib Vb Vb Ib Vb Ib 0
则称
2015-1-15
N
~ 互为伴随网络 N
第6章 特勒根定理
12

ES

(a)
(b)
图 伴随网络
2015-1-15
第6章 特勒根定理
13
交互互易定理 ~ 若网络 N 和 N
相互伴随，
则对于非独立电源支路集合b，必有：
l 1
~ ~ (Vl I l Vl I l ) 0
b
或写作矩阵形式
图6-1 二端口网络互易定理
若网络互易，必有
2015-1-15
~ V2 V1
第6章 特勒根定理
7
二、 互易定义2 （n端口网络互易）
一个P端口时不变网络，或者一个P+1端元件，如果存在 ：
k 1
~ ~ (Vk I k Vk I k ) 0
P
~ ~ Vk I k Vk I k
其中k对应于端口，则称它是互易的P端口或P+1端互易元件