线性方程组的表示消元法详解演示文稿
高斯消元法解线性方程组
高斯消元法解线性方程组线性方程组是数学中常见的问题，其中包含多个线性方程，求解线性方程组即为找到满足所有方程的解。
高斯消元法是一种常用的方法，可以有效地解决线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示其应用。
一、高斯消元法原理高斯消元法是通过一系列的行变换来将线性方程组转化为上三角形式，进而求解方程组。
具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式，其中每一行表示一个方程，最后一列为常数项。
2. 选择一个主元，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元。
3. 将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1。
4. 将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0。
5. 重复步骤2-4，直到将矩阵转化为上三角形式。
6. 从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
二、高斯消元法步骤示例为了更好地理解高斯消元法的步骤，下面以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设有如下线性方程组：2x + y - z = 1-3x - y + 2z = -2-2x + y + 2z = 3首先，将线性方程组写成增广矩阵形式：[ 2 1 -1 | 1 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]选择第一列的第一个非零元素2作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]然后，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 -1 1.5 | -0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]接下来，选择第二列的第二个非零元素-1作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]再次进行行变换，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 0 4.5 | 3 ]将矩阵转化为上三角形式后，从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
高教社2024高等数学第五版教学课件-10.1 消元法
1 3
−1
8
−7
+
2
14
−13
2
0
0
0
1
2 2
4
−1
1
1 −1
2
1
4
7
−2 −7 −13
0 9 27 54 0
0 −1 −3 −6 0
1 −2 −7 −13 0
0
0
92
+
1 −22
1 ↔3
+
1 0
0 1
0 0
3
0
0
1
−1
3
0
0
0
0
−1 −3 −6
0 −1 −1
0
0
0
−2
0
0
）的一般步骤为：
首先写出增广矩阵 | （或系数矩阵），并用初
等行变换将其化成阶梯形矩阵，然后判断方程组是否有
解．若方程组有解，则继续用初等行变换将阶梯形矩阵
化成行简化阶梯形矩阵，写求出方程组的一般解．
或简称Gauss消元法．下面举例说明用消元法求一般线性方
程组解的方法与步骤．
例1 解线性方程组
1 + 32 + 3 = 5
ቐ1 + 2 + 53 = −7
21 + 32 − 33 = 14
解 下面我们用定理10.1的方法来求解本题：
1 3
= 1 1
2 3
1
− 2
2
1 3
0 1
则方程组 = 与 = 是同解方程组．
由定理10.1可知，求线性方程组(1)的解，可以利用初等
行变换将其增广矩阵 | 化简成行阶梯形矩阵，再写出该
线性代数—解线性方程组的消元法PPT课件
0 0 0 0 0
其中 cii 0 (i 1,, r ),
方程组有解的充分必要条件是
dr1 0 .
15
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实际上 r 即为系数矩阵 A 的秩, r r( A) , 若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) r ,
若 dr1 0 ,则 r( A) r( A) 1 ,
20
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例6 下面的线性方程组当a、b为何值时有解？在有解
的情况下，求出全部解。
2 x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
x4
2
a
7 x1 x2 x3 5 x4 b
解
2 1 1 1 1 1 1 1 1
2
本章讨论关于线性方程组的两个问题： 一、探讨n个未知数m个方程的线性方程组的解法（即下面介绍的高斯消元 法）。 二、从理论上探讨线性方程组解的情况：何时有解，何时无解。若有解，则 有多少组解；若有无穷多解，如何表示。
运用n维向量的理论可全面地解决第二个方面的问题。
1
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第一节 解线性方程组的消元法
2 1 1 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
92
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
1 1 2 1 4
0 2 2 2 0
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r2 2 1 1 2 1 4
r3 5r2 0 1 1 1 0
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
36
10
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例1
高斯消元法求解线性方程组
高斯消元法求解线性方程组线性方程组是数学中重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。
解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。
高斯消元法是一种常用的方法，用于求解线性方程组。
本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过实例演示其应用。
一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种基于矩阵变换的方法，用于将线性方程组转化为简化的行阶梯形式。
其基本思想是通过一系列的行变换，将方程组中的系数矩阵化为上三角矩阵，从而简化求解过程。
具体而言，高斯消元法的步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵的形式。
2. 选取一个主元素，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元素。
3. 通过行变换，将主元素下方的所有元素化为零。
4. 选取下一个主元素，并重复步骤3，直到将矩阵化为上三角形式。
5. 通过回代法，求解得到线性方程组的解。
二、高斯消元法的步骤为了更好地理解高斯消元法的步骤，我们以一个具体的线性方程组为例进行演示。
假设我们有以下线性方程组：```2x + 3y - z = 14x - y + z = -2x + 2y + 3z = 3```首先，我们将其写成增广矩阵的形式：```[2, 3, -1 | 1][4, -1, 1 | -2][1, 2, 3 | 3]```接下来，我们选取第一列的第一个非零元素2作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。
具体步骤如下：1. 将第二行乘以2，然后与第一行相减，得到新的第二行：`[0, -7, 3 | -4]`2. 将第三行乘以0.5，然后与第一行相减，得到新的第三行：`[0, 0.5, 2.5 | 1.5]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0.5, 2.5 | 1.5]```接下来，我们选取第二列的第二个非零元素-7作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。
具体步骤如下：1. 将第三行乘以14，然后与第二行相加，得到新的第三行：`[0, 0, 35 | 7]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0, 35 | 7]```最后，我们通过回代法求解得到线性方程组的解。
3.1 线性方程组的消元解法
定理3.1 线性方程组 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: 有解的充分必要条件是: 定理 有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无 且当 时有唯一解; 时有无 时有唯一解 穷多解. 穷多解.
例2 解线性方程组 x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3 x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 例3 解线性方程组
2 x1 + 2 x2 = 8 → − 3 x2 = −9 ⑤ x3 = 2 2 x1 + 2 x2 = 8 → x2 = 3 ⑥ x3 = 2
=2 2 x1 → x2 = 3 x3 = 2 x1 = 1 → x2 = 3 x = 2 3
⑤
⑥
⑦
线性方程组的消元解法课件
可以用矩阵形式表示为 Ax=b，其中
矩阵
a11 a12 a1n b1
(A b)=
a21
a22 a2n
b2
am1 am2 amn bm
称为线性方程组的增广矩阵。
PPT学习交流
3
下页
一、线性方程组的矩阵表示：
1 5 -1 -1 -1
解： (A b)=
1 1
6 -2 -3 -3 3133
11377
1 5 -1 -1 -1
0 1 -1 -2 -2 0 -2 2 4 4
0 -4 4 8 8
1 5 -1 -1 -1
10499
0 1 -1 -2 -2 00000
0 1 -1 -2 -2 00000
，
00000
00000
形矩阵继续施以初等行变换，化成行最简形矩阵；
第四步，写出方程组的解。
PPT学习交流
10
下页
例2．解线性方程组
x1 + 5x2 - 5x3 - x4 =- 1 x1 + 6x2 - 2x3 - 3x4 =- 3 。 x1 + 3x2 + x3 + 3x4 = 3 x1 + x2 + 3x3 + 7x4 = 7
8
线性方程组解的判定定理：
定理3：n元线性方程组Ax=b
（1）无解
R(A)R(A,b);
（2）有唯一解 R (A )=R (A ,b)=n;
（3）有无穷多解 R (A )=R (A ,b)n.
PPT学习交流
9
第一节 线性方程组的消元解法
解
用消元法
2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 3 x1 + 2 x2 + 9 x3 = 19 x1 + x2 + 2 x3 = 4 x1 + x2 + 2 x3 = 4 ①,③ 3 x + 2 x + 9 x = 19 1 2 3 互换 2 x1 − 3 x2 + 2 x3 = 9 x1 + x2 + 2 x3 = 4 − x + 3x = 7 2 3 −17 x3 = −34
(-3)①+② 3)① (-2)①+③ 2)①
x1 + x2 + 2 x3 = 4 (-5)②+③ 5)② − x2 + 3 x3 = 7 −5 x 2 − 2 x 3 = 1
阶梯形方程组
x1 + x 2 + 2x 3 = 4
− x 2 + 3x 3 = 7 −17x 3 = −34
− 1 ③ 17
x1 + x 2 + 2x 3 = 4 − x 2 + 3x 3 = 7 x3 = 2 =0 =1
x3 = 2
阶梯形方程组
(-3)③+② 3)③ (-2)③+① 2)③
x1 + x 2 − x2
x1
=1 x2 = −1
x3 = 2
简化阶梯形矩阵每个1对应的未知量为非自由未知量其余的为自由未知量令自由未知量为任意常数将非自由未知量用自由未知量表示出来就得到方程的全部解
第三章
线性方程组
克莱姆法则
线性方程组的消元解法 PPT
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
文科数
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形 成，然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解， 在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中， 已经作了比较完整的叙述，其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换，消去未知量的方法。
文科数
例习 在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公
元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问：
今有上禾三秉(束)，中禾二秉，下禾一秉，实(产量)
三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十
四斗；上禾一秉，中禾二பைடு நூலகம்，下禾三秉，实二十六斗，
问上、中、下禾一秉几何？
该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式
记为 ri k rj .
称此三种变换为矩阵的行初等变换。 文科数
由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增 广矩阵的行初等变换。 例1 求解线性方程组
解：方程组的增广矩阵
文科数
互换(1)与(2)的位置得 (2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得
文科数
(2)-2×(1)，(3)-4×(1) 得 (3)-(2) 得
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求 解，仍以例1为例，完整规范的写出它的解题步骤。
文科数
例1 求解线性方程组
解：第一步，为了便于运算，互换(1)与(2)的位置 1
第二步，消去第一个方程下面的各个方程中的 x1， (1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
文科数
(1)-2×(2)，(3)-4×(2) 得
A
线性代数第1章解线性方程组的消元法与矩阵的初等变换PPT课件
当(1)式右端常数全为0而得到的齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2
a21 x1
a22 x2
am1 x1 am2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
amn xn 0
成为(1)导出的齐次线性方程组。
- 30 -
定义 由方程组(1)的系数与常数项组成的矩阵
几种特殊的方阵（P4）
1. 对角矩阵(约定:未写出的元素全为零)
d1
D
d2
d
n
记作 D d ia g ( d 1 ,d 2 , ,d n )
2. 数量矩阵
A
- 11 -
3. 单位矩阵
1
E
1
1
4.上(下)三角矩阵
a11 A
a12 a22
上三角
a1n
a2n
- 16 -
定义 称矩阵的下面三种变换分别为第一、第二、 第三种初等行变换:
(1) 交换矩阵的某两行，记为 ri rj (2) 以不等于０的数乘矩阵的某一行，记为 k ri (3) 把矩阵的某一行乘上一个数加到另一行上，
记为 ri krj
类似定义三种初等列变换:
( 1 ) c i c j( 2 ) k i ( k c 0 )( 3 ) c i k j c
2 2
2
0
1 2
r2
0
1 1
1
0
r3 2r1 0 5 5 3 6 0 5 5 3 6
r4 3r1
0
3 3
4
3
0
3 3
4
3
- 24 -
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
r35r2
用消元法解二元线方程组课件
2
3
1 14, D2 2
12 1
21,
x1
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 3. 7
二、三阶行列式
定义 设有 9个数排3行 成3列的数表
a11 a12 a13
a21 a22 a23
(5)
记
a31 a32 a33
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a 1a 1 2a 2 3 3a 1a 2 2a 3 3 1a 1a 3 2a 1 32(6)
二阶行列式的计算 对角线法则
主对角线 a11 副对角线 a12
a12 a11a22a12a21.
a 22
对于二元线性方程组
a1x 11a1x 22b1, a2x 11a2x 22b2.
若记
系数行列式
Da11 a12, a21 a22
a1x 11a1x 22b1, a2x 11a2x 22b2.
(2)对角线法则 a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a1a 122 a33a12 a23 a31a13 a2a 132 a13a22a31a12a2a 133a1a 12a 33.2
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号． 说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
二阶与三阶行列式的计算 对角线法则
a11 a21
a a1 22 2a1a 122a1a 221 .
a 11 a 12 a 13
a 21 a 22 a 23 a1a 12a 233 a1a 22a 331 a1a 32a 132
线性代数之——消元法
线性代数之——消元法1. 消元的思想针对下⾯的⽅程，我们⽆法直接得到⽅程的解。
x− 2y= 13x+ 2y= 11但如果我们将第⼆个⽅程减去第⼀个⽅程的 3 倍，上⾯的⽅程组就变成了下⾯这样。
x− 2y= 18y= 8这时候，我们就可以直接得到y=1，进⽽从第⼀个⽅程得到x=3。
可以看到，消元之后，⽅程组变成了⼀个下三⾓（upper triangular）的形式，然后我们就可以⽤回带法（back substitution）来快速地解出⽅程组的解。
进⾏消元的那⼀⾏的第⼀个⾮零值称为主元（pivot），消元时候的乘数就等于待消项的系数除以主元，在上⾯的例⼦中，乘数 3=3/1。
⼀般地，乘数可以表⽰为l ij=第i⾏待消去项的系数第j⾏的主元4x− 8y= 43x+ 2y= 11如果我们改变了第⼀个⽅程，那么乘数就等于 3/4。
消元之后，所有的主元都位于下三⾓的对⾓线上，并且主元不能是 0。
4x− 8y= 48y= 82. 消元的失效⽆解x− 2y= 13x− 6y= 11消元后x− 2y= 10y= 8这种情况下，我们遇到了 0y=8，说明原⽅程组⽆解。
从⾏图像中，我们也可以看到，两条平⾏的直线⽆法相交于⼀点。
⽽在列图像中，两个在同⼀⽅向上的向量不可能线性组合出不在这个⽅向上的向量。
⽆穷解x− 2y= 13x− 6y= 3消元后x− 2y= 10y= 0这种情况下，我们遇到了 0y=0，任何的y值都满⾜要求，此时y是“⾃由”的，确定了y之后x则由第⼀个⽅程确定。
从⾏图像中，我们也可以看到，两条直线相同，因此整条直线都是交点。
⽽在列图像中，左边的两个向量和右边的向量⽅向都相同，有⽆穷多个线性组合都可以产⽣右边的向量。
对于有n个⽅程的⽅程组，如果我们得不到n个主元，那么消元就会导致 0≠0，⽆解或者 0=0，⽆穷解，只有正好有n个主元的时候，⽅程组才有解，但我们可能需要进⾏⽅程的交换。
需要⾏交换0x+ 2y= 43x− 2y= 5消元后3x− 2y= 52y= 4⼀开始，第⼀⾏的主元为 0，⾏交换后，我们得到了两个主元 3 和 2，然后，⽅程就有了正常的解。
线性代数 高斯(Gauss)消元法ppt课件
线
2x1 8x2 6x3 6 ③
性
方 程 组
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
“回代”求解得：
x1 2, x2 1, x3 1.
①② ③ 0.5
③①
2
x1 x1
x2 2x3 1 ① x2 x3 2 ②
线 性
解
(2) 可知方程组有无穷多解， 即对任意的 x2，有
方 程 组
x1 x2
2x2 x2，
7，
x3 2 .
其中 x2 为自由未知量。
即
x1 2 7 x2 k 1 0 ,
( k 任意)
x3 0 2
注意体会求解“结果”的写法及表达方式。
10
§4.2 高斯(Gauss)消元法
x1 4x2 3x3 3 ③
x1 x2 3x2
2x3 3x3
1 0
2x3 2
继续“消元”得：
x1
x2
2 1
x3 1
3
§4.2 高斯(Gauss)消元法
第 启示 四 章
线 性 方 程 组
事实上，从上述对线性方程组的求解过程中可知： 真正参与运算的是线性方程组的系数项和常数项， 而未知量并不需要参与运算。
2
x1 x1
x2 2x3 1 x2 x3 2
x1 4 x2 3 x3 3
① ② ③
② 2① ③ ①
x1 x2 2 x3 1 3x2 3x3 0 3x2 x3 2
① ② ③
2 1 1 2 1 1 2 1 2 8 6 6 1 1 2 1 2 1 1 2 1 4 3 3 1 1 2 1 0 3 3 0 0 3 1 2
线性方程组的表示消元法
17 17
第17页，共36页。
回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列初等行
变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是若当阶梯形)
的过程.
现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan阶梯 形的方法求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
全为零的行依次的首元所在的列标是严格增
加的，则称A是阶梯形矩阵（ladder matrix).
若首元皆为1,同时首元所在列其余元素皆为零
的阶梯形矩阵称为若当（Jordan)阶梯形.
例 0 1 0 第一，二，三行的首元所
1
1
0
,
在的列依次为2，1，3，不 是严格增的，故不是阶梯
0 0 1 行.
33 33
第33页，共36页。
定理1 设A为n阶方阵，则齐次线性方程组 AX=0有非零解的充分必要条件是 A 0 。
证明：必要性。设 X0 0 满足 AX0 0 。
若 A 0 ，则 A可逆，有唯一解 A1 0 0 矛盾，故 A 0 。
充分性。当n=1时，A 011 ,0x1 0 有非
项所构成的增广矩阵作初等行变换。
12 12
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问题： （1）为什么经过一系列的初等行变换以后得到 的新的方程组的解为原方程组的解。我们需要 给出它的理论依据。
(2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么条 件下方程组无解？
13 13
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消元法解线性方程组的理论根据：
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
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消元法解线性方程组的理论根据：
对线性方程组AX 做有限多次初 等变化换化为线性方程组CX (这个过程相当于对A＝( A, )作有 限多次初等行变换，变为C (C , )), 则CX 与AX 同解.
这是因为存在可逆矩阵P，使得
A C PA (PA, P )， 得C PA， PB。 如果X0是AX 的解，则AX0 ， 用P左乘等式两端得到CX0 ； 反之，若X0满足CX0 ， 用P 1左乘等式两端得AX0 ，
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值.
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
或令x3 c,方程组的解可记作
x1 c 4
1 4
x
x2 x3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面 的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非 零元．
回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列 初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是 若当阶梯形)的过程.
现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan 阶梯形的方法求解线性方程组
矩阵形式：
AX .
对系数矩阵A进行列分块A=(1 ,2 , ,n ),
则可得到线性方程组的向量形式：
x11 x22 xnn .
线性方程也可以表示为求和形式：
n
aij x j bi , (i 1, 2,
j=1
, s).
c1
n维向量X 0
c2
若满足AX
0
,
则称X
是
0
cn
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
c
c
3
,
3
即x
c
1 10 3 0 3 Nhomakorabea(2)
其中c为任意常数.
从上面的例子我们可以看出，用消元法解线 性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下 三种变换：
(1)互换两个方程的位置； (2)用一非零数c乘某一方程； (3)把其中一个方程的k倍加到另一个方程上 我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换
这三种初等变换只改变了线性方程组 的系数和常数，而未知量保持不变。因此， 如果将未知量与系数和常数项分离开来， 实际上是对系数和常数项构成的增广矩阵 作了三种初等行变换。因此解线性方程组 时只需对由系数和常数项所构成的增广矩 阵作初等行变换。
问题： （1）为什么经过一系列的初等行变换以后得 到的新的方程组的解为原方程组的解。我们 需要给出它的理论依据。 (2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么 条件下方程组无解？
消元法解线性方程组
用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, 1
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
2
3 2
(1)
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
2 4 3
1 6
6
1 2
9
1 2
7
2 94
1 1 2 1 4
第 3行乘 以1/2
2 2 3
1 3
6
1 1
9
1 1
7
2 92
1 1 2 1 4
第1行的-2倍加到第2行，
第 第11行 行的 的--32倍 倍加 加到 到第 第43行行，
0 0 0
3 5
3
3 5 3
1 3
4
故两方程组同解。
阶梯矩阵
设A (aij )mn , 矩阵A的每一行的第一个非零元
定义称为该行的首元. 若A的所有元素全为零的行
(如果存在这样的零行)都位于A最下端，而不
全为零的行依次的首元所在的列标是严格增
加的，则称A是阶梯形矩阵（ladder matrix).
若首元皆为1,同时首元所在列其余元素皆为零
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
解
2 1 1 1 2
A~
(
A
b)
1 4 3
1 6
6
2 2
9
1 2
7
4 94
1 1 2 1 4
交 换 第1, 2行
线性方程组的表示消元法详 解演示文稿
（优选）线性方程组的表示 消元法
让
a11 a12
A
a21
a22
as1 as2
a1n a2n
，X
x1 x2
,
asn
xn
A ( A, ).
b1
b2
,
bn
A称为线性方程组的系数矩阵，A称为 增广矩阵.
借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为
线性方程组AX=的一个解，方程组解的全
体构成的集合称为解集合.解集合相等的方
程组称为同解方程组.常数项有非零项的线
性方程组称为非齐次线性方程组，常数项
全为零的称为齐次线性方程组.
线性方程组研究的主要问题为： （1）线性方程组是否有解？
（2）线性方程组如有解，有多少个解?
（3）线性方程组如有解，如何求解？ 如解有无穷多，如何表示所有的解？
的阶梯形矩阵称为若当（Jordan)阶梯形.
例 0 1 0 第一，二，三行的首元所
1
1
0
,
在的列依次为2，1，3， 不是严格增的，故不是阶
0 0 1 梯行.
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
01
行阶梯形矩阵特点：
（1）可划出一
条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台 阶 只有一行，