复杂二次分式函数极值的快速解法

复杂二次分式函数极值的快速解法

在高考中,我们经常会碰到二次分式函数问题,这类问题通常比较麻烦, 有时运算量很大,很难在短时间内解决.所以本文将研究求解二次分式函数单调性,值域,极值的简便方法.希望能得到一个极值通用公式, 以便在考试中套用,节约时间.

二次分式函数具有形式22(,()0)Ax Bx C

y f x Dx A Ex B F

++==

++不同时为. 我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值.

1. 定义域和有界性

20Dx Ex F ++=当方程有解,设12122,0(=Dx Ex x x x x F ++≤)是两个根 .则函数定义

域12{|}x x x x x ∈≠∧≠R .当1

2

2

2

11220,lim 0,lim x x x x Ax Bx C Ax Bx C →→++≠=∞++≠=∞或.

此时函数无界.当221122=0=0Ax Bx C Ax Bx C ++++且,函数有界且为常值函数(很少遇到

的情况,比如2211

x y x -=- ).所以通常当2

40E DF -≥ ,二次分式函数是无界的.

12,x x x x == 是函数的渐近线.

当2

40E DF -<,函数定义域为R .函数有界.

2. 单调性,极值,值域 当

240

E D

F -<,

20

Dx Ex F ++≠,可以将函数化为

()22=.y Dx Ex F Ax B x x C ++++的方程 .()()2B 0x Dy A x Ey Fy C -+-+-=即.对

于值域中的每一个y,方程都有实数解,0,=00,,Dy A Dy A -≠-∆≥当验当证是否有解 .这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入()()2

B 0x

Dy A x Ey Fy C -+-+-=函数解出x ,计算可能

有点慢.下文会给出一个简便的计算方法.

lim ()x A f x D →∞

=

,根据极值与A D

的大小即可判断单调区间.2

40E DF -<这种情况最多有三个单调区间.

当2

40E DF -≥,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出y ∈R .出现这种情况,求解

20Dx Ex F ++=和20Ax Bx C ++= .分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分

式值域.比如()()()()

2

2

21121311221222x x x x y x x x x x x x x

-+-+-+====-≠≠--++-++++且 {}1,0,0.|1x y y y y ==≠≠取所以函数值域且

分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例

子.

223325x x x y x +--++=

.首先定义域

2{|50}

x x x -++≠ 解

得

(

(111){|(1}22x x x ∧≠≠

.分离分子中的二次项得261335

x y x x +=-+-++ . 13

613,6

t t x x -=+=令 .代入得

()()22

2

135613

1

31151313636

1

36732361

367836369

y x x x t t t

t t t t t =-+

-+++=-+

+

-+--+=-+

-+-=--

+-

(

)0133678363696713,,363660133678

36369

6713,,36366

t y t t t t t x t t y t t t t x t >=--

≥-=

+--====<=-+

≤-+

=-++

-===-当当当当

函数值域(-()∞∞Ç

根据2233m

2

l 35i x x x x x →∞+-++=--

, 3<-<

1122

<<<

可判断出单调区间

(

(

(

(

(

(

(

(1111

(-,

13),(13,1),(1,+) 6622

1111

(13,1),(1,13)

6226

∞∞--+---+增区间减区间

共有5个单调区间

顺便再算一下函数零点(

(2

1211

3320=

3,=366

x x x x +---解得= 有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像

通过这样一个例子,我们意识到,如果在考试中碰到这样的函数,分离变量换元的方法计算量

非常大并且需要一定的技巧,浪费了我们很多的时间.而判别式法只能求极值和值域,对于何处取极值,还需将极值代入原函数.对于上面的例子,直接代会函数运算过于复杂对于一些简单二次分式函数,分离变量是可行的,并且非常快.但是对于像上面这种二次分式函数,我们找到需要一种计算量很小的方法

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