有关数论函数的一些问题

有关数论函数的一些问题

题目：有关数论函数的一些问题研究生：任荣珍

任课教师：杨海

学科专业：应用数学

学号：2014081034

学院：理学院

时间：2015年1月2日

有关数论函数的一些问题

数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”.

数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置.

数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义:

对任意的正整数2n ≥, ()n ℜ是由满足如下条件的整数数组

12(,,...,)s a a a 所构成的集合:

(1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =;

(2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =;

(3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤.

定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈ℜ 设1

i

k

a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同

素因子的个数.

数论函数的定义[2]: 当自变量n N +∈时, 因变量y 是取实数值或复数值的函数, 即()y F n =, 我们就称他为算数函数或数论函数.

1983年, ''

Erd os 对()F n 做了很多的研究, 得出了许多的结果, 同时也提出了不少想法和问题, 下面就列举几个问题, 以便对()F n 有更深的了解.

结论1[2]对任意正整数k , 总存在一个正整数k n , 使得

()k k F n n =, ()k n k ω=.

结论2[2]如果我们忽略掉整数中密度为零的一个集合, 那么

()

lim

n F n n →+∞=+∞ 我们用p 表示素数, 如果再定义1

()p n p p n

f n p ααα+≤<=∑

, 那么还有如下结

论:

结论3[2]对任意正整数k , 存在一个正整数k n , 使得

()()k k F n f n =, ()k n k ω=

定理1[2] 对任意正整数k 及充分大的x , 有

＃{}0:(),()(1(1))21log k k k

k x

n x F n n n k x

ωο<≤==≥+- 数论作为数的分支在数学领域有着很重要作用, 而数论函数是数论的一个分支在数论中的作用也是不可忽视的, 许多数论或者组合数学中的许多问题也可以化为一些数论函数来研究, 因此数论函数是一类非常重要的函数, 是数论中的一个重要研究课题, 尤其是数论函数的一些性质在数论的研究中也是很有意思的, 如函数的均值问题, 我们知道很多重要的数论函数的取值往往很不规则, 然而它们

的均值却有非常优美的渐近公式, 数论函数还有一些很好的性质是值得我们深入研究的, 如研究数论函数的逆函数、数论函数的方程及其方程的解、数论函数的敛散性等等这些性质都是值得深入研究和计算的, 下面就来介绍一些数论函数的性质:

在介绍数论函数之前我们先来介绍几种简单的特殊的数论函数:

''

M o bius 函数定义如下[3]:

(1)1μ=

如果1n >, 记1

2

12...k

a a a k n p p p =. 则

12(1)...1()0

k k a a a n μ⎧-=====⎨

⎩当时

其它; 注意: ()0n μ=⇔n 有一个大于1的平方因子. 例题1: 有关()n μ的值的一个表

n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

()n μ: 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1

定理2[3] 如果1n ≥, 我们有

111()01d n

n d n n μ=⎧⎡⎤==⎨⎢⎥>⎣⎦⎩∑当时

当时

Euler 函数定义如下[3]:

如果1n ≥, 则欧拉函数()n ϕ被定义为不超过n 且与n 互素的正整数的个数.

记为: '1()1n

k n ϕ==∑(这里'表示对与n 互素的正整数k 求和)

像麦比乌斯函数一样下面来看有关欧拉函数的一个例子

例题2: 有关的()n ϕ值得一个表

n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

()n ϕ: 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4

像()n μ的情况一样对于除数和()d n

d ϕ∑也有一个简单的公式

定理3[3] 如果1n ≥, 我们有

()d n

d n ϕ=∑

刘维尔函数()n λ的定义如下[1]:

()i : (1)1λ=

()ii : 12...()(1)k a a a n λ+++=-, 其中 1212...k a a a k n p p p =

除数函数()n σ的定义如下[1]:

对任意的1n ≥, Dirichlet 除数函数()n σ定义如下:

()d n

n d σ=∑

曼格尔特函数的定义如下[1]: 若：

log ()

()0p n n ⎧Λ=⎨

⎩若为素数p 的方幂 (其它情况)

则有()log d n

d n Λ=∑和2()log ()()()log d n

d n

n n n n d d d d

μΛ+ΛΛ=∑∑成立.

可乘函数的定义[1]:

若()f n 为一数论函数, 并且具有下述两个性质:

()i 有一正整数n 使得函数值()0f n ≠ ()ii 对于任意两个互质的正整数1n , 2n 有