有关数论函数的一些问题

有关数论函数的一些问题
题目：有关数论函数的一些问题研究生：任荣珍
任课教师：杨海
学科专业：应用数学
学号：2014081034
学院：理学院
时间：2015年1月2日
有关数论函数的一些问题
数论函数是在数论这一门学科中提出的, 在介绍数论函数之前首先来说明有关数论的一些背景知识和数论这一门学科, 数论可以被定义为研究数的一门理论学科, 是数学的一个重要分支, 数论在研究数的方面有着悠久的历史, 它的发展源远流长, 早在远古时代人们就学会使用数字, 而数论在数学中有着很重要的位置, 就如数学家高斯所说”数学是科学-皇后, 而数论就是数学皇冠”.
数论这门学科最早时是从研究整数开始的, 因此叫做整数论, 随着整数论的进一步发展就把整数论叫做数论了[1], 数论在数学中就是研究数的规律, 它与几何学一样是数学中最古老的分支, 在数学中有着悠久的历史, 在现代基础数学研究中占有很重要的位置.
数论函数作为数论其中的一个分支对数学也起了很重要的作用,下面就来介绍一些有关数论函数的研究, 下面就来介绍一下有关数论函数()F n 的背景知识[2], 先介绍一些所需要的符号及定义:
对任意的正整数2n ≥, ()n ℜ是由满足如下条件的整数数组
12(,,...,)s a a a 所构成的集合:
(1)2i a n ≤≤, 1,2,...,i s =;
(2)若素数i p a , 则p n , 1,2,...,i s =;
(3)2s ≥时, (,)1i j a a =, 1i j s ≤<≤.
定义()F n 为形如12...s a a a +++数的最大值, 其中12(,,...,)()s a a a n ∈ℜ 设1
i
k
a i i n p ==∏为n 的标准分解式, 我们用()n k ω=表示n 的所有不同
素因子的个数.
数论函数的定义[2]: 当自变量n N +∈时, 因变量y 是取实数值或复数值的函数, 即()y F n =, 我们就称他为算数函数或数论函数.
1983年, ''
Erd os 对()F n 做了很多的研究, 得出了许多的结果, 同时也提出了不少想法和问题, 下面就列举几个问题, 以便对()F n 有更深的了解.
结论1[2]对任意正整数k , 总存在一个正整数k n , 使得
()k k F n n =, ()k n k ω=.
结论2[2]如果我们忽略掉整数中密度为零的一个集合, 那么
()
lim
n F n n →+∞=+∞ 我们用p 表示素数, 如果再定义1
()p n p p n
f n p ααα+≤<=∑
, 那么还有如下结
论:
结论3[2]对任意正整数k , 存在一个正整数k n , 使得
()()k k F n f n =, ()k n k ω=
定理1[2] 对任意正整数k 及充分大的x , 有
＃{}0:(),()(1(1))21log k k k
k x
n x F n n n k x
ωο<≤==≥+- 数论作为数的分支在数学领域有着很重要作用, 而数论函数是数论的一个分支在数论中的作用也是不可忽视的, 许多数论或者组合数学中的许多问题也可以化为一些数论函数来研究, 因此数论函数是一类非常重要的函数, 是数论中的一个重要研究课题, 尤其是数论函数的一些性质在数论的研究中也是很有意思的, 如函数的均值问题, 我们知道很多重要的数论函数的取值往往很不规则, 然而它们
的均值却有非常优美的渐近公式, 数论函数还有一些很好的性质是值得我们深入研究的, 如研究数论函数的逆函数、数论函数的方程及其方程的解、数论函数的敛散性等等这些性质都是值得深入研究和计算的, 下面就来介绍一些数论函数的性质:
在介绍数论函数之前我们先来介绍几种简单的特殊的数论函数:
''
M o bius 函数定义如下[3]:
(1)1μ=
如果1n >, 记1
2
12...k
a a a k n p p p =. 则
12(1)...1()0
k k a a a n μ⎧-=====⎨
⎩当时
其它; 注意: ()0n μ=⇔n 有一个大于1的平方因子. 例题1: 有关()n μ的值的一个表
n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
()n μ: 1 -1 -1 0 -1 1 -1 0 0 1
定理2[3] 如果1n ≥, 我们有
111()01d n
n d n n μ=⎧⎡⎤==⎨⎢⎥>⎣⎦⎩∑当时
当时
Euler 函数定义如下[3]:
如果1n ≥, 则欧拉函数()n ϕ被定义为不超过n 且与n 互素的正整数的个数.
记为: '1()1n
k n ϕ==∑(这里'表示对与n 互素的正整数k 求和)
像麦比乌斯函数一样下面来看有关欧拉函数的一个例子
例题2: 有关的()n ϕ值得一个表
n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
()n ϕ: 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4
像()n μ的情况一样对于除数和()d n
d ϕ∑也有一个简单的公式
定理3[3] 如果1n ≥, 我们有
()d n
d n ϕ=∑
刘维尔函数()n λ的定义如下[1]:
()i : (1)1λ=
()ii : 12...()(1)k a a a n λ+++=-, 其中 1212...k a a a k n p p p =
除数函数()n σ的定义如下[1]:
对任意的1n ≥, Dirichlet 除数函数()n σ定义如下:
()d n
n d σ=∑
曼格尔特函数的定义如下[1]: 若：
log ()
()0p n n ⎧Λ=⎨
⎩若为素数p 的方幂 (其它情况)
则有()log d n
d n Λ=∑和2()log ()()()log d n
d n
n n n n d d d d
μΛ+ΛΛ=∑∑成立.
可乘函数的定义[1]:
若()f n 为一数论函数, 并且具有下述两个性质:
()i 有一正整数n 使得函数值()0f n ≠ ()ii 对于任意两个互质的正整数1n , 2n 有
1212()()()f n n f n f n =
叫做可乘函数.
欧拉常数C 定义为[1]:
111
lim(1...log )23n C n n
→∞
=+
+++- 上面介绍了几种特殊的数论函数, 说明了数论函数在数论中的应用是十分广泛地, 还有很多数论函数是值得研究的, 在这里就简单介绍几种特殊的数论函数, 下面就来研究这些数论函数所具有的性质.
关于Euler 函数方程的研究是初等数论中非常重要和有意义的课题, 许多学者研究了它们的性质, 令()k S m 表示方程()x m ϕ=解的个数,其中x 恰有k 个次数为一的素因子, .H Gupta 研究了()k S m 的性质[4], 并证明了
对任意给定的正整数n
1(!)1S n ≥
以及
1(!)()S n n →∞→∞
其后, .P Erdos 则给出了 对任意的k 和足够大的n
(!)(log )k k k S n cn n >
其中0c >为常数.
为了利用初等方法来研究方程()((()))2n n ωϕϕϕ=的可解性, 进而得到该方程的所有整数解, 就要了解数论函数((()))n ϕϕϕ的相关性质. 下
面就来看有关数论函数((()))n ϕϕϕ的几个性质.
引理1[4] 设1n ≥为任意给定的正整数, 则有计算公式
1()(1)p n
n n p
ϕ=-∏
其中p n
∏表示对n 的所有素因子求积.
定理4[4] 当素数15p ≥时, 要么有3312(((2)))p ϕϕϕ, 要么存在素数
3p ≥, 使得31(((2)))p p ϕϕϕ.
定理5[4] 素数123p p ≤<, 当223p ≥时, 要么有42122(((2)))p p ϕϕϕ, 要么存在素数3p ≥, 使得212(((2)))p p p ϕϕϕ.
定理6[4] 素数1233p p p ≤<<,当311p ≥时, 要么有41232((()))p p p ϕϕϕ, 要么存在素数3p ≥, 使得123((()))p p p p ϕϕϕ.
接下来讨论除数函数的上界估计[5]
对于正整数n , 设()n σ是n 的不同约数之和, 运用初等数论的方 法, 利用等幂和的Bernoulli 展开式, 得到了关于()n σ的和式1()n
r k k σ=∑上
界的估计.
下面来看有关除数函数的上界估计的几个性质: 引理2[5] 如果2r ≥, 且8log k r r >, 则log 2k
k r
<. 引理3[5] 当3k >时, ()2log k k k σ<.
引理4[5]
当1m ≥时, 有111
011(1)
n
m m
m j
j j j m j B n j m ++-==+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑ 其中j B 为Bernoulli 数.
除数函数1()n
r k k σ=∑的上界[5]
定理7[5] 令[]08log n r r =, 而且
01
2log n r n k C r k k ==∑, 0
011
n r n k D k +==∑
则
00121
021()(1)2n
r r
r k
n k
n k k k k C B n D k r σ++-==+⎛⎫≤++- ⎪+⎝⎭∑∑ 推论1[5] 若12n ≥, 则
2220
1
()(1)1094
n
k k n n σ=<+-∑
推论2[5]
(1) 当26n ≥时, 有354301111()52330
n
k k n n n n σ=<++-
∑; (2) 当44n ≥时, 有46542
01151()621212n
k k n n n n σ=<++
-∑; (3) 当64n ≥时, 有576301111()7
2
6
42
n
k k n n n n σ=<+-+
∑; (4) 当86n ≥时, 有687642
11771()82122412
n
k k n n n n n σ=<++
-+∑. 这就是有关欧拉函数和除数函数的一些性质, 下面再来看有关欧拉函数和除数函数关系的一些性质.
先来看看关于()n σ和()n ϕ的一个同余式[6] 同余式()(mod ())n n m n σϕ≡, 4|m 定理8[6] 设正整数2n >, 且满足
1212()...(mod ())s l l l s n n p p p n σϕ≡, (0s >)
其中i l 为正整数(1,2,...,i s =),12,,...,s p p p 为不同的奇素数, 则n 具有如下形式:
1222212...s k k k s n p p p =, 1
02
i i l k +≤≤
, (1,...,)i k N i s ∈= 特别地, ()(mod ())l n n p n σϕ≡的全部非平凡解为(1)k p p -, 1
11
i l k p +≤≤
-, k 为整数, 其中p 为奇素数, l 为正整数.
定理9[6] 设正整数2n >, 且满足
1212()2...(mod ())s l l l s n n p p p n σϕ≡, (0)s >
其中i l 为正整数(1,2,...,)i s =, 12,,...,s p p p 为不相同的奇素数, 则n 具有如
下形式:
12122...s a a a a s n p p p q β=, 0,1,2a =, 0,1β=, 01i i a l ≤≤+, (1,...,)i a N i s ∈=
其中q 为奇素数, (1,...,)i q p i s ≠=, a q m ≤(令1
2
122...s
l l l s m p p p =).
注: 定理2的结论可进一步加强, 可证n 只能取如下形式之一:
1222212...s k k k s p p p q , 2q , 2l a l p
其中: 1
02
i i l k +≤≤
, i k N ∈, q 为素数, i q p ≠, 01i i a l ≤≤+, (1,...,)i a N i s ∈=, a q m ≤.
下面来看几个例子, 例3：
例4：注：当4m 时, 同余式()(mod ())n n m n σϕ≡的解较复杂.
例5：设正整数n 满足()4(mod ())n n n σϕ≡, 应用以上方法, 类似地可得
n 的形式为:
1212121212121,2,3,4,6,8,10,12;,(mod 4),()2,3(mod 4),()
n n p p p p p p n p p p p p p =⎧
⎪
=≡≠⎨⎪=≡≡≠⎩
其中其中 对于122n p p =, 通过计算可得: 13p =且211p =或71; 或1p ,2p 满足
1211(mod12)p p ≡≡, 对于12n p p =,
221122()2(1)6(1)2(1)+6(1)4(mod ())n n p p p p n σϕ≡-+-+--+
由()4(mod ())n n n σϕ≡得:
221122122(1)6(1)2(1)+6(1)
0(mod1)(1)(1)
p p p p p p -+-+--≡--
即
12212424
0(mod1)11
p p p p +++≡-- 满足
12212424
0(mod1)11
p p p p +++≡--的解有(5,29), (7,19)等. 猜想: 满足 122124240(mod1)11
p p p p +++≡--的1p , 2p 的解数有限. 接下来讨论数论函数方程()(1)n k n σ=+解的问题[7]
除数函数的定义在前面已经给出, 它是一个基本而又重要的数论函数, 历史上很多著名的数学难题(例如完全数问题,亲和数问题)都与该函数有关.
Florian Luca [7]证明了对任意的正整数x 都不满足等式
()()n n F x F x σσ==+
而徐闯和徐润章[7]讨论了()()(1)R n n n σ=+的整数值问题, 显然,
这一问题等价于函数方程
()(1)n k n σ=+, ,k n N ∈
的求解问题. 对此,有人提出了猜想[7]:
猜想方程()(1)n k n σ=+没有适合2k >的解(,)k n .
由于方程()(1)n k n σ=+在形式上与完全数和广义完全数的定义相似,所以这个猜想是一个非常难得问题.
当1n >时, 设
1212...r a a a r n p p p =
是n 的标准分解式, 其中(1,2,...,)i p i r =是适合12..r p p p <<<的素数, i a (1,2,...,)i r =是正整数. 对此, 可以利用初等方法证明当1r =时, 方程 ()(1)n k n σ=+仅有解1(,)(1,)k n p =；当2r =,且{}12min ,1a a =, 方程
()(1)n k n σ=+
仅当12p =且11223a p +=-时有解1
2(,)(2,2)a k n p =, 这些结果解决了上述猜想在1r =和2r =且{}12min ,1a a =时的情况. 接下来在此运用初等方法完整地解决了这个猜想在2r =时的情况, 即证明了：
定理10[7] 当2r =时, 方程()(1)n k n σ=+仅有解1
2(,)(2,2)a k n p =, 其 中
11223a p +=-
定理11[7] 方程()(1)n k n σ=+仅有解(,)(1,2)k n =可使n 是无平方因子正偶数.
再看它们的整除性[6]
当n 为素数时, 通过简单计算可知只有2,3n =时, ()()n n ϕσ才成
立,这部分将讨论当n 至多有3个不同的素因子时, 哪些合数满足
()()n n ϕσ
设正整数1212...s
a a a s n p p p =,122...s p p p ≤<<<,0(1,2,...,)i a i s >=, 若 ()()n k n σϕ=,k N ∈, 当1n >时, ()()n n n σϕ>>, 故2k ≥
引理5[6]设正整数1212...s
a a a s n p p p =,122...s p p p ≤<<<,0(1,2,...,)i a i s >=, 若()()n k n σϕ=,k N ∈, 则k 满足
2221212222
1212111.......111(1)(1)(1)s s s s p p p p p p k p p p p p p +++≤<------ 引理6[6] 设正整数
123n p p p αβγ=123123(,,,)p p p p p p <<为三个不同的素数
若存在正整数k 使()()n k n σϕ=, 则:
+1221111122
111(1(1)(1)(1))p k p p p αβ--+<---- 引理7[6] 设0p ,p 为素数, α,β为正整数, 若满足
1111200(1)(1)(1)p p p p p αβαβ+++---=-
则1021p p α+=-
最后在介绍一种有关数论函数的性质, 就是有关数论函数群的定义.
由数论函数的定义可知f 是全体自然数到复数域的一个映射. 乘积函数的定义[8] 设f 与g 是数论函数, 并设
()()()d n
n h n f d g d =∑ 其中d 为n 的因子, 则称h 为f 与g 的乘积(狄利克雷乘积), 并记为
*h f g =
显然h 仍为一数论函数, 即数论函数对于上述定义的乘法封闭. 定理12[8] 设f 与g 是数论函数, 则
()i **f g g f = (交换律)
()ii (*)**(*)f g k f g k = (结合律)
恒等函数的定义如下[8] 令
111()0n I n n =⎧⎡⎤==⎨⎢⎥⎣⎦⎩ 当时 当n>1时
显然I 是一数论函数.
定理13[8] 对每一数论函数f , 都有
**=I f f I f =
因此, I 是数论函数集中的单位元.
定理14[8] 设f 是一数论函数, 且(1)0f ≠, 则存在唯一确定的数论函数1f -, 使得
11**f f f f I --==
并且
11(1)(1)f f -=, 111()()()(1)d n d n
n f n f f d f d
--<-=∑, (1)n >. 由封闭性及定理12、13、14知, 所有具有的数论函数对于上述定义的乘法形成群.
以上这些就是对数论函数性质的一些描述, 数论函数的性质给我们很多的启发, 它在计算时也是非常有意思的, 因此还有待继续研究它的性质和其他的一些应用.
参考文献
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