高中数学：三角形四心与向量

三角形四心的向量表示
知识点总结
奔驰定理：O 为
ABC 内的一点，,,BOC AOC AOB 的面积分别为,,A B C S S S ，则
0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=
1.重心
（1）O 是ABC ∆的重心⇔
0OC OB OA =++;
说明：若O 是ABC ∆的重心，则ABC AOB AOC BOC S 3
1S S S ∆∆∆∆===故
0OC OB OA =++;
（2）P 为
ABC 所在平面内的一点，
1()
3
PG PA PB PC =++⇔G 为ABC ∆的重心. 证明 ：CG PC BG PB AG PA PG +=+=+=⇒)()(3PC PB PA CG BG AG PG +++++= ∵G 是△ABC 的重心 ∴GC GB GA ++=0⇒CG BG AG ++=0，即PC PB PA PG ++=3 由此可得)(3
1
PC PB PA PG ++=.（反之亦然（证略）
）
2．垂心
（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心⇔
0OC C tan OB B tan OA A tan =++;
说明：若O 是ABC ∆(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：：：：=∆∆∆
故0OC C tan OB B tan OA A tan
=++
（2）O 是ABC ∆的垂心⇔OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅;
3．外心
（1）O 是ABC ∆(非直角三角形)的外心⇔0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++;
说明：若O 是ABC ∆的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=∆∆∆：：：：
故0OC C 2sin OB B 2sin OA
A 2sin =++
（2）O 是ABC ∆的外心⇔|OC ||OB ||OA |==(或2
22OC
OB OA ==)
4．内心
（1）O 是ABC ∆内心⇔
0OC c OB b OA a =++ 。

说明：若O 是ABC ∆的内心，则c b a S S S AOB
AOC BOC ：：：：=∆∆∆
，所以
0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或;
（2）O
是ABC ∆的内心⇔
0)|
CB |CB |
CA |CA (OC )|
BC |BC |
BA |BA (OB )AC
AC |
AB |AB (OA =-⋅=-⋅=-⋅
引进单位向量，使条件变得更简洁。

如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321
e ,e ,e ，则刚才O 是ABC ∆内心的充要条件
可以写成 0)e e (OC )e e (OB )e e (OA 322131=+⋅=+⋅=+⋅ ，
向量()(0)||||
AC AB AB AC λλ+≠所在直线过ABC ∆的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)；
例题与练习：
例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足
)(
AC
AC AB
AB OA OP +
+=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）
（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心
解析：因为
AB
AB 是向量
AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又AP OA OP =-，则原式可
化为
)(21e e AP +=λ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC ∠，那么在ABC
∆中，AP 平分BAC ∠，则知选B.
例2．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足OP =31 (21OA +OB 2
1
+2OC ),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C. 重心
D. AB 边的中点 解析：B 取AB 边的中点M ，则OM
OB OA 2=+，由
OP
=
3
1 (
2
1OA +
OB 2
1+2
OC
)可得
3OM 23+=，∴3
2=，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.
例3．在同一个平面上有ABC ∆及一点Ｏ满足关系式： 2
O A
＋
2
BC
＝
2
OB
＋2CA ＝2OC ＋2
AB
，则Ｏ为ABC ∆的
（ D ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
例4．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1OP +2OP +3OP =0，|1OP |=|2OP |=|3OP |=1，
求证 △P 1P 2P 3是正三角形.
A
C
B
1
e 2
e P
证明 由已知1OP +2OP =-3OP ，两边平方得1OP ·2OP =2
1-， 同理 2OP ·3OP =3OP ·1OP =2
1-
， ∴|21P P |=|32P P |=|13P P |=3，从而△P 1P 2P 3是正三角形.
反之，若点O 是正三角形△P 1P 2P 3的中心，则显然有1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |. 即O 是△ABC 所在平面内一点，
1OP +2OP +3OP =0且|1OP |=|2OP |=|3OP |⇔点O 是正△P 1P 2P 3的中心.
例5. P 为ABC 内的一点，满足320PA PB PC ++=,则:PAB
ABC
S
S
=
____________
例6．在△ABC 中，已知Q 、G 、H 分别是三角形的外心、重心、垂心。

求证：Q 、G 、H 三点共线，且QG:GH=1:2。

【证明】：以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系。

设A(0,0)、B （x 1,0）、C(x 2,y 2)，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，则有：
112222,0)(,)(,22222x x x y x y E F +D （
、、 由题设可设1324,)(,)2x Q y H x y （、, 122(,)33x x y G +212243(,)(,)222x x y AH x y QF y ∴==--， 212(,)BC x x y =- 2212422142
()0()
AH BC
AH BC x x x y y x x x y y ⊥∴•=-+=-∴=-
2122232212
32()()0222
()22QF AC
x x y
QF AC x y y x x x y y y ⊥∴•=-+-=-∴=+
1212212
24323()(,),)22
x x x x x x y QH x y y --∴=-
-=--2（22y 21122122212
3212212212212
2()(,),)32332
23()23()1 (
,(,632
1
=3
x x x y x x y x x x y QG y x x x x x y x x x x x y QH
+--∴=--=------=--=--222（62y 66y 22y 即=3QH
QG ，故Q 、G 、H 三点共线，且QG ：GH =1：2
例7．若O 、H 分别是△ABC 的外心和垂心.求证 OC OB OA OH ++=.
证明 若△ABC 的垂心为H ，外心为O ，如图. 连BO 并延长交外接圆于D ，连结AD ，CD .
∴AB AD ⊥，BC CD ⊥.又垂心为H ，BC AH ⊥，AB CH ⊥， ∴AH ∥CD ，CH ∥AD ， ∴四边形AHCD 为平行四边形，
∴OC DO DC AH +==，故OC OB OA AH OA OH ++=+=.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系： （1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。

“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题. 例8． 设O 、G 、H 分别是锐角△ABC 的外心、重心、垂心. 求证：OH OG 3
1
=
证明 按重心定理 G 是△ABC 的重心⇔)(3
1
OC OB OA OG ++=
按垂心定理 OC OB OA OH ++= 由此可得 OH OG 3
1
=. 练习：
1．已知O 是平面上一 定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：)(AC AB OA OP ++=λ，则P 的轨迹一
定通过△ABC 的 （ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
2．已知△ABC ，P 为三角形所在平面上的一点，且点P 满足：0a PA b PB c PC ⋅+⋅+•=，则
P 点为三角形的
（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心 3．在三角形ABC 中，动点P 满足：CP
AB CB CA •-=22
2，则P 点轨迹一定通过△ABC 的：
（ ）
Ａ 外心 Ｂ 内心 C 重心 D 垂心
4.已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →
=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )
A.三边均不相等的三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.等边三角形
5.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH
++=，则实数m = 。

6. 如图1，已知点G 是ABC ∆的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且
AM xAB =，
AN y AC =，则
11
=x y
+ 。